Определение

Дифференциация в математике — это процесс нахождения производной или скорости изменения функции.

Дифференциация напрямую связана с темпами изменений. В случае с кривыми и геометрическими фигурами это означает указание наклона касательной вдоль заданного направления. Она дает возможность математическим путем вычислять скорость переменного движения, позволяя определить, где возникают максимальные и минимальные значения.

С помощью дифференциальных исчислений изучают законы гравитации и движения планет, перемещение потоков жидкости. Эти законы применяют при строительстве кораблей, мостов и прочих конструкций.

Практическое дифференцирование

Простой иллюстрацией применения дифференцирования функций является вычисление скорости движущегося объекта. Когда объект движется с постоянной скоростью, он проходит расстояние, пропорциональное потраченному времени.

Пример

Автомобиль, движущийся со скоростью 50 км/ч, проходит 50 км за 1 час, 100 км за 2 часа, 150 км за 3 часа и так далее.

График зависимости пройденного расстояния от времени выглядит как прямая линия, наклон или градиент которой показывает скорость.

График зависимости пройденного расстояния
График зависимости пройденного расстояния от времени

Вычисление постоянной скорости не представляет особых проблем, но переменные скорости менее очевидны. Аналогичный подход можно использовать для расчета средней скорости объекта, движущегося с изменением скорости. Для этого достаточно пройденное расстояние разделить на время, необходимое для его прохождения на каждом отрезке пути.

Автомобиль, проехавший 100 км за 2 ч., едет со скоростью 50 км/ч, которая может изменяться. Дело в том, что автомобиль не может двигаться с одной и той же скоростью в течение всего периода. Он может замедляться, останавливаться и даже давать задний ход. Поэтому средние показатели скорости, полученные обычным путем, не могут показать фактические показатели в определенный момент времени.

Знаменитые математики Ньютон и Лейбниц утверждали, что максимально точно вычислить значение скорости можно только с помощью измерения скорости в каждом отдельном интервале пути или используя основные правила дифференцирования.

Для успешного решения задач на дифференциацию, необходимо знать правила и формулы дифференцирования, уметь использовать их на практике.

Обозначения

Для различных функций применяется разное обозначение основных производных (D):

  • для алгебраических функций D (xn) = nxn — 1, где n — любое действительное число;
  • для тригонометрических функций D (sin x) = cos x;
  • для экспоненциальных функций D (e x) = e x.

Рассмотрим основные правила дифференцирования.

Основные правила и формулы дифференцирования

Любое вычисление можно сделать с помощью формул, используя 4 правила дифференцирования для основных производных.

Правило №1

Просто уберите константу, ее можно переместить за знак производной. При решении примеров по математике, этот способ дает возможность максимально упростить выражение.

Пример 1

Найдем производную выражения:

  • \[y`= (3cos x)`\];
  • вынесем константу за скобки \[3(cos x)`\];
  • получаем результат-3sin x.

В итоге пример будет выглядеть следующим образом:

\[y` = (3cos x)`= 3(cos x)`= -3sin x\]

Правило №2

Следующее правило дифференцирования функций гласит, что производная суммы двух функций равна сумме их производных. То же утверждение верно и для производной разности функций. Это правило называетсяцепным и дает возможность вычислять более сложные функции.

Пример 2

Найдите производную функции: \[y=\frac{9}{x^{3}}+\sqrt[3]{x^{4}} \frac{2}{x}+5 x^{4}\]

Решение данной производной выглядит следующим образом:

\[y^{\prime}=\left(\frac{9}{x^{3}}+\sqrt[3]{x^{4}}-\frac{2}{x}+5 x^{4}\right)^{\prime}=\left(\frac{9}{x^{3}}\right)^{\prime}+\left(\sqrt[3]{x^{4}}\right)^{\prime}-\left(\frac{2}{x}\right)^{\prime}+\left(5 x^{4}\right)^{\prime}=-\frac{27}{x^{4}}+\frac{4}{3} \sqrt[3]{x}+\frac{2}{x^{2}}+20 x^{3}\]

