Материал содержит информацию о преобразовании рациональных выражений, а именно корректности вынесения множителя из-под корня. Статья даст ответы об актуальности преобразования, о том, как это сделать, а также приведёт общее правило, применимое ко всем случаям. Примеры задач, их решение, методы приведения подкоренного выражения к виду, удобному для преобразования – всё это узнаем из данной статьи.

Вынесение множителя из-под корня

Для понимания сути данного преобразования, необходимо сформулировать определение:

Вынесение множителя из-под корня – это замена подкоренного выражения на произведение. Например:

\[\sqrt[n]{B^{n^{*}}} C=B * \sqrt[n]{C}\], где n – нечётное число;

Если n – чётное число, то преобразование выглядит так:

\[\sqrt[n]{B^{n^{*}} C}=\left.B\right|^{*} \sqrt{C}\]

Где B и C – другие числа выражения;

Имея квадратный корень, то есть n=2, вынесение множителя выглядит, как замена выражения \[\sqrt{B^{2 *} C}\] на равное ему произведение \[B * \sqrt{C}\], проведя такое преобразование, мы освобождаем множитель By из-под корня.

Примеры

Вынесем множитель из-под корня \[\sqrt{25} \cdot 3\].

Решение:

В данном случае извлечь квадратный корень можно только из числа двадцать пять, что мы и сделаем.

\[\sqrt{25 * 3}=\sqrt{5^{2} * 3}=\sqrt{5^{2}} * \sqrt{3}=5 * \sqrt{3}\]

Ответ:\[5 * \sqrt{3}\]


Преобразуем выражение:

\[\sqrt{\left(x^{2}-4*x*y* z\right)^{2} x}=\left(x^{2}-4*x*y* z\right) * \sqrt{x}\]

Мы вынесли из-под корня выражение с переменным \[\left(x^{2}-4*x*y*z\right)\], а не просто числовой множитель.

Эти примеры показывают вынесение множителя или целого выражения из-под квадратного корня. Однако подобное преобразование применимо и к корням в прочих степенях n.


Рассмотрим пример с кубическим корнем:

\[\sqrt[3]{(4 * 2 a)^{3} * 2* a^{2}}=4 * a^{2} * \sqrt[3]{2* a^{2}}\]


Преобразуем выражение с корнем в шестой степени в произведение, которое в перспективе упростим методом вынесения множителя:

\[\sqrt[6]{\left(\frac{1}{4} *\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)^{6} * 6 *\left(x^{2}+y^{2}\right)}\], проводим преобразование в произведение \[\frac{1}{4} *\left(x^{2}+y^{2}\right) * \sqrt[6]{6 *\left(x^{2} * y^{2}\right)}\].

Выяснив, в чём заключается вынесение множителя из-под корня, перейдем к доказательству равенства полученного путем преобразования произведения исходному выражению.

Чем подкреплена возможность замены корня на произведение

Разберёмся, в чём заключена возможность этой замены, почему выражение \[\sqrt[n]{B^{n} * C}\] равнозначно произведению \[B * \sqrt[n]{C}\]. Обратимся к теоретическим положениям, а именно к правилам преобразования иррациональных чисел: если степень корня n, под которым находится выражение, определена нечётным числом, то такое выражение можно заменить на \[\sqrt[n]{A} * \sqrt[n]{B}\], а если чётным, то на \[\sqrt[n]{|A|} * \sqrt[n]{|B|}\]. В свою очередь, при нечетном n, \[\sqrt[n]{A^{n}}\] позволяет упростить до A, а, при нечетном n – до \[|A|\].

Зная свойства модуля и, используя вышеописанные результаты, выведем следующее:

  • если n четное, то: \[\sqrt[n]{B^{n}} * C=\sqrt[n]{B^{n}} * \sqrt[n]{C}=B * \sqrt[n]{C};\]
  • если n нечетное, то: \[\sqrt[n]{B^{n} * C}=\sqrt[n]{\mid B^{n}} | * \sqrt[n]{|C|}=\sqrt[n]{|B|^{n}} * \sqrt[n]{C}=|B| * \sqrt[n]{|C|}\].

