Оглавление
Время чтения: 10 минут
590
Степень числового значения — это перемноженные между собой числовые значения, которые являются равными относительно друг друга.
Левую часть равенства можно упростить. Для начала указать множитель, который повторяется, и обозначить количество его повторений. Повторяющийся множитель в данном случае это 2. Дублируется он три и шесть раз соответственно. Поэтому над двойкой записываем 3 и 6:
Формулировка выражений звучит следующим образом:
Основание выражения степени — это числовое или буквенное значение, которое повторяется в выражении не однократно.
В вышеизложенных выражениях — это число два.
Степенной показатель — это числовое значение, которое показывает, какое именно количество повторений основания заданного числа.
В математике существует три типа действительных степеней. Все они рассматриваются и изучаются в отдельности.
Степень действительного числа \[\boldsymbol{\alpha}\] с целым показателем — это числовое значение с целым показателем \[\boldsymbol{z}\].
Степень с целым показателем — это степень, когда любое целое число, является показателем.
Натуральный вид степени тоже является степенью с целым показателем, потому что натуральные числовые значения также являются целыми числами.
Для степеней с целыми положительными показателями, свойства аналогичны, как и для натуральных показателей.
Данная степень выражается в виде формулы:
Степень действительного числа с рациональным показателем \[q=\frac{r}{S}(r \in Z, \mathrm{~s} \in)\] — это значение числа, которое определяется по формуле: \[\alpha^{q}=\sqrt[s]{\alpha^{r}}\].
Стоит отметить, тот момент, что s является четным числом, следовательно, \[\alpha>0\].
Значение положительного числового показателя \[\alpha\] с иррациональным показателем равным \[j\] — это число \[\alpha^{j}\] и будет определяться следующим образом:
Если \[\alpha=1\], то значение \[\alpha^{q}\] также будет равняться единичному значению, согласно основному свойства степеней.
Если \[\alpha>1\], тогда значение числа \[\alpha^{q}\] будет соответствовать следующему условию: \[\alpha^{q_{1}} \mathrm{j}\], при этом \[0=\mathrm{j}\].
Степень положительного числового значения с иррациональным показателем — это число, которое равно заданному пределу последовательности \[\alpha^{j 0}, \alpha^{j 1}, \alpha^{j 2}\], где значения \[j_{0}, j_{1}, j_{2} \ldots \ldots\] будут последовательно расположенными десятичными приближениями относительно иррационального числа \[j\].
Рассмотрим подробно, и докажем основное свойство с целым показателем.
Все эти формулы одинаково подходят также и для рациональных и для иррациональных показателей. Следовательно, будут являются их свойствами. Поэтому отдельно их рассматривать и доказывать не нужно.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Пример №1
Задано три степенных выражения.
Необходимо выполнить решение следующих примеров:
\[2^{2} \cdot 2^{3}-\frac{3^{5}}{3^{3}};\]
\[\left(2^{2}\right)^{2}+\frac{8^{4}}{4^{2}};\]
\[8^{\frac{2}{3}}+0^{п}.\]
Решение:
Для первого примера, будем использовать свойства первой и второй степени, и получим следующее решение:
\[2^{2} \cdot 2^{3}-\frac{3^{3}}{3^{3}}=2^{5} \cdot 3^{2}=32-9=23;\]
Для данного примера необходимо использовать второе, четвертое и пятое свойство:
\[\left(2^{2}\right)^{2}+\frac{8^{4}}{4^{2}}=4^{2}+\frac{2^{12}}{2^{4}}=16+2^{8}=16+256=272;\]
Исходя из второго определения решим третий пример из задачи:
\[8^{\frac{2}{3}}+0^{п}=\sqrt[3]{8^{2}}+0=2^{2}=4\].
Ответ: \[2^{2} \cdot 2^{3}-\frac{3^{5}}{3^{3}}=23\]
\[\left(2^{2}\right)^{2}+\frac{8^{4}}{4^{2}}=272\]
\[8^{2}+0^{п}=4\]
Пример №2
Задано уравнение следующего вида: \[\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{3}{4}}+\beta^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\beta^{\frac{1}{2}}+\beta^{\frac{1}{4}}}{\beta^{\frac{1}{2}}+1} \cdot \beta^{\frac{1}{4}}+1\]
Необходимо преобразовать и упростить заданное выражение.
Порядок решения.
Для выполнения решения нужно воспользоваться второй степенью, и применить первое свойство. Затем выполнить упрощение примера и произвести окончательный расчет.
\[\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{3}{4}}+\beta^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\beta^{\frac{1}{2}}+\beta^{\frac{1}{4}}}{\beta^{\frac{1}{2}}+1} \cdot \beta^{\frac{1}{4}}+1=\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{1}{2}}\left(\beta^{\frac{1}{4}}+1\right)} \cdot \frac{\beta^{\frac{1}{4}}\left(\beta^{\frac{1}{4}}+1\right)}{\beta^{\frac{1}{2}}+1} \cdot \beta^{\frac{1}{4}}+1=\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\beta^{\frac{1}{2}}}{\beta^{\frac{1}{2}}+1}+1=\\=\frac{\left(\beta^{\frac{1}{2}}-1\right)\left(\beta^{\frac{1}{2}}+1\right)}{\beta^{\frac{1}{2}}+1}+1=\beta^{\frac{1}{2}}-1+1=\sqrt{\beta}\]
Ответ: \[\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{3}{4}}+\beta^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\beta^{\frac{1}{2}}+\beta^{\frac{1}{4}}}{\beta^{\frac{1}{2}}+1} \cdot \beta^{\frac{1}{4}}+1=\sqrt{\beta}\]