Во вводном курсе математики учащиеся знакомятся с действиями сложения и вычитания корней. Для того чтобы разобраться с решением примеров на эту тему, предварительно рекомендуется познакомиться с понятием степени.

Теоретические правила вычитания и сложения корней

Известно, что при извлечении корня степени из действительного числа получится также действительное число. Прежде чем рассмотреть примеры на сложение и вычитание корней, стоит определиться с основными теоретическими понятиями.

Определение + формула

Корень n-ой степени из предполагаемого числа a представляет собой действительное число b. При этом число b, поставленное в n-ую степень позволит получить число a. В виде формулы — это утверждение выглядит следующим образом:

\begin{aligned}
&b=\sqrt[n]{a} \\
&b^{n}=a
\end{aligned}

При этом a – подкоренное выражение, b – значение корня, n – показатель корня. Сам знак, применяемый для обозначения корня на письме, имеет название «радикал».

Действием, противоположным извлечению корня в математике считается возведение число или выражения в степень.

Вычитание и сложение корней – это не единственные варианты действий, которые можно выполнять. Все возможные примеры представлены ниже:

  1. \[\sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\]
  2. \[\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]
  3. \[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a}\]
  4. \[\sqrt[n]{a^{m}}=(\sqrt[n]{a})^{n}\]
  5. \[\sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}}=\sqrt[n]{a^{m}}\]
  6. \[\sqrt[n]{a^{n}}=a\]

Как сложить и вычесть корни при решении задач

Определившись с теоретическими аспектами, можно переходить к правилам сложения или вычитания корней. Какой-то конкретной формулы, показывающей, как вычесть или сложить корни, не существует (это видно из примеров, приведенных выше). Поэтому если вам требуется выполнить подобные действия, придется воспользоваться методом преобразований. Они производятся с использованием приема сокращенного умножения:

\[\begin{aligned} &(\sqrt{a}+\sqrt{b}) *(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b \\ &(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}) *\left(\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a b}+\sqrt[3]{b^{2}}\right)=a+b \\ &(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}) *\left(\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a b}+\sqrt[3]{b^{2}}\right)=a-b \\ &a \sqrt{a}-b \sqrt{b}=(\sqrt{a})^{3}-(\sqrt{b})^{3}=(\sqrt{a}-\sqrt{b}) *(a+\sqrt{a b}+b) \\ &a \sqrt{a}+b \sqrt{b}=(\sqrt{a})^{3}+(\sqrt{b})^{3}=(\sqrt{a}+\sqrt{b}) *(a-\sqrt{a b}+b) \end{aligned}\]

Важно помнить, что правила сложения и вычитания корней могут понадобиться при работе с так называемыми «иррациональными» выражениям, например: 2+ √3, ab√(d — c).

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Сложение и вычитание корней: примеры

Представленные ниже примеры помогут понять, в каких случаях допустимо устранение «иррациональности» в знаменателе математических выражений. Это, в свою очередь, объяснит, как вычесть корень из числа или при прибавить его к нему. Правило гласит: если в результате выполнения действий «иррациональные» элементы появились одновременно и в числителе, и в знаменателе, нужно убрать их именно из знаменателя.

Примеры 1 — 3

В данном случае был применен прием умножения одновременно числителя и знаменателя на выражение, сопряженное знаменателю. Поступить так можно, воспользовавшись формулой разности квадратов.

\[\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{5}-\sqrt{4}) *(\sqrt{5}+4)}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{5-4}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{1}=\sqrt{5}+\sqrt{4}\]


 

Здесь для решения примера по сложению и вычитанию корней используется одинаковый способ, подобный варианту в предыдущем примере:

\[\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) *(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b}) *(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{a-\delta}=\frac{a+2 \sqrt{a b}+b}{a-\delta}\]


 

Данный пример на правила сложения и вычитания квадратных корней – один из тех вариантов, которые могут встретиться учащимся старших классов на ЕГЭ по математике.

\[\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}) *(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{3}}{2-2 \sqrt{6}+3}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}) *(\sqrt{2}-\sqrt{3}) *(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}{2-2 \sqrt{6}+3}=\frac{(2-3) *(2-2 \sqrt{6}+3)}{2-2 \sqrt{6}+3}=-1 .\]