Признак делимости на 4: примеры, доказательство
Разберемся как определить, что число может делиться на 4, рассмотрим формулировку признака. Рассмотрим признак делимости на 4, правило и примеры использования признака при вычислении.
Для начала, чтобы узнать делится ли однозначное натуральное число на 4 без остатка, можно разделить его прямым путем на 4. Среди этих чисел только 4 и 8. Так же можно поступить с двузначными числами, трехзначными и т.п. Но по мере увеличения разрядов в числе проводить деление для проверки делимости на 4 становится все сложнее.
Тогда на помощь приходит Признак делимости на 4, с которым более подробно ознакомимся. Его суть заключается в проверке делимости на 4 одной или двух последних цифр многозначного натурального числа.
Рассмотрим, что это значит более подробно. Некоторое значение a может быть поделено на 4 только если одна или две крайние правые цифры в записи числа a могут быть поделены на 4 без остатка. Если же в записи некоторого числа a 2 цифры с правого края не могут быть поделены на 4 без остатка, то и все число a невозможно поделить на 4.
Какие из натуральных чисел 484 788, 89 336, 53 869 делятся на 4?
Решение:У числа 484 788 две крайние правые цифры 88 делятся на 4 без остатка, значит и 484 788 может быть поделено на 4 без остатка.
89 336 имеет 2 крайние правые цифры 36, а 36 делится на 4, значит и 89 336 можно поделить на 4.
53 869 имея две крайние цифры 69, не делится на 4, так как 69 не делимо без остатка на 4.
Ответ: числа 484 788 и 89 336 делятся на 4.
В случае если в исходном числе предпоследняя цифра ноль, то необходимо отбросить его из рассмотрения и ориентироваться на последнюю цифру в числе.
Делится ли на 4 натуральные числа 888 709 и 79 508?
Решение: У числа 888 709 две крайние правые цифры 09, поэтому ноль отбрасываем и ориентируемся на цифру 9, которая на 4 не делится.
79 508 имеет две крайние цифры 08, поэтому ноль отбрасываем, рассматриваем только цифру 8, которая на 4 делится без остатка.
Ответ: 888 709 на 4 не делится, а 79 508 может быть поделено на 4.
Если рассматривать числа, в конце записи которых находятся сразу два ноля, то они делятся на 4. Это доказывается тем, что 100 делится без остатка на 4, получается 25. Это утверждение можно доказать с помощью правила умножения числа на сто.
Если а — это произвольное многозначное число, в записи которого справа находятся два ноля.
То есть оно равно а1*100, где а1 — это сумма а, если отбросить два ноля, расположенные справа в записи.
Например, 777 800= 7 778*100.
Полученное произведение а1*100 имеет один из множителей цифру 100, она без остатка может быть поделена на 4, то есть 100:4=25. Это значит, что все произведение а1*100 можно поделить на 4.
Доказательство и правило делимости на 4
Правило признака делимости на 4, можно сформулировать таким образом:
Натуральное число может быть разделено без остатка на 4, если:
- две правые цифры в числе могут быть поделены на 4;
- оканчивается на 00.
Рассмотрим такой момент, придумаем любое натуральное число а и представим его в виде суммы а=а1*100+а0, где а1 — это сумма а, из записи которого откинуты две цифры с правой стороны, а0 — это 2 цифры с правого края из записи числа а.
Если рассматривать одно или двузначные числа, то в данном случае а=а0.
Свойства делимости
Вспомним и сформулируем свойства делимости:
- При делении модуля числа a на модуль числа b достаточно и необходимо, чтобы само значние a возможно было разделить на b без остатка.
- В равенстве a=s+t, при делении всех членов кроме одного на некоторое значение b, доказывает тот факт, что и последний член тоже можно поделить на некоторое значение b.
На основании данных свойств постараемся сформулировать теорему делимости на 4 и докажем ее правоту.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Теорема и доказательства
Поясним доказательство признака делимости на 4 в виде достаточного и необходимого условия делимости на 4.
Сформулируем теорему:
Необходимым и достаточным условием для делимости целого натурального числа а на 4 является факт делимости 2 цифр числа а, расположенных в конце записи, на 4.
Доказательство теоремы:
Предположим, что а равно 0, тогда теорема не нуждается в доказательстве. Для всех остальных натуральных чисел а, будем применять модуль числа а, которое является положительным:
\[|a|=a_{1} * 100+a_{0}\]
Учитывая тот факт, что произведение a1*100 всегда делится на 4, при этом опираясь на свойства делимости можно сделать вывод о том, что если а делится на 4, то и модуль а можно поделить на 4.
Из равенства \[|a|=a_{1} * 100+a_{0}\] следует, что а0 делится на 4. Этим мы доказали необходимость.
Из равенства \[|a|=a_{1} * 100+a_{0}\] можно сделать вывод, что модуль числа а делится на 4, а это означает, что и само а можно поделить на 4. Этим мы докажем достаточность.
Другие случаи делимости на 4
Иногда возникает необходимость проверить делится ли число на 4, если оно представлено в виде некоторого выражения, значение которого сначала надо вычислить. В этом случае необходимо:
- Исходное выражение постараемся изменить, чтобы получилось произведение, один из множителей которого будет делиться на 4.
