СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Напишем

СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Данный материал будет посвящен изучению дробных чисел. А именно десятичных дробей их основных свойств и правил умножения.

Мы рассмотрим все виды дробей и как с ними работать. Какие способы применяют для их быстрого и точного вычисления

Для начала дадим определение десятичной дроби. Это число, которое после запятой имеет характерный остаток

Примеры десятичных дробей: 145,14; 12,85; 1,23.

В свою очередь данный вид дробей подразделяется на следующие категории:

  • Конечные — если после запятой присутствует окончательное число.

Например: \[\pm a_{0} a_{1} a_{2} a_{3} \ldots . . a_{n}\]

\[\pm \sum_{k=0}^{n} a_{k} \cdot 10^{-k}\]
  • Бесконечные — количество цифр после запятой, не имеют окончательного значения, то есть они бесконечны.

Например: \[\pm a_{0} a_{1} a_{2} a_{3}\]

\[\pm \sum_{k=0}^{n} a_{k} \cdot 10^{-k}\]

Основные свойства дробей:

Изменение величины десятичной дроби не произойдет, даже если к ней добавить справа несколько нулей. Это свойство принято считать одним из самых главных для данного вида дробей.

Если в рассматриваемом дробном значении наблюдается множество нулевых значений, тогда их просто исключают, так как никакого влияния на значение они не имеют.

 Рассмотрим несколько простых и понятных для ознакомления примеров решения данных дробей

  • 0,900 = 0,9;
  • 22,10200000 = 22,102;
  • 0,45000=0,45;
  • 0,12569000=0,12569;
  • 0,780=0,78.

Основные характеристики десятичных дробей

  1. Дробное число, не будет иметь какого — либо значения, если в знаменателе нулевое число. Деление на ноль в математике строго запрещено.
  2. Нулю будет равна дробь, у которой в числителе значится нулевое значение. В знаменатель — нет.
  3. Если значения, которые находятся в числителе и знаменателе разделить или умножить на любое действительное число. То получится дробь равная ей по значении.
  4. Если взять две дроби: \[\frac{a}{b} \text { и } \frac{c}{d}\] то они называться будут равными при \[a \cdot d \text { или } b \cdot c\].

Существующая взаимосвязь между дробями различных категорий и видов

  • Целая часть десятичной дроби всегда будет равной такой части дроби, только смешанного типа;
  • Когда значение в числителе меньше значения знаменателя, то нулю равна целая часть дроби;
  • Количество значений после запятой, определяется в зависимости от количества нулей, которые записаны в знаменателе обыкновенной дроби.

Правило записи десятичной дроби

Пример №1. Нужно преобразовать  обыкновенную дробь \[\frac{16}{10}\] в десятичную.

Принцип решения задачи:

Если в знаменателе число 10, а по правилам это будет только один ноль. Справа налево отсчитываем, в числителе один знак. И после этого ставим запятую. Получаем десятичную дробь, где: число один является целой частью, а шесть дробной.

\[\frac{16}{10}=1,6\]

Пример №2: Перевести \[\frac{39}{1000}\] в десятичную дробь.

Теперь видим, что, знаменатель равен 1000 и нужно использовать для решения три нуля. Проводим те же действия что и в первом примере. Получаем десятичную дробь. Где нулевое значение — это целая часть, а все остальное — это дробная часть.

\[\frac{39}{1000}=0,039\]

Ознакомившись кратко с десятичными дробями, перейдем к изучению правил их умножения.

Принцип умножения десятичных дробей

Для умножения десятичных дробей необходимо, произвести следующие действия.

  • Дробь записать в виде так называемого математического столбика. Далее рассмотреть заданное значение, как обыкновенные действительные числа и подсчитать их;
  • Все знаки за запятой подсчитать и сложить сумму;
  • Полученную сумму справа налево отложить и поставить запятую.

Для данного вида дробей характерны все те же действия, что и для остальных чисел.

