Один из важнейших разделов математики – производные. Для их нахождения существуют специальные формулы производных. Для работы с ними необходимо знать основные формулы элементарных функций.    

Таблица формул производных

Ниже приведена таблица формул производных элементарных функций.

\[C^{\prime}=0\]\[(\ln \ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\]
\[x^{\prime}=1\]\[(\sin \sin x)^{\prime}=\cos \cos x\]
\[\left(x^{2}\right)^{\prime}=2 x\]\[(\cos \cos x)^{\prime}=-\sin \sin x\]
\[\left(x^{n}\right)^{\prime}=n * x^{n-1}\]\[(\operatorname{tg} x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2}(x)}\]
\[\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} * \ln (a)\]\[(\operatorname{ctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2}(x)}\]
\[\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\]\[(\arcsin \arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]
\[(x)^{\prime}=\frac{1}{x * \ln (a)}\]\[\begin{aligned}
(\arccos &\arccos x)^{\prime} \
&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
\end{aligned}\]
\[(\operatorname{arctg} x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\]\[(\operatorname{arcctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}\]
Таблица 1 – Производные элементарных функций

Смысл производной

В математике производная имеет геометрический и физический смыслы.

Допустим, что некоторая функция f(x) задана в интервале (a, b). При этом есть две точки x и x0, которые находятся в указанном интервале. Если значение x будет изменяться, то и f(x) тоже изменится. Изменение аргумента находится из выражения (x – x0). Эта разность обозначается как Δx – приращение аргумента. В таком случае приращением функции будет являться разность между ее значениями в двух точках. Исходя из этого, можно дать определение производной. Ей называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в указанной точке. При этом сам аргумент стремится к нулю.

В математике формулы производных функций записываются так:

\[\begin{gathered} f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\left(\frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}\right). \\ y^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right) . \end{gathered}\]

Смысл этих формул, а точнее нахождения их значений, может быть описан с точки зрения геометрии и физики.

Геометрический смысл состоит в том, что производная функции в конкретной точке равняется тангенсу угла, который образован осью абсцисс и касательной линией к графику. Пример показан на рисунке ниже.

Геометрический смысл производной
Рисунок 1 – Геометрический смысл производной

В физике смысл состоит в том, что производная от пройденного расстояния по времени есть скорость движения точки.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Формула вычисления производной дроби

Рассмотрим формулу вычисления производной дроби. Функция v(x) имеет производную в определенной точке x. При этом v(x) не равна нулю (v(x) ≠ 0). В таком случае справедлива следующая формула:

\[\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}\]

Рассмотрим примеры использования формулы производной дроби при решении задач.

Примеры 1 — 2

Первый пример с выражениями из тригонометрии: \[y=\frac{\cos \cos x}{x^{2}}\]

Пользуясь таблицей 1 найдем:

\[\begin{gathered}
y^{\prime}=\frac{\left.(\cos \cos x)^{\prime} * (x^{2}-x\right) *\left(x^{2}\right)^{\prime}}{\left(x^{2}\right)^{2}} =\\
\frac{(-\sin \sin x) * x^{2}-(\cos \cos x) * 2 x}{x^{4}} .
\end{gathered}\]

Вынесем x за скобки и преобразуем полученное выражение: \[y^{\prime}=\frac{(-\sin \sin x) * x-2 \cos \cos x}{x^{3}}\]

Другой пример:

\[\begin{gathered}
y=\frac{x^{3}}{x^{3}+2} \\
y^{\prime}=\frac{\left(x^{3}\right)^{\prime} *\left(x^{3}+2\right)-x^{3} *\left(x^{3}+2\right)^{\prime}}{\left(x^{3}+2\right)^{2}} \\
y^{\prime}=\frac{3 x^{2} *\left(x^{3}+2\right)-x^{3} * 3 x^{2}}{\left(x^{3}+2\right)^{2}} \\
y^{\prime}=\frac{3 x^{5}+6 x^{2}-3 x^{5}}{\left(x^{3}+2\right)^{2}}=\frac{6 x^{2}}{\left(x^{3}+2\right)^{2}}
\end{gathered}\]

Решение примеров на нахождение производных в математике называется дифференцированием.  Они бывают двух типов:

  • частными;
  • полными.

Между этими типами есть одно основное отличие. При нахождении частной производной функция аппроксимируется только по одному аргументу. Так во всех предыдущих примерах аппроксимация производилась только по x.