Правило №3

Производная произведения 2 функций согласно правил дифференцирования вычисляется по следующей формуле:

\[\text { (uv) ‘ }=u^{\prime} v+u v^{\prime}\]
Пример 3

Найти производную функции: \[y=\operatorname{arctg}^{3} 2 x \cdot \cos 8 x^{5}\]

Решение:

\[y^{\prime}=\left(\operatorname{arctg}^{3} 2 x \cdot \cos 8 x^{5}\right)^{\prime}=\left(\operatorname{arctg}^{3} 2 x\right)^{\prime} \cos 8 x^{5}+\operatorname{arctg}^{3} 2 x\left(\cos 8 x^{5}\right)^{\prime}=\\3 \operatorname{arctg}^{3} 2 x *\left(\operatorname{arctg}^{3} 2 x\right)^{\prime} \cos 8 x^{5}-\operatorname{arctg}^{3} 2 x * \sin 8 x^{5}\left(8 x^{5}\right)=\frac{3 \operatorname{arctg}^{2} 2 x}{1+4 x^{2}}(2 x)\]

\[* \cos 8 x^{5}-40 x^{4} \operatorname{arctg}^{3} 2 x * \sin 8 x^{5}=\frac{6 \operatorname{arctg}^{2} 2 x}{1+4 x^{2}} * \cos 8 x^{5}-40 x^{4}\]

\[\operatorname{arctg}^{3} 2 x * \sin 8 x^{5}\]

Здесь необходимо упомянуть правило вычисления производных для комплексных функций.

Правило для комплексных функций

Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В данном случае косвенным аргументом является 8x в пятой степени cos8x⁵

Чтобы вычислить производную такого выражения, мы сначала вычисляем производную функции, внешней по отношению к косвенному аргументу, а затем умножаем на производную прямого аргумента независимой переменной.

Правило №4

Следующее правило касается вычисления частного двух функций.

Данная формула дифференцирования производной частного двух функций выглядит следующим образом:

\[\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}\]
Пример 4

Найти производную следующих функций. \[y=\frac{\log _{3}(3 x-7)}{\operatorname{ctg} 7 x^{5}}\]

Решение:

\[y^{\prime}=\left(\frac{\log _{3}(3 x-7)}{\operatorname{ctg} 7 x^{5}}\right)^{\prime}=\frac{\left.\log _{3}(3 x-7)\right) \operatorname{ctg} 7 x^{5}-\log _{3}(3 x-7)\left(\operatorname{ctg} 7 x^{5}\right)^{\prime}}{\operatorname{ctg}^{2} 7 x^{5}}=\\\frac{(3 x-7)^{6}}{(3 x-7) \ln 3} \operatorname{ctg} 7 x^{5}+\frac{\left(7 x^{5}\right)^{\prime}}{\sin ^{2} 7 x^{5}} \log _{3}(3 x-7) \backslash \operatorname{ctg} 7 x^{5}=\frac{3}{(3 x-7) \ln 3} \operatorname{ctg} 7 x^{5}+\\\frac{35 x^{4}}{\sin ^{2} 7 x^{5}} \log _{3}(3 x-7) \backslash \operatorname{ctg} 7 x^{5}=\frac{3}{(3 x-7) \ln 3} \operatorname{ctg} 7 x^{5}+\frac{35 x^{4}}{\sin ^{2} 7 x^{5}} \log _{3}(3 x-7) \backslash \operatorname{ctg} 7 x^{5}\]

\[\]

Правила дифференцирования для комбинированных функций

Для функций, состоящих из комбинаций нескольких классов, теория предлагает использовать следующие основные правила дифференцирования суммы произведения или частного любых двух функций f (x) и g (x), чьи производные известны (где a и b равны и постоянны):

  • D (af + bg) = aDf + bDg;
  • D (gг) = gDг + гD;
  • D (f/g) = (gDf — fDg)/g 2.