Если переставить местами множители, на окончательный ответ это не повлияет.

если мы хотим умножить число на произведение двух и более. Сначала умножаем данное число на первый множитель затем полученное значение на второй и так далее.

Чтобы умножить сумму на множитель. Нужно по отдельности умножить числа и полученную сумму сложить.

Если проводим умножение на разность чисел, то для начала умножаем на уменьшаемое, а затем на вычитаемое. Следовательно полученные значения вычитаем.

Также процесс умножения можно упростить. Десятичные дроби умножить как действительные целые числа, и поставить запятую.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров:

Пример №1:

Определить произведение чисел \[1,5 \cdot 0,75\]

Первым делом преобразуем дробь. Заменим десятичную. на обыкновенную.

0,75=75/100

\[1,5=\frac{15}{10}\]

Затем проводим сокращение дробных значений и выделяем, по уже изученным правилам целую часть.

\[\frac{125}{1000}\]  можно преобразовать и получить следующую дробь 1,125.

Ответ: 1,125.

Пример №2:

Определить произведение чисел \[5,382 \ldots \cdot 0,2\]

Первое значение является бесконечной дробью. Ее рекомендуется округлить до сотых значений. Получается \[5,382 \ldots \approx 5,38\].

Второй множитель округлять не требуется, это не имеет смысла.

Далее можно произвести вычисление \[5,38 \cdot 0,2=\frac{538}{100} \cdot \frac{2}{10}=\frac{1,076}{1000}=1,076\]

Следовательно, получаем ответ к нашей задаче: 1,076.

Пример №3:

Необходимо умножить две периодические дроби.

\[0,(3) \cdot 2,(36)\]

Преобразуем заданные значения в обыкновенную дробь.

\[0,(3)=0,3+0,03+0,003+0,003+\ldots=\frac{0,3}{1-0,1}=\frac{0,3}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\]
\[2,(36)=2+(0,36+0,0036+\ldots)=2+\frac{0,36}{1-0,01}=2+\frac{36}{99}=2+\frac{4}{11}=2 \cdot \frac{4}{11} \frac{26}{11}\]
\[\Rightarrow 0,(3) \cdot 2,(36)=\frac{1}{3} \cdot \frac{26}{11}=\frac{26}{33}\]

Полученную в конечном итоге обыкновенную дробь приводим к десятичной.  В столбик разделим числитель на знаменатель.

Деление столбиком 1

Окончательный ответ : \[0,(3) \cdot 2,(36)=0,(78)\].

Умножение десятичных дробей при помощи столбика

Умножение столбиком выполняя на условии, что на запятые никакого внимания не уделяется (они игнорируются)

В итоговом результате ставится знак запятой справа. Отделяется столько запятых, сколько множители имеют десятичных знаков вместе.

Если не хватает цифр, то принято в окончательном ответе дописывать нули.

Рассмотрим примеры решения подобных задач.

Пример №1:

Нужно найти значение произведения, следующих чисел: 63,37 и 0,12.

Выполняем умножение, не обращая внимание на запятые.

Умножение столбиком 1

Далее определяемся с запятой, где ее ставить. Она будет через четыре цифры справа. Потому что сумма десятичных знаков двух множителей равна 4.

Нули в данной ситуации не записываются. Это связано с достаточным количеством чисел.

Умножение столбиком 2

Получаем окончательное значение равное 7,6044.

Пример №2:

Заданные числовые, дробные выражения 3,2601 и 0,0254, необходимо умножить между собой.

Для этого применим умножение столбиком.

Умножение столбиком 3

Мы будем ставить запятую, отделяющую 8 цифр с правой стороны.  Потому что заданные дроби, вместе, имеют восемь знаков после запятой.

Нули в данной ситуации записываются. Это связано с недостаточным количеством значений.

Умножение столбиком 4

Получаем окончательное значение равное: 0 , 08280654

Как правильно умножить десятичные дроби на 0,001;0,01;0,1.

