Перед тем как говорить о производной сложной функции давайте сначала определимся, что собой представляет сложная функция. Как вы увидите чуть позже, не всякую функцию кажущуюся сложной можно действительно так назвать.

Определение + примеры

Сложной функцией называют функцию, аргумент которой тоже является функцией.
Обозначается сложная функция как f(g(x)). Иногда наружные скобки являются квадратными f[g(x)]. g(x) – аргумент f(g(x)), иногда его называют внутренней функцией.
Уровень вложенности может быть абсолютно любым
y = f (g1 (g2 (g3 (. . . (g n (x)))))).

y=sin (x+1) есть сложная функция т. к. её можно представить в виде двух функций, вложенных одна в другую y = sin(u) и u = x + 1.

y=cos (7x³ -4x²) тоже сложная. Внутренней в ней является: u = 7x³ — 4x².

y = 7x³ — 4x² является простой. Аргументом здесь будет только x. Представить его в составе другой функции, кроме данной в примере, не получится.

y=7x³ сложная. Внутренней здесь будет u = 7x³. Обратите внимание, в примере выше функция хоть и имеет более сложный вид, на самом деле таковой не является.

y=cos(tg(x³)) сложная. Здесь уровней вложенности больше, чем в предыдущих примерах. Выражение можно представить как y = f (g1 (g2(x)))

g1 = x³,  g2 = tg(g1).

По сути любая сложная функция представляет собой «матрёшку», в которой роль составляющих отведена выражениям более низкого уровня. К сожалению, не всегда с первого взгляда сложное выражение можно легко разделить на вложенные составляющие и вообще, понять, что оно на них раскладывается.

Как найти производную сложной функции

Дифференцирование любой сложной функции сводится к тому, что приходится дифференцировать простые, часто элементарные табличные выражения.

Формула

Общая формула нахождения производной сложной функции:

\[f(g(x)))^{\prime}=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)\]

Если вложенность больше, т. е.  \[y=f(f 1(f 2(f 3(\ldots(f n(x))))))\], то она записывается как \[\begin{aligned}
&y^{\prime}=f^{\prime}(f 1(f 2(f 3(\ldots(f n(x)))))) \cdot f 1^{\prime}(f 2(f 3(\ldots(f n(x))))) \cdots f 2^{\prime}(f 3(\ldots(f n))) \cdot \ldots \cdot f n^{\prime}(x)
\end{aligned}\]

Отсюда легко вывести алгоритм или правило нахождения производной сложной функции

Сначала в сложной функции нужно выделить простые. Затем найти их производные, после этого составить произведение из найденных производных. Оно и будет тем, что нам нужно.

Задачи 1 — 5

Найдите производную y = sin3x.

Решение: Запишем в выражение в виде y = (sinx)3. Отсюда ясно, что g = sin(x). Эту производную найти очень легко. Она следующая (sin(x))’ = cos(x).

Производная внутреннего выражения будет (g3)’ = 3u3-1= 3u2.

Из всего этого получаем

y’ = (sinx3)’ = (u3)’

Далее нужно лишь воспользоваться приведённой выше формулой, показывающей, как найти производную сложной функции

В результате получим

y’= (u3)’*u’ = 3u3-1(sinx)’= 3u2cosx = 3sin2xcosx

Ответ: y’ = 3sin2xcosx


 

Найти производную y = ln(ax2 + c)

Решение: Находим внутреннюю функцию. Очевидно, что здесь она g = ax2 + c

Производная y’ = (ln(g))’ = 1/g

Производная g’ = a*2x

Из этого по формулам, приведённым выше мы будем иметь

y’ = (1/(ax2 + c))*u’ = 2ax/(ax2 + c)

Ответ: y’ = (1/(ax2 + c))*u’ = 2ax/(ax2 + c).


Найти y’ = exp(-x2)

Решение: Внутренней здесь будет g = -x2

y’ = (exp(u))’ = exp(-x2)

Производная –x2 = -2x

Из этого имеем

y’ = (exp(-x2))’= exp(-x2)*(-2x) = -2x*exp(-x2)

Ответ: y’ = -2x*exp(-x2).

