СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Напишем

СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Базовые формулы сложения тригонометрических функций

Определение

Формулы сложения выражают функции суммы углов поворота α и β или их разности, одни из самых используемых формул в тригонометрии.

С помощью тригонометрических формул сложения можно вывести множество прочих важных формул и сделать выражение проще, чем исходное.

  1. Синус суммы углов α и β определяется следующим образом:
    • умножаем синус и косинус углов \[\alpha \text { и } \beta\];
    • вычисляем произведение косинуса и синуса этих углов;
    • получившиеся значения складываем.

      Запись выглядит следующим образом:
      \[\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha * \cos \beta+\cos \alpha * \sin \beta ;(1)\]
  2. Синус разности находят подобным образом. В первую очередь умножаем синус (sin) угла \[\beta\] на косинус (cos) угла \[\alpha\], затем косинус угла \[\alpha\] умножаем на синус угла \[\beta\] и находим их разность. Формула выглядит следующим образом:
    \[\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha * \cos \beta-\cos \alpha * \sin \beta ; (2)\]
  3. Косинус суммы вычисляют следующим образом: косинус (cos) угла \[\alpha\] следует умножить на косинус (cos) угла \[\beta\] и синус (sin) угла \[\alpha\] на синус (sin) угла \[\beta\], далее находим их разность. Формула сложения для косинуса cos выглядит так:
    \[\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha * \cos \beta-\sin \alpha * \sin \beta;(3)\]
  4. Косинус разности углов α и β вычисляется как сумма произведений косинусов значений углов α и β и синусов углов α и β.
    \[\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha * \cos \beta+\sin \alpha * \sin \beta;(4)\]
  5. Тангенс суммы выражается дробным выражением, где в числителе сумма тангенсов углов α и β. Произведение тангенсов углов α и β вычитается из единицы в знаменателе. Запись формулы:
    \[\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg} \alpha * \operatorname{tg} \beta}\];(5)
  6. Тангенс разности определяется следующим образом. В дробном выражении в числителе указывается разность тангенсов углов α и β, а в знаменателе к 1 прибавляется произведение тангенсов углов α и β.
    \[\operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\frac{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{1+\operatorname{tg} \alpha * \operatorname{tg} \beta};(6)\]
  7. Для вычисления котангенса суммы необходимо найти произведение и сумма сумма котангенсов заданных углов.
    \[\operatorname{ctg}(\alpha+\beta)=\frac{-1+\operatorname{ctg} \alpha * \operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha+\operatorname{ctg} \beta};(7)\]
  8. Котангенс разности определяется схоже с предыдущей формулой, с той разницей, что в числителе и знаменателе дроби ставится минус, а не плюс.
    \[\operatorname{ctg}(\alpha-\beta)=\frac{-1-\operatorname{ct} g \alpha * \operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg} \beta};(8)\]

Для краткости записи формул сложения чисел, их группируют, с применением знаков плюс/минус \[\pm\] либо минус плюс \[\pm\].

\[ \sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha * \cos \beta \pm \cos \alpha * \sin \beta \]
\[ \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha * \cos \beta \pm \sin \alpha * \sin \beta \]
\[ \operatorname{tg}(\alpha \pm \beta)=\frac{\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \pm \operatorname{tg} \alpha * \operatorname{tg} \beta} \]
\[ \operatorname{ctg}(\alpha \pm \beta)=\frac{-1 \pm \operatorname{ct} g \alpha * \operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta} \]

Доказательство формул сложения

Большую часть понятий в алгебре можно доказать. Формулы сложения нужны в старших классах для подготовки к ЕГЭ по математике и имеют свои доказательства. Рассмотрим формулу косинуса разности (4). С ее помощью осуществляется доказательство остальных формул сложения.

Положительная часть О
Рис.1.
Значение угла между векторами
Рис.2.

На рисунке 1 положительная часть О – общая начальная точка углов α и β. Точки \[M_{1} \text { и } M_{2}\] отстоят от начала координат на 1. Известно, что угол между векторами не должен превышать 180° (π). Единичная окружность получилась путем поворота точки М вокруг центра О на угол α и β. Угол между векторами \[O M_{1} \text { и } O M_{2}\]. равен α – β. Угол между векторами \[O M_{1} \text { и } O M_{2}\] на рисунке 2 равен \[2 \pi-(\alpha-\beta)\].

Далее проведем анализ косинусов этих углов. С помощью формул приведения вычислим: \[\cos (2 \pi-(\alpha-\beta))=\cos (\alpha-\beta)\]

Скалярное произведение векторов \[M_{1} \text { и } M_{2}\]:

\[ \left(M_{1}, M_{2}\right)=\left|M_{1}\right|\left|M_{1}\right| \cos (\alpha-\beta)=1 * 1 * \cos (\alpha-\beta)=\cos (\alpha-\beta);(9) \]

Определение синуса и косинуса говорит, что синус – это функция угла, которая соответствует отношению катета противолежащего угла к гипотенузе. В свою очередь косинус – представляет собой синус дополнительного угла. В связи с тем, что координаты точки \[M_{1}(\cos \beta ; \sin \beta)\]; координаты точки \[M_{2}(\cos \alpha ; \sin \alpha)\]. Вычислим скалярное произведение по координатам векторов \[M_{1} \text { и } M_{2}\]:

\[ \left(M_{1}, M_{2}\right)=\cos \alpha * \cos \beta+\sin \alpha * \sin \beta;(10) \]

На рисунках представлена единичная окружность, соответственно, длины всех векторов равны 1.