Вынося множитель из-под корня, мы осуществляем преобразование, в основе которого лежат вышеописанные выражения. Вследствие этого можем вывести следующие формулы:

если n нечетное \[-\sqrt[n]{B_{1}^{n} * B_{2}^{n} * \ldots * B_{k}^{n} * C}=B_{1} * B_{2} * \ldots * B_{k} * \sqrt[n]{C};\]

если n чётное:

\[-\sqrt[n]{B_{1}^{n} * B_{2}^{n} * \ldots * B_{k}^{n} * C}=\left|B_{1}\right|*\left|B_{2}\right|* \ldots *\left|B_{1 k}\right| * \sqrt[n]{|C|}.\]

Данные формулы позволяют вынести несколько множителей из-под корня, а  B1 и B2 могут быть, как числами, так и выражениями.

Вынесение множителя из-под корня – основное правило

В процессе решения примеров, требующих преобразования, часто применяется предварительное приведение подкоренного выражения к виду \[B^{n} * C\]. Учитывая этот момент, можно записать правило:

Вынесение множителя из подкоренного выражения \[\sqrt[n]{A}\] необходимо предварительное приведение корня к виду \[\sqrt[n]{B^{n} * C}\], после чего переходим к произведению, при нечетном n, \[B * \sqrt[n]{C}\], а, при четном n \[|B| * \sqrt[n]{|C|}\], если нужно, раскрыть модули.

Схематично решение подобных задач выглядит так:

\[\sqrt[n]{A} \rightarrow \sqrt[n]{B^{n} *} C \rightarrow \begin{aligned} &B* \sqrt[n]{C,} \text { если } n-\text { нечетное } \\ &|B| * \sqrt[т]{|C|}, \text { если } n-\text {чётное } \end{aligned}\]

В случае потребности выведения нескольких множителей, выполняем действия:

\[\sqrt[n]{A} \rightarrow \sqrt[n]{B_{1}^{n_{*}} B_{2}^{n} * \ldots \cdot B_{k}^{n} * C \rightarrow}\begin{aligned} &B_{1}* B_{2}* \ldots * B_{k}* \sqrt[n]{C} \text {, если } n-\text { нечетное } \\ &\left.\left|B_{1}|*\right| B_{2}\right|* \ldots *\left|B_{k}\right| * \sqrt[n]{|C|}, \text { если } n-\text { чётное } \end{aligned}\]

Задачи на вынесение множителя из подкоренного выражения

Задачи 1-2

Условие: необходимо вынести множитель из четырех подкоренных выражений: \[\sqrt[5]{8} * \sqrt[5]{4}, \sqrt[4]{5 \frac{1}{16}}, \sqrt[7]{(-0,4)^{7} * 11}, \sqrt[3]{\sqrt[5]{7}}\]

Решение:

Учитывая вид подкоренных выражений и показатели корней, запишем следующее:

  • Применим свойства корней: \[\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} * \sqrt[n]{b}\]
    \[\sqrt[5]{8} * \sqrt[5]{4}=\sqrt[n 5]{8 * 4}=\sqrt[5]{32}=2\]
  • Учитывая четный показатель корня и его свойства, преобразуем выражение: \[\sqrt[4]{5 \frac{1}{16}}=\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}=\frac{3}{2}\]
  • Учитывая нечётный показатель, используем соответствующее правило преобразования: \[\sqrt[7]{(-0,4)^{7} * 11}=-0,4 * \sqrt[7]{11}\]
    Или другой вариант расчета:\[\sqrt[7]{(-0,4)^{7} * 11}=\sqrt{(-1)^{7} *(0,4)^{7} * 11}=\sqrt[7]{(0,4)^{7} * 11}=-0,4 * \sqrt[7]{11}\]
  • Учитывая свойство \[\sqrt[n]{ \sqrt[k]{a}}=\sqrt[n k]{a}\] (в том случае, если k больше 0) \[\sqrt[3]{\sqrt[5]{7}}=\sqrt[15]{7}\]

Условие: необходимо преобразовать выражение \[\sqrt{(-3)^{4} *(0,1)^{6} *(-5)^{2}}\].

Решение:

Выведем из-под корня три множителя:

\[\sqrt{(-3)^{4} *(0,1)^{6} *(-5)^{2}}=\left|(-3)^{2}\right| * 0.1^{3} *|-5|=9 * 0.001 * 5=0.045\]

Ответ: \[\sqrt{(-3)^{4} *(0,1)^{6} *(-5)^{2}}=9^{*} 0.001 * 5=0.045\]

Далее подробнее разберемся с подкоренным выражением, требующим предварительного преобразования.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Предварительное преобразование подкоренного выражения

Предварительное преобразование актуально, когда подкоренное выражение, из которого необходимо вынести множитель, имеет неудобный вид \[\sqrt[n]{A}\]. Неявный вид множителя иногда описан условием задачи, а порой его нужно определять самостоятельно. Разберём, как это делать.