Как видите, ничего трудного здесь нет, но требуется быть очень внимательным.

Теперь рассмотрим задачу, где вложено не одно, а несколько выражений.


 

Найти y’=cos³(3x-12)

Решение: Главное правильно выделить все внутренние составляющие указанного выражения.

Первым очевидно будет g1 = 3x – 12

Вторым будет g2 = cos(g1) = cos(3x – 12)

Сначала найдём производную g1.

Она равняется (g1)’ = (3x-12)’ = 3

Затем находим (g2)’ = (cos(u1))’ = — sin(3x-12)

Далее ищем производную внешней функции. Она равна

(cos(3x — 12)3)’ = 3cos2(3x -12)

В результате вычислений получаем

y’ = (3cos2(3x -12))*( — sin(3x-12))*3 = -9cos2(3x -12))*(sin(3x-12))

Не всегда следует сразу выделять вложенные составляющие выражения, производных которого нам нужно найти.


 

Чему равна y’ = (3/sin2x) + (cos2x/3)

Решение: Выражение представляет собой сумму двух производных, которые следует найти по отдельности и после этого сложить.

Сначала находим (3/sin2x)’, затем (cos2x/3)’. Решением нашей задачи будет их сумма.

В выражении (3/sin2x) вынесем общий множитель за скобки и уже после этого станем искать производную

3*(sin-2x)’ = 3*(-2)sin-3x * (sinx)’ = -6sin-3x * cosx = -(6cosx)/(sin3x)

Далее находим тоже самое делаем со вторым слагаемым. Здесь тоже множитель выносим за скобки.

(1/3)*(cos3x) = (1/3)*3cos2x * (cosx)’ = cos2x *(-sinx) = -cos2x *sinx

С учётом знака минус в двух полученных выражениях, вычитаем одно из другого, в результате чего имеем

y’ = ((3/sin2x) + (cos3x/3))’ = -(6cosx)/(sin3x) – cos2x*sinx

Ответ: y’ = -(6cosx)/(sin3 x) – cos3x*sinx

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Таблица производных сложных функций

Нахождение производных некоторых сложных функций может существенно облегчить таблица производных сложных функций:

\[\left(u^{n}\right)^{\prime}=n u^{n-1} \cdot u^{\prime}\]\[(\arcsin u)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} \cdot u^{\prime}\]
\[\left(a^{u}\right)^{\prime}=a^{u} \cdot \ln a \cdot u^{\prime}\]\[(\arccos u)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} \cdot u^{\prime}\]
\[\left(e^{u}\right)^{\prime}=e^{u} \cdot u^{\prime}\]\[(\operatorname{arctg} u)^{\prime}=\frac{1}{1+u^{2}} \cdot u^{\prime}\]
\[\left(\log _{a} u\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} \cdot u^{\prime}\]\[(\operatorname{arcctg} u)^{\prime}=-\frac{1}{1+u^{2}} \cdot u^{\prime}\]
\[(\ln u)^{\prime}=\frac{1}{u} \cdot u^{\prime}\]\[(\operatorname{sh} u)^{\prime}=\operatorname{ch} u \cdot u^{\prime}\]
\[(\sin u)^{\prime}=\cos u \cdot u^{\prime}\]\[(\operatorname{ch} u)^{\prime}=\operatorname{sh} u \cdot u^{\prime}\]
\[(\cos u)^{\prime}=-\sin u \cdot u^{\prime}\]\[(\text { th } u)^{\prime}=\frac{1}{\operatorname{ch}^{2} u} \cdot u^{\prime}\]
\[(\sqrt{u})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot u^{\prime}\]\[(\operatorname{th} u)^{\prime}=-\frac{1}{\operatorname{sh}^{2} u} \cdot u^{\prime}\]
\[(\operatorname{tg} u)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} u} \cdot u^{\prime}\]
\[(\operatorname{ctg} u)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} u} \cdot u^{\prime}\]

Не забывайте также, что иногда перед поиском производных выражение можно упростить с помощью различных тригонометрических либо логарифмических преобразований. На сложных функциях это часто приводит к нужному результату, а иногда и вовсе позволяет сразу привести их к простому виду.