Для того чтобы умножить десятичную дробь на следующие значения: 0,1;0,01; 0,001, необходимо перенести знак запятой. Переносится знак в левую сторону, на количество знаков равное количеству нулей перед единицей.

Значение ноль целых, так же отсчитывается. При нехватке количества цифр, нужно дописать недостающее количество нулей.  

Примеры

\[35,9 \cdot 0,1=3,59;\]

\[1,9 \cdot 0,1=0,19;\]

\[145,6 \cdot 0,01=1,456;\]

\[9644,1 \cdot 0,001=9,6441;\]

\[22,9 \cdot 0,0001=0,00229.\]

Решим несколько примеров для закрепления материала.

Пример 1

Нужно произвести умножение значение: 9,4 и 0,0001.

Так как 0,0001 имеет четыре нуля, то переносим запятую в первом множителе заданное количество и получаем следующее значение.

\[9,4 \cdot 0,0001=0,00094\]

Ответ: 0,00094.

Пример 2

Нужно произвести умножение значение: 11.4 и 0,001.

Так как 0,001 имеет три нуля, то переносим запятую в первом множителе заданное количество и получаем следующее значение.

\[11,4 \cdot 0,001=0,00114\]

Ответ: 0,00114.

Пример 3

Умножаем следующие значения: 6,4 и 0,01.

Так как 0,01 имеет два нуля, то переносим запятую в первом множителе заданное количество и получаем следующее значение.

\[6,4 \cdot 0,01=0,064\]

Ответ: 0,064.

Условие умножения десятичной дроби с натуральным показателем

Принцип умножения дробей данного вида, такой же как и между десятичными. Используются и принимаются к сведению все те правила, которые были изучены ранее.

Подробно рассмотрим на примерах и решим их.

Пример №1:

Нам нужно вычислить произведение из числовых значений.

\[15 \cdot 2,27\]

Для этого воспользуемся правилом умножения через столбик.

Умножение столбиком 5

Следовательно, ответ задачи, исходя из вычисления равен: 34,05.

Пример №2:

Даны числовые значения 0,(42) и 22. Необходимо найти их произведение.

Для начала преобразуем периодическую дробь в обычную.

И получим следующее выражение:

\[0,(42)=0,42+0,0042+0,000042+\ldots=\frac{0,42}{1-0,1}=\frac{0,42}{0,99}=\frac{42}{99}=\frac{14}{33}\]

Следом проводим умножение: \[0,(42) \cdot 22=\frac{14}{33} \cdot 22=\frac{14 \cdot 22}{3}=\frac{28}{3}=9 \frac{1}{3}\].

Итоговый результат, будет записываться в виде периодической дроби, как и было задано изначально.

Ответ: \[0,(42) \cdot 22=9,(3)\]

Пример №3:

Даны значения и нужно их умножить \[(4 \cdot 2,145)\]

Для начала округляем бесконечную дробь до сотых значений. Умножаем полученные значения и получаем окончательный ответ к задаче.

\[4 \cdot 2,145 \ldots \approx 4 \cdot 2,15=8,60\]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Как умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10

Чтобы выполнить умножение на перечисленные числовые значения, нужно вспомнить правило переноса запятой. Это перенос вправо на количество нулей в множителе. Имеющиеся лишние нули можно просто убрать. А при недостатке нулевых значений, их можно дописать.

Примеры

\[1,11 \cdot 10=11,1\]

\[22,335 \cdot 100=2233,5\]

\[8,79 \cdot 1000=8790\]

\[0,34678 \cdot 10000=3467,8\]

\[0,02 \cdot 1000=20\]

\[0,00045 \cdot 100=0,045\]

Разберем на числовом примере принцип решения подобных задач:

Пример №1:

Вычислить значения 100 и 0,0783

Сначала переносим в десятичной дроби знак запятой. Так как в значении 100 два нуля, то запятая вправо переносится на два значения.

