Что такое производная сложной функции и как её найти
Перед тем как говорить о производной сложной функции давайте сначала определимся, что собой представляет сложная функция. Как вы увидите чуть позже, не всякую функцию кажущуюся сложной можно действительно так назвать.
Сложной функцией называют функцию, аргумент которой тоже является функцией.
Обозначается сложная функция как f(g(x)). Иногда наружные скобки являются квадратными f[g(x)]. g(x) – аргумент f(g(x)), иногда его называют внутренней функцией.
Уровень вложенности может быть абсолютно любым
y = f (g1 (g2 (g3 (. . . (g n (x)))))).
y=sin (x+1) есть сложная функция т. к. её можно представить в виде двух функций, вложенных одна в другую y = sin(u) и u = x + 1.
y=cos (7x³ -4x²) тоже сложная. Внутренней в ней является: u = 7x³ — 4x².
y = 7x³ — 4x² является простой. Аргументом здесь будет только x. Представить его в составе другой функции, кроме данной в примере, не получится.
y=7x³ сложная. Внутренней здесь будет u = 7x³. Обратите внимание, в примере выше функция хоть и имеет более сложный вид, на самом деле таковой не является.
y=cos(tg(x³)) сложная. Здесь уровней вложенности больше, чем в предыдущих примерах. Выражение можно представить как y = f (g1 (g2(x)))
g1 = x³, g2 = tg(g1).
По сути любая сложная функция представляет собой «матрёшку», в которой роль составляющих отведена выражениям более низкого уровня. К сожалению, не всегда с первого взгляда сложное выражение можно легко разделить на вложенные составляющие и вообще, понять, что оно на них раскладывается.
Как найти производную сложной функции
Дифференцирование любой сложной функции сводится к тому, что приходится дифференцировать простые, часто элементарные табличные выражения.
Общая формула нахождения производной сложной функции:
\[f(g(x)))^{\prime}=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)\]
Если вложенность больше, т. е. \[y=f(f 1(f 2(f 3(\ldots(f n(x))))))\], то она записывается как \[\begin{aligned}
&y^{\prime}=f^{\prime}(f 1(f 2(f 3(\ldots(f n(x)))))) \cdot f 1^{\prime}(f 2(f 3(\ldots(f n(x))))) \cdots f 2^{\prime}(f 3(\ldots(f n))) \cdot \ldots \cdot f n^{\prime}(x)
\end{aligned}\]
Отсюда легко вывести алгоритм или правило нахождения производной сложной функции
Сначала в сложной функции нужно выделить простые. Затем найти их производные, после этого составить произведение из найденных производных. Оно и будет тем, что нам нужно.
Найдите производную y = sin3x.
Решение: Запишем в выражение в виде y = (sinx)3. Отсюда ясно, что g = sin(x). Эту производную найти очень легко. Она следующая (sin(x))’ = cos(x).
Производная внутреннего выражения будет (g3)’ = 3u3-1= 3u2.
Из всего этого получаем
y’ = (sinx3)’ = (u3)’
Далее нужно лишь воспользоваться приведённой выше формулой, показывающей, как найти производную сложной функции
В результате получим
y’= (u3)’*u’ = 3u3-1(sinx)’= 3u2cosx = 3sin2xcosx
Ответ: y’ = 3sin2xcosx
Найти производную y = ln(ax2 + c)
Решение: Находим внутреннюю функцию. Очевидно, что здесь она g = ax2 + c
Производная y’ = (ln(g))’ = 1/g
Производная g’ = a*2x
Из этого по формулам, приведённым выше мы будем иметь
y’ = (1/(ax2 + c))*u’ = 2ax/(ax2 + c)
Ответ: y’ = (1/(ax2 + c))*u’ = 2ax/(ax2 + c).
Найти y’ = exp(-x2)
Решение: Внутренней здесь будет g = -x2
y’ = (exp(u))’ = exp(-x2)
Производная –x2 = -2x
Из этого имеем
y’ = (exp(-x2))’= exp(-x2)*(-2x) = -2x*exp(-x2)
Ответ: y’ = -2x*exp(-x2).
Как видите, ничего трудного здесь нет, но требуется быть очень внимательным.
