Признак делимости на 6, примеры, доказательство
Деление — одна из четырех основных операций, которая делит число на равные части. Это математический метод, при котором число делится на более мелкие группы, или метод распределения количества на равные части. Обозначается несколькими символами: косой чертой, горизонтальной чертой и знаком деления.
Деление — это операция, обратная умножению. Например, умножение 5 на 2 дает 10. Вы можете получить любой из множителей 2 и 5, разделив 10 на любое из чисел.
Что такое признаки делимости?
Как следует из названия, правила делимости— это процедуры, используемые для проверки того, делится ли число на другое число, без обязательного фактического деления. Число делится на другое число, если результат или частное является целым числом, а остаток равен нулю.
По сути, это алгоритм, позволяющий быстро определить, делится ли число на заданное число. В случае если признак делимости позволяет узнать и остальное распределение, его называют признаком компетентности.
Эта статья демонстрирует смысл признака делимости на 6. Его формулировка представлена с примерами решения. Ниже мы приводим доказательство признака делимости на 6 на примере некоторых выражений.
Признаки делимости на 6, примеры
Говорят, что целое число делится на 6, если оно удовлетворяет двум условиям, приведенным ниже.
- Целое число должно делиться на 2. Число делится на 2, если цифра единичного разряда числа четная, т. е. 0, 2, 4, 6 и 8.
- Целое число должно делиться на 3. Число делится на 3, если сумма всех цифр числа кратна 3 или сумма точно делится на 3.
Оба условия должны применяться к числу при выполнении теста на делимость 6. Если число не удовлетворяет ни одному из данных условий или обоим, то мы можем сказать, что число не делится на 6. Другими словами, мы можем сказать, что все четные числа в таблице умножения 3 делятся на 6.
Давайте разберемся с правилом делимости на 6 на примерах.
- Применение признака делимости на 6 к числу 9156.
Первое условие: число должно делиться на 2 ⇒ 9156 оканчивается на четное число (6). Оно делится на 2 [9156 ÷ 2 = 4578].
Условие второе: число должно делиться на 3. Сумма цифр числа 9156 равна 21 (9 + 1 + 5 + 6 = 21). Сумма 21 делится на 3. Число 9156 делится на 3.
Таким образом, 9156 делится и на 2, и на 3. Следовательно, оно делится на 6. - Применение правила делимости на 6 к числу 825.
Условие первое: число должно делиться на 2 ⇒ 825 оканчивается на нечетное число (5). Оно НЕ делится на 2.
Второе условие: число должно делиться на 3. Сумма цифр числа 825 равна 15 (8+ 2 + 5 = 15). Сумма 15 делится на 3. Число 825 делится на 3 (825 ÷ 3 = 275).
Мы видим, что 825 НЕ делится на 2 и делится на 3. Поскольку число не удовлетворяет одному условию, следовательно, 825 НЕ делится на 6.
Правило делимости на 6 для больших чисел
Правило делимости 6 одинаково для всех чисел, будь то меньшее число или большое число. Большое число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3. Большое число должно удовлетворять обоим условиям признака делимости числа 6.
Следуйте инструкциям, чтобы проверить, делится ли большое число на 6 или нет.
- Проверьте разрядность единицы номера. Если оно четное, то делится на 2, а если нечетное, то НЕ делится на 2.
- Проверьте сумму всех цифр числа. Если сумма делится на 3, то и число делится на 3.
- Если шаг 1 и шаг 2 говорят, что большое число делится и на 2, и на 3, то говорят, что большое число делится на 6.
Например, 145962
- Число четное, поэтому оно делится на 2.
- Сумма всех цифр 1+4+5+9+6+2 = 27, да, сумма 27 делится на 3, что означает, что 145962 также делится на 3. Обратите внимание, что сумма цифр числа 27 равно 2 + 7 = 9, также делится на 3. Мы можем повторить этот процесс, чтобы приблизить сумму к 3.
- Число 145962 делится и на 2, и на 3. Следовательно, число 145962 делится на 6.
Узнать, делятся ли данные числа на 6 или нет, используя признак делимости на 6.
а) 80
б) 264
а) Поскольку 80 — четное число, оно делится на 2, но сумма цифр, то есть 8 + 0 = 8, не делится на 3, поэтому 80 не делится на 3. Таким образом, число 80 не делится на 3. делится на 6, потому что делится на 2, но не делится на 3.
б) Поскольку 264 является четным числом, оно делится на 2. Кроме того, сумма цифр, то есть 2 + 6 + 4 = 12, делится на 3, поэтому 264 также делится на 3. Таким образом, число 264 делится на 6, потому что делится и на 2, и на 3.
Используя правило делимости на 6, узнайте, делится ли число 4578 на 6 или нет.
Решение: Поскольку 4578 — четное число, оно делится на 2. Кроме того, сумма цифр 4+ 5+ 7 + 8 = 24 делится на 3, или мы можем добавить цифры 24, чтобы упростить 2 +4 = 6 делится на 3, следовательно, 4578 также делится на 3. Следовательно, число 4578 делится на 6, потому что оно делится на 2 и 3 (4578 ÷ 6 = 763).
Проверьте, делится ли заданное большое число 433788 на 6 или нет, используя правило делимости на 6.