Следовательно, мы получаем следующее значение 007,83. Первые два нуля убираем, за ненадобностью и получаем ответ 7,83.

Ответ: \[0,0783 \cdot 100=7,83\]

Пример №2:

В этой задаче нужно найти значение двух числовых данных 0,2 и 10 000.

Вправо переносим запятую на четыре цифры. Так как второй множитель имеет четыре нуля. Так как нулей в исходном значении недостаточно их нужно дописать. Нам необходим только один ноль.  Из этого получаем следующее число 0,02000. Переносим знак запятой вправо и получаем 0200,0. Передний ноль перед двойкой убираем. Он нам не нужен. И получаем следующий ответ задачи: 200.

Принцип умножения десятичной дроби с обыкновенной и со смешанной дробью

Чтобы произвести данную операцию, необходимо выполнить следующие требования:

  1. Десятичную дробь преобразовывают в обыкновенную и умножаем с нужным числом.
  2. В десятичную переводим обыкновенную или смешанную дробь и далее умножаем друг с другом.

Ниже приведены примеры решения задач.

Пример №1. Найти произведение \[\frac{3}{5}\] на 0,9.

Поэтапный процесс решения.

1) Записываем 0,9 в виде обыкновенной дроби, а именно \[0,9=\frac{9}{10}\]

2) Умножаем цифры по правилам математики \[\frac{3}{5} \cdot \frac{9}{10}=\frac{27}{50}=0,54\].

Ответ: \[\frac{3}{5} \cdot 0,9=0,54\]

Пример №2. Найти произведение чисел \[0,18 \text { на } 3 \frac{1}{4}\].

Выполняем следующие действия:

1) Записываем \[3 \frac{1}{4}\] в виде десятичной дроби: \[3 \frac{1}{4}=3,25\].

2) Вычисляем известные нам значения: \[0,18 \cdot 3,25=0,585\]

Ответ: \[0,18 \cdot 3 \frac{1}{4}=0,585\]

Пример №3:

Даны следующие значения \[0,4 \text { и } 3 \frac{3}{5}\]. По условию задач нужно найти их произведение, иными словами умножить.

Первым делом 0,4 переведем в десятичную дробь и получим значение: \[0,4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\].

Затем проводим вычисление: \[0,4 \cdot 3 \frac{3}{5}=\frac{2}{5} \cdot \frac{23}{6}=\frac{23}{15}=1 \frac{8}{15}\].

Полученный ответ является смешанным значением. Его необходимо перевести в значение периодической дроби.  А именно: 1,5(3).

Следовательно, это и ответ задачи. 1,5(3).

Пример №4:

Вычислить произведение заданных чисел: \[3,5678 \ldots . . \text { и } \frac{2}{3}\]

Второй множитель, можно рассмотреть и записать как \[\frac{2}{3}=0,666 \ldots \ldots\]

Затем оба множителя распишем, и получим тысячный разряд. Получаем десятичные дроби и вычисляем значения. 3,568 и 0,667.

Для расчета применяем расчет с помощью столбика.

Расчет с помощью столбика

Получим итоговый результат и округлим его до трех знаков после запятой. Потому что именно до тысячных знаков, мы округляем исходные данные.

\[2,379856 \approx 2,380\]

Тема десятичных дробей материал довольно емкий. Который включает в себя много различных моментов. Их необходимо учитывать при решении задач и примеров. А именно:

  • принцип переноса знака запятой, на количество нулей;
  • преобразование десятичных дробей в иной вид дроби.

Обязательно помнить один из главных моментов в алгебре, а именно деление на ноль. Точнее сказать его запрет. Всегда нужно, помнить, что на ноль деление запрещается. И если нулевое значение имеет числитель дроби, то она всегда будет приравнена к нулю.

Соблюдая все изученные характеристики и свойства дробей, а также главные правила математики, можно решать задачи данного типа без особых трудностей.

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Хочу заработать