Длина вектора — основные формулы
Основные понятия вектора
Для того чтобы приступить к разбору формул нахождения длины вектора, необходимо разобраться в основных понятиях и определениях векторов.
Понятие вектора получило широкое распространение в 19 веке, в математических науках, особенно в таком её разделе, как «Комплексные числа».
Вектор — это отрезок с определённой длиной и направлением.
Графическое изображение вектора — отрезок который имеет указание направления в виде стрелки.
Вектор, который будет иметь начальную точку Х и конец в точке А, правильно обозначать ХА, с верхним подчёркиванием или стрелочкой, а также допустимо прописывать одной прописной буквой.
Длину вектора (модуль), определяет числовое значение длины отрезка, имеющего направление. Обозначается длинна двумя вертикальными отрезками |ХА|.
- Понятие нулевого вектора. Такое название получил вектор, у которого и начало, и конец находятся в одной точке. Обозначение он имеет в виде цифры ноль с верхним подчёркивание, а длина равна нулю.
- Коллинеарные вектора. Одна прямая может содержать несколько векторов, такие векторы получили название коллинеарных. Также коллинеарными считаются векторы на параллельных прямых.
- Сонаправленные. Два коллинеарных вектора считаются сонаправленными, если имеют одно направление.
- Противоположно направленные. Вектора, с направлениями в разные стороны, и являются коллинеарными, называют противоположно направленными.
- Компланарные вектора. Такими векторами называют, те что лежат в одной плоскости
Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.
Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.
Вектора могут находится не только на плоскости, но и в пространстве, от этого расположения будет зависеть какую формулу необходимо использовать для нахождения их длины или модуля. Стоит также отметить, что вектора могут быть равными, при этом они должны иметь одно направление, одинаковые длины и быть коллинеарными. Существует понятие единичного вектора, таким он будет являться если равен единице измерения.
Как найти длину вектора
Модуль вектора а будем обозначать
Для того чтобы найти модуль вектора или его длину, на плоскости по координатам, необходимо рассмотреть вектор используя прямоугольную декартову систему координат Оxy. Допустим в данной системе будет задан, так вектор 
На взятой системе координат, от её начала отложим вектор
Далее используя теорему Пифагора мы получим равенство АО² = ОAₓ² и OAᵧ², отсюда следует
Теперь в соответствии с определением вектора относительно прямоугольной оси координат выходит, что ОAₓ² = aₓ² и также для OAᵧ² = aᵧ² , а так как на построенном прямоугольнике мы видим, что ОА равна длине вектора 
Из вышесказанного выходит, что для того чтобы найти длину вектора с точками (aₓ ; aᵧ), выводим следующую формулу:
Когда вектор 
Чтобы рассчитать длину
Необходимо:
Чтобы найти модуль вектора используем ранее приведённую формулу
Ответ: 
Существуют также формулы вычисления длины вектора в пространстве, они выводятся аналогично тем, что в системе координат на плоскости. Если взять вектор 
В таком случае \( AO^2=OA_x^2+OA_y^2+OA_z^2 \) (из рисунка видно, что АО — диагональ прямоугольного параллелепипеда), поэтому
из определения получаются равенства ОAₓ=aₓ; OAᵧ=aᵧ; OA
Необходимо узнать длину вектора \( \left|\vec{a}\right|=2*\vec{i}+3*\vec{j}+4*\vec{k} \), в котором \( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \), орты.
Решение
Получается, что дан вектор \( \left|\vec{a}\right| \) с координатами (2; 3; 4)
Применив выведенную ранее формулу получим
Ответ: 
Длина вектора через координаты точек начала и конца
Ранее мы рассмотрели формулы, которые позволят находить длину вектора используя при этом координаты. Рассматривались примеры в трёхмерном пространстве на плоскости. Используя данные формулы можно найти длину вектора, если известны координаты точек его начала и конца.
Возьмём точки с обозначенными координатами начала A(aₓ ; aᵧ) и конца В(bₓ ; bᵧ), из чего следует, что вектор 
При этом формула вычисления длины вектора 
Для прямой системы координат, найти длину вектора \( \overrightarrow{AB}\) , где A(1,√3) B(-3,1)
Решение
Применив формулу, для нахождения длины вектора, с известными координатами точек начала и конца, в плоской системе координат, выходит:
Существует второй вариант решения, где формулы применяются по очереди:
Ответ: 
Найти, решения, при подстановке которых, длина вектора будет равна корню из тридцати, при координатах точек А (0,1,2) и В (5,2,\(λ^2\))
Решение
В первую очередь представим длину вектора в виде формулы.