Решение: Поскольку заданное большое число 433788 является четным числом (цифра разряда единиц четна), оно делится на 2. Кроме того, сумма цифр, равная 4 + 3 + 3 + 7 + 8 + 8 = 33, делится. на 3, или мы можем добавить цифры 33, чтобы упростить 3 +3 = 6 делится на 3, таким образом, 433788 также делится на 3. Следовательно, число 433788 делится на 6, потому что оно делится на оба числа 2 и 3. (433788 ÷ 6 = 72298).
Доказательство признака делимости на 6
Рассмотрим доказательство признака делимости на 6 с необходимыми и достаточными условиями.
Для того чтобы целое число, а делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы это число делилось на 2 и 3.
Доказательство
Сначала нужно доказать, что делимость числа a на 6 делает его делящимся на два и три. Используя свойство делимости: если целое число делится на b, то произведение ba на целое число b также делится на b. Отсюда следует, что при делении a на 6 можно использовать свойство делимости, чтобы представить равенство как a = 6 ⋅ q a=6 q, где q — целое число. Такое обозначение произведения говорит о том, что наличие множителя дает гарантию деления на 2 и на 3. Необходимость доказана. Чтобы полностью доказать делимость на 6, нужно доказать достаточность. Для этого нужно доказать, что если число делится и на 2, и на 3, то оно делится и на 6 без остатка. Необходимо применить основную теорему арифметики. Если произведение нескольких положительных целых множителей, отличных от единицы, делится на простое число p, то хотя бы один множитель делится на p. Имеем, что целое число a делится на 2, тогда существует такое число q, когда a = 2 ⋅ q a = 2 q. Это же выражение делится на 3, где 2 ⋅ q 2 q делится на 3. Очевидно, 2 не делится на 3. Из теоремы следует, что q должно делиться на 3. Отсюда получаем, что существует целое число q1, где q = 3 ⋅ q 1 q = 3 q1. Отсюда полученное неравенство вида a = 2 ⋅ q = 2 ⋅ 3 ⋅ q 1 = 6 ⋅ q 1 a = 2 q = 2 3 q1 = 6 q1 говорит о том, что число a будет делиться на 6. Доказывается достаточность.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Другие случаи делимости на 6
В этом разделе мы рассмотрим способы доказательства делимости на 6 с использованием переменных. В этих случаях (когда целое число явно не указано) прямое деление и применение признака делимости на 6 зачастую невозможно, поэтому необходим другой подход к решению.
Аппроксимация основана на теореме: если один из целых множителей произведения делится на определенное число, то и весь продукт делится на это число. То есть, если данное выражение представить в виде произведения, в котором один из сомножителей делится на 6, то это докажет делимость на 6 исходного выражения. Остается способ подачи в виде произведения.
Иногда удается представить определенное выражение в виде желаемого произведения.
Делится ли значение выражения на 6 для натурального числа a.
Решение. Итак, число 7 равно сумме 6 + 1. Теперь применим биномиальную формулу Ньютона, после чего проведем необходимые преобразования:
\[\begin{aligned}
& 7^{a}-12 a+11=(6+1)^{a}-12 a+11 \\
=& M_{a}^{0} \times 6^{a}+M_{a}^{1} \times 6^{a-1} \times 1+\ldots+M_{a}^{a-2} \times 6^{2} \times 1^{a-2} \\
+&\left.M_{a}^{a-1} \times 6 \times 1^{a-1}+M_{a}^{a} \times 1^{a}\right)-12 a+11 \\
=&\left(6^{a}+M_{a}^{1} \times 6^{a-1}+\cdots+M_{a}^{a-2} \times 6^{2}+a \times 6+1\right)-12 a \\
+& 11=6^{a}+M_{a}^{1} \times 6^{a-1}+\ldots+M_{a}^{a-2} \times 6^{2}-6 a+12=\\
=& 6\left(6^{a-1}+M_{a}^{1} \times 6^{a-2}+\ldots+M_{a}^{a-2} \times 6^{1}-a+2\right)
\end{aligned}\]
Вот мы и пришли к произведению, которое делится на 6, потому что оно содержит множитель 6, а значение выражения в скобках — натуральное число для любого натурального a (поскольку сумма и произведение натуральных чисел — натуральное число). Следовательно, значение исходного выражения для любого положительного целого числа a делится на 6.
Ответ: да.
Если выражение задать в виде полинома, то иногда можно получить произведение с множителем, кратным 6. Тогда переменная a в полученном разложении получает значения a = 6 b, a = 6 b + 1, a = 6 b + 2,…, a = 6 b + 5, где b — целое число. Демонстрация делимости для каждого из этих a докажет делимость исходного выражения на 6 для любого целого числа a.
Докажите, что для любого целого числа a значение выражения делится на 6.
Решение. Разложение этого выражения имеет вид \[a^{3}+5 a=a\left(a^{2}+5\right)\]
При a = 6b имеем \[a\left(a^{2}+5\right)=6 b\left(36 b^{2}+5\right)\]
Полученное произведение содержит множитель 6, поэтому оно делится на 6 для любого целого числа b.
Правила деления на числа от 1 до 10, а также на 11 и 25 были выведены для упрощения процесса деления натуральных чисел. Оканчивающиеся на 2, 4, 6, 8, 0 считаются четными.
