Действие с корнями: сложение и вычитание
Во вводном курсе математики учащиеся знакомятся с действиями сложения и вычитания корней. Для того чтобы разобраться с решением примеров на эту тему, предварительно рекомендуется познакомиться с понятием степени.
Теоретические правила вычитания и сложения корней
Известно, что при извлечении корня степени из действительного числа получится также действительное число. Прежде чем рассмотреть примеры на сложение и вычитание корней, стоит определиться с основными теоретическими понятиями.
Корень n-ой степени из предполагаемого числа a представляет собой действительное число b. При этом число b, поставленное в n-ую степень позволит получить число a. В виде формулы — это утверждение выглядит следующим образом:
\begin{aligned}
&b=\sqrt[n]{a} \\
&b^{n}=a
\end{aligned}
При этом a – подкоренное выражение, b – значение корня, n – показатель корня. Сам знак, применяемый для обозначения корня на письме, имеет название «радикал».
Действием, противоположным извлечению корня в математике считается возведение число или выражения в степень.
Вычитание и сложение корней – это не единственные варианты действий, которые можно выполнять. Все возможные примеры представлены ниже:
- \[\sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\]
- \[\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]
- \[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a}\]
- \[\sqrt[n]{a^{m}}=(\sqrt[n]{a})^{n}\]
- \[\sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}}=\sqrt[n]{a^{m}}\]
- \[\sqrt[n]{a^{n}}=a\]
Как сложить и вычесть корни при решении задач?
Определившись с теоретическими аспектами, можно переходить к правилам сложения или вычитания корней. Какой-то конкретной формулы, показывающей, как вычесть или сложить корни, не существует (это видно из примеров, приведенных выше). Поэтому если вам требуется выполнить подобные действия, придется воспользоваться методом преобразований. Они производятся с использованием приема сокращенного умножения:
Важно помнить, что правила сложения и вычитания корней могут понадобиться при работе с так называемыми «иррациональными» выражениям, например: 2+ √3, ab√(d — c).
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Сложение и вычитание корней: примеры
Представленные ниже примеры помогут понять, в каких случаях допустимо устранение «иррациональности» в знаменателе математических выражений. Это, в свою очередь, объяснит, как вычесть корень из числа или при прибавить его к нему. Правило гласит: если в результате выполнения действий «иррациональные» элементы появились одновременно и в числителе, и в знаменателе, нужно убрать их именно из знаменателя.
В данном случае был применен прием умножения одновременно числителя и знаменателя на выражение, сопряженное знаменателю. Поступить так можно, воспользовавшись формулой разности квадратов.
\[\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{5}-\sqrt{4}) *(\sqrt{5}+4)}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{5-4}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{1}=\sqrt{5}+\sqrt{4}\]
Здесь для решения примера по сложению и вычитанию корней используется одинаковый способ, подобный варианту в предыдущем примере:
\[\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) *(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b}) *(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{a-\delta}=\frac{a+2 \sqrt{a b}+b}{a-\delta}\]
Данный пример на правила сложения и вычитания квадратных корней – один из тех вариантов, которые могут встретиться учащимся старших классов на ЕГЭ по математике.
\[\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}) *(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{3}}{2-2 \sqrt{6}+3}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}) *(\sqrt{2}-\sqrt{3}) *(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}{2-2 \sqrt{6}+3}=\frac{(2-3) *(2-2 \sqrt{6}+3)}{2-2 \sqrt{6}+3}=-1 .\]