В приведенном примере находим выражение:

Если f (x) и g (x) две функции, составная часть f (g (x)) вычисляется для значения x следующим путем:

1.    сначала вычисляем g (x);

2.    затем вычисляем функции f со значением g (х).

Пример

Если f (x) = sin x и g (x) = x2, тогда f (g (x)) = sin x2, а g (f (x)) = (sinx) 2.

Это цепное правило гласит, что производная комплексной функции задается произведением: D (f (g (x)) = Df (g (x)) ∙ Dg (x).

То есть, первый множитель справа Df (g(x)), указывает на то, что производная Df (x) сначала пишется как обычно, а затем x, где бы он ни встречался, заменяется на g (x).

В примере с sin x2 правило выглядит следующим образом:

D (sin x2) = D sin (x2) ∙ D (x2) = (cos x2) ∙ 2x

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Производная функции — правила и формулы дифференцирования

Формулы

Для определения производных в математике применяются следующие формулы:

  • Формула производной постоянной функции: \[г:dx∙(k) = 0\].
  • Формула производной суммы функции: \[г:dx (ж∙(x) + г (х) = f’ (х)+g’ (х)\].
  • Формула производной разности функций: \[г:dx (ж∙(x) — г (х) = f’ (х) — g’ (х)\].
  • Формула производной произведения функции на константу: \[г:dx (к ж (х)) = кf’ (х)\].

Тема вычисления производных функций не так элементарна, как кажется, поэтому необходимо быть внимательными, поскольку в примерах часто есть подводные камни.

Договоримся о том, что все функции вида f(x) и g(x) можно считать дифференцируемыми на промежутке x. То есть для выражения

x0 = x∈X будет справедливо равенство:

f'(x) = lim∆x→0∆f(x)∆x, g'(x)=lim∆x→0∆g(x)∆x.

В данном примере равенство ∆f(x) = f(x+∆x) — f(x), ∆g(x) = g(x+∆x) — g(x) является приращениями изначальных функций.

Правильная запись: f(x+∆x) = f(x)+∆f(x), g(x+∆x) = g(x)+∆g(x).

Рассмотрим основные этапы дифференцирования:

  1. Выносим постоянный множитель за знак производной.
  2. Отдельно вычисляем производную разности и производную суммы.
  3. Вычисляем производную произведения функций.
  4. Вычисляем производную частного (дробного выражения с функциями).

Разберемся в этих законах с помощью примеров.


Пример 1

Дана производная C·f(x)’ = C·f'(x)

C∈R(f(x) ± g(x))’ = f'(x) ± g'(x)(f(x)·g(x))’ = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)f(x)g(x)’ = f'(x)·g(x) — f(x)·g'(x)g2(x)

Далее выносим за знак производной постоянный множитель.

Для этого используем следующую формулу:

C·f(x)’=C·f'(x), C∈R

Если в этом выражении есть произвольный множитель, он может быть вынесен за знак предельного перехода.

Значит: C·f(x)’ = lim∆x→0C·∆f(x)∆x = C·lim∆x→0∆f(x)∆x = C·f'(x).

Эта формула является доказательством первого правила дифференцирования. Разберем задачу на его применение.


Пример 2

Дана функция y = 2·cos x. Необходимо вычислить ее производную.

Для выполнения решения обратимся к таблице производных для тригонометрических функций и выясним, что cos x’=-sin x.

Вынесем множитель за знак производной и получим:

y’ = 2·cos x’ = 2·cos x’ = -2·sin x

Ответ: y’ = 2·cos x’ = 2·cos x’ = -2·sin x

Мы рассмотрели очень простые примеры. В жизни часто приходится сначала преобразовать дифференцируемую функцию, чтобы наглядно увидеть нужное значение, согласно правил дифференцирования в таблице производных, а потом уже использовать нужное правило.