Базовые формулы сложения тригонометрических функций
Определение
Формулы сложения выражают функции суммы углов поворота α и β или их разности, одни из самых используемых формул в тригонометрии.
С помощью тригонометрических формул сложения можно вывести множество прочих важных формул и сделать выражение проще, чем исходное.
Синус суммы углов α и β определяется следующим образом:
умножаем синус и косинус углов \[\alpha \text { и } \beta\];
вычисляем произведение косинуса и синуса этих углов;
получившиеся значения складываем.
Запись выглядит следующим образом: \[\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha * \cos \beta+\cos \alpha * \sin \beta ;(1)\]
Синус разности находят подобным образом. В первую очередь умножаем синус (sin) угла \[\beta\] на косинус (cos) угла \[\alpha\], затем косинус угла \[\alpha\] умножаем на синус угла \[\beta\] и находим их разность. Формула выглядит следующим образом: \[\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha * \cos \beta-\cos \alpha * \sin \beta ; (2)\]
Косинус суммы вычисляют следующим образом: косинус (cos) угла \[\alpha\] следует умножить на косинус (cos) угла \[\beta\] и синус (sin) угла \[\alpha\] на синус (sin) угла \[\beta\], далее находим их разность. Формула сложения для косинуса cos выглядит так: \[\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha * \cos \beta-\sin \alpha * \sin \beta;(3)\]
Косинус разности углов α и β вычисляется как сумма произведений косинусов значений углов α и β и синусов углов α и β. \[\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha * \cos \beta+\sin \alpha * \sin \beta;(4)\]
Тангенс суммы выражается дробным выражением, где в числителе сумма тангенсов углов α и β. Произведение тангенсов углов α и β вычитается из единицы в знаменателе. Запись формулы: \[\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg} \alpha * \operatorname{tg} \beta}\];(5)
Тангенс разности определяется следующим образом. В дробном выражении в числителе указывается разность тангенсов углов α и β, а в знаменателе к 1 прибавляется произведение тангенсов углов α и β. \[\operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\frac{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{1+\operatorname{tg} \alpha * \operatorname{tg} \beta};(6)\]
Для вычисления котангенса суммы необходимо найти произведение и сумма сумма котангенсов заданных углов. \[\operatorname{ctg}(\alpha+\beta)=\frac{-1+\operatorname{ctg} \alpha * \operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha+\operatorname{ctg} \beta};(7)\]
Котангенс разности определяется схоже с предыдущей формулой, с той разницей, что в числителе и знаменателе дроби ставится минус, а не плюс. \[\operatorname{ctg}(\alpha-\beta)=\frac{-1-\operatorname{ct} g \alpha * \operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg} \beta};(8)\]
Для краткости записи формул сложения чисел, их группируют, с применением знаков плюс/минус \[\pm\] либо минус плюс \[\pm\].
Большую часть понятий в алгебре можно доказать. Формулы сложения нужны в старших классах для подготовки к ЕГЭ по математике и имеют свои доказательства. Рассмотрим формулу косинуса разности (4). С ее помощью осуществляется доказательство остальных формул сложения.
Рис.1.Рис.2.
На рисунке 1 положительная часть О – общая начальная точка углов α и β. Точки \[M_{1} \text { и } M_{2}\] отстоят от начала координат на 1. Известно, что угол между векторами не должен превышать 180° (π). Единичная окружность получилась путем поворота точки М вокруг центра О на угол α и β. Угол между векторами \[O M_{1} \text { и } O M_{2}\]. равен α – β. Угол между векторами \[O M_{1} \text { и } O M_{2}\] на рисунке 2 равен \[2 \pi-(\alpha-\beta)\].
Далее проведем анализ косинусов этих углов. С помощью формул приведения вычислим: \[\cos (2 \pi-(\alpha-\beta))=\cos (\alpha-\beta)\]
Скалярное произведение векторов \[M_{1} \text { и } M_{2}\]:
Определение синуса и косинуса говорит, что синус – это функция угла, которая соответствует отношению катета противолежащего угла к гипотенузе. В свою очередь косинус – представляет собой синус дополнительного угла. В связи с тем, что координаты точки \[M_{1}(\cos \beta ; \sin \beta)\]; координаты точки \[M_{2}(\cos \alpha ; \sin \alpha)\]. Вычислим скалярное произведение по координатам векторов \[M_{1} \text { и } M_{2}\]:
Для доказательства формулы (3) воспользуемся предыдущими расчетами. Для этого запишем косинус суммы углов α и β как косинус разности этих углов. Для доказательства формулы сложения используем свойства sin и cos. Косинус функция четная и не меняет знак при смене знака угла (аргумента) \[\cos (-\alpha)=\cos \alpha\], а синус нечетная \[\sin (-a)=-\sin \alpha\]