Теперь рассмотрим задачу, где вложено не одно, а несколько выражений.
Найти y’=cos³(3x-12)
Решение: Главное правильно выделить все внутренние составляющие указанного выражения.
Первым очевидно будет g1 = 3x – 12
Вторым будет g2 = cos(g1) = cos(3x – 12)
Сначала найдём производную g1.
Она равняется (g1)’ = (3x-12)’ = 3
Затем находим (g2)’ = (cos(u1))’ = — sin(3x-12)
Далее ищем производную внешней функции. Она равна
(cos(3x — 12)3)’ = 3cos2(3x -12)
В результате вычислений получаем
y’ = (3cos2(3x -12))*( — sin(3x-12))*3 = -9cos2(3x -12))*(sin(3x-12))
Не всегда следует сразу выделять вложенные составляющие выражения, производных которого нам нужно найти.
Чему равна y’ = (3/sin2x) + (cos2x/3)
Решение: Выражение представляет собой сумму двух производных, которые следует найти по отдельности и после этого сложить.
Сначала находим (3/sin2x)’, затем (cos2x/3)’. Решением нашей задачи будет их сумма.
В выражении (3/sin2x) вынесем общий множитель за скобки и уже после этого станем искать производную
3*(sin-2x)’ = 3*(-2)sin-3x * (sinx)’ = -6sin-3x * cosx = -(6cosx)/(sin3x)
Далее находим тоже самое делаем со вторым слагаемым. Здесь тоже множитель выносим за скобки.
(1/3)*(cos3x) = (1/3)*3cos2x * (cosx)’ = cos2x *(-sinx) = -cos2x *sinx
С учётом знака минус в двух полученных выражениях, вычитаем одно из другого, в результате чего имеем
y’ = ((3/sin2x) + (cos3x/3))’ = -(6cosx)/(sin3x) – cos2x*sinx
Ответ: y’ = -(6cosx)/(sin3 x) – cos3x*sinx
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Таблица производных сложных функций
Нахождение производных некоторых сложных функций может существенно облегчить таблица производных сложных функций:
| \[\left(u^{n}\right)^{\prime}=n u^{n-1} \cdot u^{\prime}\] | \[(\arcsin u)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} \cdot u^{\prime}\] |
| \[\left(a^{u}\right)^{\prime}=a^{u} \cdot \ln a \cdot u^{\prime}\] | \[(\arccos u)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} \cdot u^{\prime}\] |
| \[\left(e^{u}\right)^{\prime}=e^{u} \cdot u^{\prime}\] | \[(\operatorname{arctg} u)^{\prime}=\frac{1}{1+u^{2}} \cdot u^{\prime}\] |
| \[\left(\log _{a} u\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} \cdot u^{\prime}\] | \[(\operatorname{arcctg} u)^{\prime}=-\frac{1}{1+u^{2}} \cdot u^{\prime}\] |
| \[(\ln u)^{\prime}=\frac{1}{u} \cdot u^{\prime}\] | \[(\operatorname{sh} u)^{\prime}=\operatorname{ch} u \cdot u^{\prime}\] |
| \[(\sin u)^{\prime}=\cos u \cdot u^{\prime}\] | \[(\operatorname{ch} u)^{\prime}=\operatorname{sh} u \cdot u^{\prime}\] |
| \[(\cos u)^{\prime}=-\sin u \cdot u^{\prime}\] | \[(\text { th } u)^{\prime}=\frac{1}{\operatorname{ch}^{2} u} \cdot u^{\prime}\] |
| \[(\sqrt{u})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot u^{\prime}\] | \[(\operatorname{th} u)^{\prime}=-\frac{1}{\operatorname{sh}^{2} u} \cdot u^{\prime}\] |
| \[(\operatorname{tg} u)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} u} \cdot u^{\prime}\] | |
| \[(\operatorname{ctg} u)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} u} \cdot u^{\prime}\] |
Не забывайте также, что иногда перед поиском производных выражение можно упростить с помощью различных тригонометрических либо логарифмических преобразований. На сложных функциях это часто приводит к нужному результату, а иногда и вовсе позволяет сразу привести их к простому виду.