Необходимо вынести множитель B, который заранее определён. Такое действие станет возможным, если подкоренное выражение имеет позволяющий вид. Тогда для осуществления преобразования \[\sqrt[n]{A}\] в \[\sqrt[n]{B^{n} * C}\] определим второй множитель, вычислив C из \[A=B^{n} * C\].

Задача 3

Условие: необходимо вынести из подкоренного выражения \[\sqrt[3]{24^{*} x}\] множитель \[2^{3}\].

Решение:

Если \[n=3, A=24* \times B^{3}=2^{3}\], то мы можем вычислить C из выражения \[A=B^{n} * C, C=A:\left(B^{n}\right)=24 * x:\left(2^{3}\right)=3 * x\].

Значит, \[\sqrt[3]{24 * x}=2^{3} * 3 * x\]. Теперь, когда подкоренное выражение преобразовано в нужный вид, воспользуемся правилом, действующим, при нечётном показателе:

\[\sqrt[3]{24 * x}=\sqrt[3]{2^{3} * 3 * x}=2 * \sqrt[3]{3 * x}.\]

Ответ: \[\sqrt[3]{24 * x}=2 * \sqrt[3]{3 * x}\].

Если множитель в условии задачи не указан, то мы имеем некую свободу выбора, выраженную в возможности применения нескольких подходов в решении. Предположим, что дано подкоренное выражение со степенью или произведением степеней. Учитывая свойства степеней, возможно преобразование выражения в вид, который сделает очевидными множители, подлежащие вынесению.

Задачи 4-5

Условие: вынесите множитель из подкоренного выражения \[\sqrt[4]{2^{22} * 5}\].

Для начала требуется преобразовать подкоренное выражение к такому виду, которое будет подходить для вынесения множителя из-под корня. В данном случае, вид будет выглядеть так \[\sqrt[4]{\left(2^{5}\right)^{4} * 2^{2}} * 5\].

Как к нему прийти?

Для облегчения, выполним дополнительное действие: деление числа 22 на 4. Как результат получили неполное частное 5 и остаток 2. Теперь мы можем рассматривать число 22 в виде: 4·5+2.

Учитывая этот результат и свойства степени, приходим к верному решению \[2^{22}=2^{5 * 4+2}=2^{5 * 4} * 2^{2}=\left(2^{5}\right)^{4} * 2^{2}\].

Итак, \[\sqrt[4]{2^{22} * 5}=\sqrt[4]{\left(2^{5}\right)^{4} * 2^{2} * 5}=\sqrt[4]{\left(2^{5}\right)^{4} * 20}=\\\left|2^{5}\right| * \sqrt[4]{|20|}=32 * \sqrt[4]{|20|}\]


Условие: вынесите множитель из подкоренного выражения \[\sqrt[4]{2^{7} * 6}\].

Решение:

Проведём преобразование, представив \[2^{7}\], как \[2^{4} * 2^{3}\].

\[\sqrt[4]{2^{7} * 6}=\sqrt[4]{2^{4} * 2^{3} * 6}=\sqrt[4]{2^{4} * 48}=2 * \sqrt[4]{48}\]

Ответ: \[\sqrt[4]{2^{7} * 6}=2 * \sqrt[4]{48}\].

Когда подкоренное выражение не является произведением степеней, не содержит числа, возведенного в степень, нужно попытаться представить его в виде такового. Если выражение под корнем является натуральным составным числом, то его нужно разложить на простые множители, тогда и станет возможным определение множителей, подлежащих выносу.

Задачи 6-7

Условие: вынесите множитель из-под корня в выражении: \[\sqrt{120}\].

Решение:

Решение. Для упрощения \[\sqrt{120}\], число 120 необходимо разложить на простые множители:

\[\begin{array}{l|l}120 & 2 \\60 & 2 \\30 & 2 \\15 & 3 \\5 & 5 \\1 &\end{array}\]

Квадрат суммы раскроем по соответствующей формуле:

\[\begin{aligned} &(\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}=(\sqrt{6})^{2}+2 * \sqrt{6} * \sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}-\sqrt{2^{2} * 2 * 3 * 5}=6 \\ &+2 \sqrt{30}+5-2 \sqrt{2 * 3 * 5}=11+2 \sqrt{30}-2 \sqrt{30}=11 \end{aligned}\]


Условие: Вычислить \[\sqrt{7056}\].

