Основное определение степени

Определение

Степень числового значения — это перемноженные между собой числовые значения, которые являются равными относительно друг друга.

Левую часть равенства можно упростить. Для начала указать множитель, который повторяется, и обозначить количество его повторений. Повторяющийся множитель в данном случае это 2.  Дублируется он три и шесть раз соответственно. Поэтому над двойкой записываем 3 и 6: 

Формулировка выражений звучит следующим образом: 

  1. два в четвертой степени равно шестнадцать;
  2. два в шестой степени равно шестьдесят четыре;
  3. два в восьмой степени равно двести пятьдесят шесть.
Понятия

Основание выражения степени — это числовое или буквенное значение, которое повторяется в выражении не однократно.

В вышеизложенных выражениях — это число два.

Степенной показатель — это числовое значение, которое показывает, какое именно количество повторений основания заданного числа.


В математике существует три типа действительных степеней. Все они рассматриваются и изучаются в отдельности.

Степень действительного числа \[\boldsymbol{\alpha}\] с целым показателем — это числовое значение с целым показателем \[\boldsymbol{z}\].

Степень с целым показателем — это степень, когда любое целое число, является показателем.

Натуральный вид степени тоже является степенью с целым показателем, потому что натуральные числовые значения также являются целыми числами.

Для степеней с целыми положительными показателями, свойства аналогичны, как и для натуральных показателей. 

Данная степень выражается в виде формулы:

\[\alpha^{n}=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha\]

Степень действительного числа с рациональным показателем \[q=\frac{r}{S}(r \in Z, \mathrm{~s} \in)\]  — это значение числа, которое определяется по формуле: \[\alpha^{q}=\sqrt[s]{\alpha^{r}}\].

Стоит отметить, тот момент, что s является четным числом, следовательно, \[\alpha>0\].

Значение положительного числового показателя \[\alpha\] с иррациональным показателем равным \[j\] — это число \[\alpha^{j}\] и будет определяться следующим образом:

Если \[\alpha=1\], то значение \[\alpha^{q}\] также будет равняться единичному значению, согласно основному свойства степеней.

Если \[\alpha>1\], тогда значение числа \[\alpha^{q}\] будет соответствовать следующему условию: \[\alpha^{q_{1}} \mathrm{j}\], при этом \[0=\mathrm{j}\].

Определение

Степень положительного числового значения с иррациональным показателем — это число, которое равно заданному пределу последовательности \[\alpha^{j 0}, \alpha^{j 1}, \alpha^{j 2}\], где значения \[j_{0}, j_{1}, j_{2} \ldots \ldots\] будут последовательно расположенными десятичными приближениями относительно иррационального числа \[j\].

Формулы степеней. Основные виды. Доказательства

Рассмотрим подробно, и докажем основное свойство с целым показателем.

  1. \[\alpha^{z} \cdot \alpha^{k}=\alpha^{z+k}\].
    Доказательство приведенной выше формулы будет выглядеть следующим образом:
    Исходя из первого определения: \[\alpha^{z}=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \alpha(z), a^{k}=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha(k)\].
    Следовательно: \[\alpha^{z} \cdot \alpha^{k}=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha(z) \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha(k)=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha(z+k) \alpha^{z+k}\].
  2. \[\frac{\alpha^{z}}{\alpha^{k}}=\alpha^{z-k}\].
    Доказательство представленного выражения:
    \[\frac{\alpha^{z}}{\alpha^{k}}=\alpha^{z} \cdot \alpha^{-k}\].
    \[\frac{\alpha^{z}}{\alpha^{k}}=\alpha^{z} \cdot \alpha^{-k}=\alpha^{z+(-k)}=\alpha^{z-k}\].
  3. \[(\alpha \beta)^{z}=\alpha^{z} \cdot \beta^{z}\]
    Докажем представленную формулу: \[(\alpha \beta)^{z}=\alpha \beta \cdot \alpha \beta \cdot \ldots \cdot \alpha \beta \quad(z \text { paз) }\].
    Используя правило перестановки множителей, составим и запишем следующее выражение:
    \[(\alpha \beta)^{z}=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha(z \text{ paз }) \cdot \beta \cdot \beta \cdot \ldots \cdot \beta(z \text{ paз })=\alpha^{z} \cdot \beta^{z}\].
  4. \[\left(\alpha^{z}\right)^{k}=\alpha^{z k}\]
    Выполним доказательство данной формулы.
    Исходя из первого определения, формулу можно преобразовать в следующий вид: \[\left(\alpha^{z}\right)^{k}=\alpha^{z} \cdot \alpha^{z} \cdot \ldots \cdot \alpha^{z}\]
    Из данной записи следует, что: \[\alpha^{z}=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha\]
    Тогда окончательная формула доказательства будет выглядеть как: \[\left(\alpha^{2}\right)^{k}=\alpha \cdot \quad \alpha \cdot \ldots . \cdot \alpha(z \text { paз }) \cdot \ldots \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \ldots . \alpha(z \text { paз })(\mathrm{k} \text { paз })=\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha(z k \text { раз })=\alpha^{2 k}\].
  5. \[\frac{\alpha^{z}}{\beta^{z}}=\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{z}\].
    Проведем доказательство формулы:
    \[\frac{\alpha^{z}}{\beta^{z}}=\alpha^{z} \cdot \beta^{-z}\].
    Применим четвертую формулу и получим следующую формулу степеней:
    \[\frac{\alpha^{z}}{\beta^{z}}=\alpha^{z} \cdot \beta^{-z}=\alpha^{z} \cdot\left(\beta^{-1}\right)^{z}=\alpha^{z} \cdot\left(\frac{1}{\beta}\right)^{z}\].
    \[\frac{\alpha^{z}}{\beta^{z}}=\alpha^{z} \cdot\left(\frac{1}{\beta}\right)^{z}=\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{z}\].