- На основании полученных данных и свойств делимости необходимо сделать заключение о делимости всего исходного выражения на 4.
Формула бинома Ньютона поможет в решении таких задач.
Необходимо вычислить делится ли на 4 выражение 9n−12n+7, если n – это некоторое натуральное число?
Решение: Для начала необходимо представить 9 в виде суммы 8+1, далее мы сможем применить формулу бинома Ньютона:
\[\begin{aligned}
&9^{n}-12 n+7=(8+1)^{n}-12 n+7= \\
&\left(C \stackrel{0}{n} * 8^{n}+C \stackrel{1}{n} * 8^{n-1} * 1+\ldots+C \stackrel{n-2}{n} * 8^{2} * 1^{n-2}+C\stackrel{n-1}{n} * 8 * 1^{n-1}+C \stackrel{n}{n} * 1^{n}\right)-12 n+7= \\
&\left(8^{n}+C \stackrel{1}{n} * 8^{n-1} * 1+\ldots+C \stackrel{n-2}{n} * 8^{2}+n * 8+1\right)-12 n+7= \\
&8^{n}+C\stackrel{1}{n} * 8^{n-1} * 1+\ldots+C^{n-2} * 8^{2}-4 n+8= \\
&4 *\left(2 * 8^{n-1}+2 * C\stackrel{1}{n} * 8^{n-2}+\ldots+2 * C\stackrel{n-2}{n} * 8^{1}-n+2\right)
\end{aligned}\]
Произведение, которое получилось в результате преобразований, имеет один из множителей 4, а выражение в скобках — это натуральное число. Поэтому можно сделать вывод о том, что это произведение без остатка можно поделить на 4.
Итак, мы сможем утверждать, что исходное выражение 9n+12n+7 можно поделить на 4, при условии, что n – это любое натуральное значение.
Ответ: исходное выражение может быть поделено на 4 без остатка.
К решению данного выражения можно применить метод математической индукции.
Необходимо доказать, что выражение 9n+12n−7 можно без остатка поделить на 4, при соблюдении условия, что n – это любое натуральное.
Решение: Предположим, что n=1, тогда мы сможем решить выражение таким образом
91+12∗1−7=4, а это означает, что 4 делится на 4 без остатка.
Далее предположим, что n=k, и при этом значении выражение 9n+12n−7, будет делиться без остатка на 4.
Получаем выражение 9k+12k−7 и оно без остатка делится на 4.
Далее докажем, что выражение 9n+12n+7 можно поделить на 4, при условии, что n=k+1, но с учетом того, что выражение 9k+12k−7 делится на 4.
9k+1−12(k+1)+7=9∗9k−12k−5=9∗(9k−12k+7)+96k−68=9∗(9k−12k+7)+4∗(24k−17)
В итоге преобразований получаем сумму, где первое слагаемое 9∗(9k−12k+7) может быть поделено на 4 без остатка, имея ввиду наше предположение о том, что 9k−12k+7 делится на 4, а второе слагаемое в выражении имеет вид 4∗(24k−17) и содержит множитель 4, исходя из этого можно сделать вывод, что оно тоже делимо на 4. Соответственно и вся исходная сумма может быть поделена на 4.
Ответ: с помощью математической индукции мы доказали, что 9n−12n+7 можно поделить на 4, если n – это любое натуральное число.
Мы можем использовать еще один вариант для того, чтобы доказать делимость без остатка некоторого выражения на 4. Этот подход предполагает следующее:
- докажем, что значение выражения с переменной nможно поделить на 4, если n=4*m, n=4*m+1, n=4*m+2, n=4*m+3, с учетом того, что m – это целое значение;
- сделаем вывод о доказательстве делимости выражение на 4, при условии, что n – это целое.
Необходимо доказать, что значение выражения n*(n2+1)*(n+3)*(n2+4) при условии, что n это целое, делится на 4.
Решение: Предположим, что n=4*m, тогда получаем выражение:
4m*((4m)2+1)*(4m+3)*((4m)2+4)=4m*(16m2+1)*(4m+3)*4*(4m2+1)
Произведение, которое получилось в результате преобразований, содержит множитель 4, а все остальные множители – это целые числа, исходя из этого можно утверждать, что все выражение делится на 4.
Предположим, что n=4*m+1, тогда получаем выражение:
(4m+1)*((4m+1)2+1)*(4m+1+3)*((4m+1)2+4)=(4m*1)+((4m+1)2+1)*4(m+1)*((4m+1)2+4)
В полученном произведении есть множитель 4, что свидетельствует о том, что исходное выражение делится на 4.
Если же предположить, что n=4*m+2, то получаем:
(4m+2)*((4m+2)2+1)+(4m+2+3)*((4m+2)2+4)=2*(2m+1)+(16m2+16m+5)*(4m+5)*8*(2m2+2m+1)
В данном произведении получаем один из множителей 8, а 8 делится на 4, значит и все выражение делится на 4.
Рассмотрим вариант, если что n=4*m+3, то получаем следующее выражение:
(4m+3)*((4m+3)2+1)*(4m+3+3)*((4m+3)2+4)=(4m+3)*2*(8m2+12m+5)*2*(2m+3)*(16m2+24m+13)=4*(4m+3)*(8m2+12m+5)*(16m2+24m+13)
