Вынесение за скобки общего множителя: правило, примеры
В контексте изучения тождественных преобразований очень важен вопрос о вынесении общего знаменателя за скобки.
В этой статье мы объясним, что именно представляет собой это преобразование, выведем основное правило и проанализируем типичные проблемные случаи. Вспомним урок 7 класса!
Для того, чтобы успешно применить преобразование, нужно знать, к каким выражениям оно будет применяться и какой результат вы хотите получить. Поясним эти моменты. Вы можете взять общий множитель из скобок в выражениях, представляющих собой суммы, где каждый член является произведением, а в каждом произведении есть общий (один и тот же) множитель для всех. Это называется общим фактором. Вынесем его за скобки.
Важно! Если у нас есть произведения \[6 \times 4\] и \[6 \times 3\], то мы можем вынести общий множитель 6. Что это за трансформация?
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
- В ходе нее мы представим изначальное выражение в виде произведения общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех первоначальных членов, кроме общего множителя. Возьмем образец выше. Выделим общее число 6 в \[6 \times 4 \] и \[6 \times 3\] и вынесем его за скобки.
- Получим \[6 \times(4+3)\]. Окончательный вид выражения представляет собой произведение общего множителя 6 и выражения в скобках, представляющего собой сумму исходных членов без 6.
- Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали ранее.
- В буквальном виде это можно записать как \[n \times(m+6)=n \times m+n \times 6\].
- Изменив правую часть на левую, мы увидим схему вынесения общего множителя в скобках.
- Используя все вышеизложенное, выводим основную формулу такого преобразования: \[a(b+c)=a b+a c\].
Для вынесения общего множителя за скобки необходимо исходное выражение записать в виде произведения общего множителя и скобок, в которые входит исходная сумма без общего множителя.
Рассмотрим простой пример. У нас есть числовое выражение \[5 \times 6+5 \times 3-5 \times 7\], которое представляет собой сумму трех слагаемых \[5 \times 6,5 \times 3\] и \[5 \times 7\] и общего множителя 5. На основании полученного нами правила, произведение запишем в виде \[5 \times(6+3-7)\]. Это результат нашей трансформации. Вся запись решения выглядит так: \[5 \times 6+5 \times 3-5 \times 7=5 \times(6+3-7)\].
\[3 \times 9+3 \times 5+3 \times 6=3 \times(9+5+6)\]
Мы можем убрать множитель из скобок не только в числовых выражениях, но и в буквенных выражениях. Например, в \[5 x-8 x+6\] можно удалить переменную x и получить \[5 x-8 x+6=x \times(5-8)+6\] в выражении \[\left(x^{2}-y\right) \cdot x y+\left(x^{2}-y\right) \cdot x^{3}\] – общий множитель \[\left(x^{2}-y\right)\] и результат \[\left(x^{2}-y\right) \cdot x y+\left(x^{2}-y\right) \cdot x^{3}=\left(x^{2}-y\right) \cdot\left(x y+x^{3}\right)\]. Не всегда можно сразу определить, какой множитель является общим. Иногда выражение необходимо предварительно преобразовать, заменив числа и выражения произведениями, идентичными им.
В выражении 9 ⋅ x — 6 ⋅ y можно выделить общий множитель 3, который явно неопределен. Чтобы найти его, нам нужно преобразовать исходное выражение (путем разложения множителей), которое представляет девять как \[3 \times 3\] и шесть как \[3 \times 2\]. То есть \[9 x-6 y=3 \times 3 x-3 \times 2 y=3 \times(3 x-2 y)\]. Или в выражении \[x^{3}-x^{2}-5\] можно поставить общий множитель в скобках. Это преобразование возможно благодаря основным свойствам степеней. Следовательно, получаем выражение \[x \cdot\left(x^{2}-x-5\right)\].
\[5 a+30 a b-45 a c=5 a(1+6 b-9 c)\]
Другой случай, который следует рассматривать отдельно — это минус за скобками. Так мы устраняем не сам знак, а минус 1. Например, преобразуем выражение \[-8+14 x-5 x y\] таким образом. Перепишите выражение в виде \[(-1) \times 8-(-1) \times 14 x+(-1) \times 5 \times y\], чтобы общий коэффициент был виден более четко. Вынесем его за скобки и получим \[-(8-14 x+5 x y)\]. Этот пример показывает, что в скобках получается одна и та же сумма, но с противоположными знаками.
\[-4 x-5 x y+2 x=x(4+5 y-2)\]
В итоге отметим, что преображение путем выноса общего сомножителя за скобки чрезвычайно часто применяется на практике, к примеру, для исчисления значения иррациональных выражений. Также этот метод продуктивен, когда нужно показать выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные сомножители.