\( \left|\vec{AB}\right|=\sqrt{\left ( b_x-a_x \right )^2+ \left ( b_y-a_y \right )^2 + \left ( b_z-a_z \right )^2}\)
\(=\sqrt{\left ( 5-0 \right )^2+ \left ( 2-1 \right )^2 + \left ( \lambda^2 -2\right )^2} = \sqrt{26 + \left ( \lambda^2 -2\right )^2}\)
Теперь приравняем полученное выражение к корню из тридцати и найдём неизвестное значение, решив полученное уравнение.
\(
\sqrt{26+\left(\lambda^2-2\right)^2}=\sqrt{30}
\)
\(
26+\left(\lambda^2-2\right)^2=30
\)
\(
\left(\lambda^2-2\right)^2=4
\)
\(
\lambda^2-2=2
\)
или
\(
\lambda^2-2=-2
\)
\(
\lambda_1=-2, \lambda_2=2, \lambda_3=0.
\)
Ответ: \(
\lambda_1=-2, \lambda_2=2, \lambda_3=0.
\)
Длина вектора по теореме косинусов
Так как бывают случаи, когда не известны координаты точек вектора, необходимо искать другие варианты, при помощи которых можно найти длину вектора. Таким способов может стать применение теоремы косинусов.
К примеру, нам известны длины двух векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) , а также угол между ними, или его косинус. При этом необходимо найти длину вектора \( \overrightarrow{BC} \) , в таком варианте задания необходимо воспользоваться теоремой косинусов, представив треугольник АВС. В данном треугольнике мы будем искать сторону ВС, она и будет равна длине искомого вектора. Подробнее рассмотрим на примере.
Даны длины двух векторов \( \overrightarrow{AK}\) и \( \overrightarrow{AM}\) 2 и 4 соответственно, а угол между ними равен \( \frac{\pi}{3} \) . необходимо найти длину \( \overrightarrow{KM}\).
Решение
В нашем примере длины векторов и длины сторон треугольника АМК совпадают. Две из сторон нам известны это АК и АМ, а также известен угол треугольника, находящийся между этими сторонами. Используя теорему косинусов получим:
\(
KM^2=AK^2+AM^2-2\cdot AK\cdot AM\cdot\cos\frac{\pi}{3}\)
\(=2^2+4^2-2\cdot2\cdot4\cdot\cos\frac{\pi}{3}\)
\(=4+16-16\cos\frac{\pi}{3}\)
\(=20-8=12
\)
Получается \(KM=\sqrt{12}
\)
Ответ: \(
\left|\overrightarrow{KM}\right|=\sqrt{12}
\)
Теперь мы видим, что для нахождения длины вектора существует несколько формул, которыми можно воспользоваться в зависимости от известных параметров.
Первая формула это \( \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}. \), для плоскости
\(
\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}
\)
длина вектора формула для трёхмерного пространства;
\( \left|\vec{AB}\right|=\sqrt{\left ( b_x-a_x \right )^2+ \left ( b_y-a_y \right )^2 + \left ( b_z-a_z \right )^2}\)длина вектора формула по известным координатам начала и конца вектора находящегося пространстве; \( \left|\vec{AB}\right|=\sqrt{\left ( b_z-a_z \right )^2+ \left ( b_y-a_y \right )^2}\) если известны координаты начала и конца вектора на плоскости.
Существует также формула длины вектора перемещения: \( \left|\vec{S}\right|=\sqrt{ s_x^2+s_y^2}\) чаще такая формула применима в физике, для того чтобы узнать длину пути материальной точки.
В случае если известен угол, между двумя векторами, можно использовать теорему Пифагора.
Применение векторов в других сферах
Понятие и вычисление вектора важно не только в математике, но и других науках:
- в физике. Для визуального изображения таких понятий как скорость, сила, ускорение и т.д. А также векторы помогают моделировать физические процессы;
- в химии. Для изображения химических процессор. При помощи векторов изображают движение электронов и других частиц;
- в биологии. Биологические процессы, также имеют графическое изображение при помощи векторов. К примеру перенос паразитов;
- географии. Вектором обозначается движение воздушных масс, или течение реки;
Векторы используются не только в науках, но и различных отраслях и профессиях. В судоходстве и аэрофлоте, архитектуре и конструировании, а также многих других областях. Для того чтобы найти длину вектора, мы можем использовать одну из формул, в зависимости от того, что нам о нём известно, и в каком пространстве или плоскости находится неизвестный вектор.