Левые части формул (9) и (10) равны, значит, равны и правые части этих выражений. Равенство формулы косинуса разности выполнено.

\[ \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha * \cos \beta+\sin \alpha * \sin \beta \]

Как доказать формулу сложения косинусов

Для доказательства формулы (3) воспользуемся предыдущими расчетами. Для этого запишем косинус суммы углов α и β  как косинус разности этих углов. Для доказательства формулы сложения используем свойства sin и cos. Косинус функция четная и не меняет знак при смене знака угла (аргумента) \[\cos (-\alpha)=\cos \alpha\], а синус нечетная \[\sin (-a)=-\sin \alpha\]

\[ \cos (\alpha+\beta)=\cos (\alpha-(-\beta))=\cos \alpha * \cos (-\beta)+\sin \alpha * \sin (-\beta)=\cos \alpha * \cos \beta-\sin \alpha * \sin \beta;(11) \]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Доказательство формулы сложения синусов

Рассмотрим доказательство формулы синуса суммы (1). С помощью формул приведения можно вывести из рассмотренной ранее формулы косинуса разности.

\[ \sin (\alpha+\beta)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)\right)=\cos \left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) * \cos \beta+\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) * \operatorname{sun} \beta=\sin \alpha * \cos \beta+\cos \alpha * \sin \beta;(12) \]

Для доказательства синуса разности (2) рассмотрим разность углов как сумму, для этого используем, что функция косинуса четная, а синуса – нечетная.

\[\sin (\alpha-\beta)=\sin (\alpha+(-\beta))=\sin \alpha * \cos (-\beta)+\cos \alpha * \sin (-\beta)-\cos \alpha * \sin \beta;(13)\]

Доказательство формулы сложения тангенсов

Тангенс – соотношение синуса к косинусу.

\[ \operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)}=\frac{\sin \alpha * \cos \beta+\cos \alpha * \sin \beta}{\cos \alpha * \cos \beta-\sin \alpha * \sin \beta};(14) \]

В результате у нас получилась сложная дробь. Затем разбиваем числитель и знаменатель дроби как \[\cos \alpha * \cos \beta\].

\[ \frac{\frac{\sin \alpha+\cos \beta+\cos \alpha+\sin \beta}{\cos \alpha+\cos \beta}}{\frac{\cos \alpha * \cos \beta-\sin \alpha+\sin \beta}{\cos \alpha+\cos \beta}}=\frac{\frac{\sin \alpha+\cos \beta}{\cos \alpha * \cos \beta}+\frac{\cos \alpha+\sin \beta}{\cos \alpha+\cos \beta}}{\frac{\cos \alpha+\cos \beta}{\cos \alpha+\cos \beta}-\frac{\sin \alpha+\sin \beta}{\cos \alpha+\cos \beta}};(15) \]

Вычисления проводим с учетом того, что \[\cos \alpha \neq 0 \text { и } \cos \beta \neq 0\].

Затем сокращаем дроби, в результате получается следующая формула:

\[ \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{1-\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} * \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}=\frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg} \alpha * \operatorname{tg} \beta}; (16) \]

Для доказательства формулы (14) выразим разность углов как сумму. Для этого воспользуемся формуй (6) учитывая, что тангенс нечетная функция:

\[ \operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\operatorname{tg}(\alpha+(-\beta))=\frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg}(-\beta)}{1-\operatorname{tg} \alpha * \operatorname{tg}(-\beta)}=\frac{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{1+\operatorname{tg} \alpha * t g \beta};(17) \]

Доказательство формулы сложения котангенса

Доказательство формулы сложения котангенса

Для доказательства формулы (8) запишем разность углов \[\alpha \text { и } \beta\] как сумму, учитывая, что котангенс нечетная функция:

Доказательство формулы сложения котангенса 1

Формулы сложения тригонометрических функций позволяют получать значения новых углов на основе уже известных значений.

К примеру, вычислим sin15°

Доказательство формулы сложения котангенса 2

Пример 2. Найти тангенс угла 15°.

Решение:

\[ \operatorname{tg} 15^{\circ}=\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\frac{\operatorname{tg} 45^{\circ}-\operatorname{tg} 30^{\circ}}{1+\operatorname{tg} 45^{\circ} * \operatorname{tg} 30^{\circ}} \]

Значения тангенсов углов 45° и 15° известны. Получаем:

\[ \operatorname{tg} 15^{\circ}=\frac{\operatorname{tg} 45^{\circ}-\operatorname{tg} 30^{\circ}}{1+\operatorname{tg} 45^{\circ} * \operatorname{tg} 30^{\circ}}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+1 * \frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \]
\[ \operatorname{tg} 15^{\circ}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{(\sqrt{3})^{2}-2 \sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}=\frac{3-2 \sqrt{3}+1}{2}=2-\sqrt{3} \]

Упрощаем дробь в правой части:

\[ \operatorname{tg} 15^{\circ}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{(\sqrt{3})^{2}-2 \sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}=\frac{3-2 \sqrt{3}+1}{2}=2-\sqrt{3} \]

Ответ: \[\operatorname{tg} 15^{\circ}=2-\sqrt{3}\]

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Хочу заработать