Решение:

Разложим подкоренное число на простые множители:

\[\begin{array}{l|c}7056 & 2 \\3528 & 2\\1764 & 2 \\882 & 2 \\441 & 3 \\147 & 3 \\49 & 7 \\7 & 7 \\1 &\end{array}\]

Получаем, что:

\[\sqrt{7056}=\sqrt{2^{4} * 3^{2} * 7^{2}}=\sqrt{2^{4}} * \sqrt{3^{2}} * \sqrt{7^{2}}=2^{2} * 3 * 7=84\]

Также необходимо разобрать случаи, когда подкоренное выражение представлено обыкновенными дробями. Данная ситуация требует разложения числителя и знаменателя на множители, после чего определяем возможность вынесения того или иного множителя за корень. Смешанное число или десятичная дробь требует предварительной замены на обыкновенную дробь. Далее следует переход от корня отношения к отношению корней.

Задачи 8-9

Условие: необходимо упростить иррациональное выражение: \[\sqrt{2 *(3+2 * \sqrt{2})}\].

Решение:

Преобразуем выражение в скобках в \[2+2 * \sqrt{2}+1\], а после \[(\sqrt{2})^{2}+2 * \sqrt{2} * 1+1^{2}\].

Пользуясь формулой сокращенного умножения свернем выражение в квадрат суммы: \[(\sqrt{2})^{2}+2 * \sqrt{2} * 1+1=(\sqrt{2}+1)^{2}\], подставим результат в исходное выражение \[\sqrt{2 *(3+2 * \sqrt{2})}=2 * \sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}}\].

Вынесем из-под корня — \[(\sqrt{2}+1)^{2}\] и упростим выражение :

\[\sqrt{2 *(\sqrt{2}+1)^{2}}=\sqrt{2} * \sqrt{2}+1=\sqrt{2} *(\sqrt{2}+1)=2+\sqrt{2}\]

Ответ: \[\sqrt{2 *(3+2 * \sqrt{2})}=2+\sqrt{2}\].

Если в подкоренном выражении есть переменные, то для вынесения множителя используются способы, что и при содержащихся числах в таком выражении.


Условие: необходимо вынести множитель из подкоренных выражений \[\sqrt[4]{(x-7)^{5}}\] и \[\sqrt[4]{(x-7)^{6}}\].

Решение:

Преобразуем первое выражение:

\[\sqrt[4]{(x-7)^{5}}=\sqrt[4]{(x-7)^{4} *(x-7)}=x-7 * \sqrt[4]{x-7}\]

Модуль можно опустить. Разберёмся с условием, определяющим область допустимых значений переменной для выражения из условия. Ею является неравенство \[(x-7)^{5} \geq 0\], решение которого требует метода интервалов, получится \[x \geq 7\]. Принадлежащее области допустимых значений значение x говорит о том, что \[x-7\] – является неотрицательным числом. Поэтому можно вывести следующее:

\[x-7 * \sqrt[4]{x-7}=(x-7) * \sqrt[4]{x-7}\]

Преобразуем второе выражение:

\[\left.\sqrt[4]{(x-7)^{6}}=\sqrt[4]{(x-7)^{4} *(x-7)^{2}}=\mathrm{x}-7 * \sqrt[4]{(\mathrm{x}}-7\right)^{2}\]

Сократим показатели степени и корня на два. Далее обратимся к таблице преобразования иррациональных выражений. Из неё берём результат – \[\sqrt[n m]{A^{m}}\] можно заменить на \[\sqrt[n]{A}\], если m и n – числа натуральные. Поэтому:

\[|\mathrm{x}-7|* \sqrt[4]{|x-7|^{2}}=|x-7|^{*} \sqrt{x-7}\]

Возникает вопрос – требуется ли убрать модуль? Узнаем через область допустимых значений этого выражения, которую составляют любые действительные числа, потому как \[(x-7)^{6} \geq 0\] для любого x. Значения \[x-7\] при этом могут быть больше нуля, если \[x>7\], то меньше или равными нулю. Следовательно, выражение оставляем \[|x-7| * \sqrt{x-7}\].

Ответ: \[\sqrt[4]{(x-7)^{5}}=(x-7) * \sqrt[4]{x-7}\]