Все эти формулы одинаково подходят также и для рациональных и для иррациональных показателей. Следовательно, будут являются их свойствами. Поэтому отдельно их рассматривать и доказывать не нужно.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Примеры решения задач c использованием формул степеней

Примеры

Пример №1

Задано три степенных выражения.

Необходимо выполнить решение следующих примеров:

\[2^{2} \cdot 2^{3}-\frac{3^{5}}{3^{3}};\]

\[\left(2^{2}\right)^{2}+\frac{8^{4}}{4^{2}};\]

\[8^{\frac{2}{3}}+0^{п}.\]

Решение:

Для первого примера, будем использовать свойства первой и второй степени, и получим следующее решение:

\[2^{2} \cdot 2^{3}-\frac{3^{3}}{3^{3}}=2^{5} \cdot 3^{2}=32-9=23;\]

Для данного примера необходимо использовать второе, четвертое и пятое свойство:

\[\left(2^{2}\right)^{2}+\frac{8^{4}}{4^{2}}=4^{2}+\frac{2^{12}}{2^{4}}=16+2^{8}=16+256=272;\]

Исходя из второго определения решим третий пример из задачи:

\[8^{\frac{2}{3}}+0^{п}=\sqrt[3]{8^{2}}+0=2^{2}=4\].

Ответ: \[2^{2} \cdot 2^{3}-\frac{3^{5}}{3^{3}}=23\]

\[\left(2^{2}\right)^{2}+\frac{8^{4}}{4^{2}}=272\]

\[8^{2}+0^{п}=4\]


Пример №2

Задано уравнение следующего вида: \[\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{3}{4}}+\beta^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\beta^{\frac{1}{2}}+\beta^{\frac{1}{4}}}{\beta^{\frac{1}{2}}+1} \cdot \beta^{\frac{1}{4}}+1\]

Необходимо преобразовать и упростить заданное выражение.

Порядок решения.

Для выполнения решения нужно воспользоваться второй степенью, и применить первое свойство. Затем выполнить упрощение примера и произвести окончательный расчет.

\[\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{3}{4}}+\beta^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\beta^{\frac{1}{2}}+\beta^{\frac{1}{4}}}{\beta^{\frac{1}{2}}+1} \cdot \beta^{\frac{1}{4}}+1=\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{1}{2}}\left(\beta^{\frac{1}{4}}+1\right)} \cdot \frac{\beta^{\frac{1}{4}}\left(\beta^{\frac{1}{4}}+1\right)}{\beta^{\frac{1}{2}}+1} \cdot \beta^{\frac{1}{4}}+1=\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\beta^{\frac{1}{2}}}{\beta^{\frac{1}{2}}+1}+1=\\=\frac{\left(\beta^{\frac{1}{2}}-1\right)\left(\beta^{\frac{1}{2}}+1\right)}{\beta^{\frac{1}{2}}+1}+1=\beta^{\frac{1}{2}}-1+1=\sqrt{\beta}\]

Ответ: \[\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{3}{4}}+\beta^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\beta^{\frac{1}{2}}+\beta^{\frac{1}{4}}}{\beta^{\frac{1}{2}}+1} \cdot \beta^{\frac{1}{4}}+1=\sqrt{\beta}\]