Свое название данная формула получила от имени известного ученого, математика Л. Эйлера. Именно этот ученый и является основоположником и в свое время ввел формулу в работу.  

Формула Эйлера позволяет установить взаимосвязь между показательной функцией с тригонометрическими функциями.

Тождества и формулы Эйлера для комплексных чисел

Формуле Эйлера характерно следующее утверждение:

Формула

Для различных значений действительных и комплексных чисел x выполнено равенство:

\[e^{i x}=\cos x+i \cdot \sin x\]

где:

  • e — экспонента значения;
  • i — нейкая мнимая единица.

Значение экспоненты определяется по следующей формуле:

\[e=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\]

Для комплексного значения которое равняется: \[z=x+y i\] выполняется соответствующее условие:

\[e^{z}=e^{x+y i}=e^{x} \cdot e^{i y}\]

Когда значение z является вещественным значение и равным \[I_{m z}=0\], равенство имеет следующий вид:

\[e^{z}=e^{x+0 i}=e^{x} \cdot e^{0}=e^{x}\]

Когда числовое значение z представлено как мнимое: \[\left(R_{e z}=0\right)\] из этого следует следующее выражение:

\[e^{z}=e^{x+y i}=e^{0} \cdot e^{i y}=e^{i y}\]

Используя на практике формулу Эйлера получаем получается следующее выражение:

\[e^{z}=e^{x+y i}=e^{x} \cdot e^{i y}=e^{x} \cdot(\cos y+i \cdot \sin y)\]

Комплектное значение z, выраженное как тригонометрическая формула (выражение):

\[(\cos \varphi+i \cdot \sin \varphi)\]

где:

\[\mathrm{r}=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\] значение модуля данного числа.

Используя формулу Эйлера, записывается следующее выражение:

\[z=r \cdot(\cos \varphi+i \cdot \sin \varphi)=r \cdot e^{i \cdot \varphi}\]

Формула Эйлера позволяет определить неизвестные значения тригонометрических функций sin и cos, используя соответствующие формулы:

\[\sin x=\frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2 i}\]
\[\cos x=\frac{e^{i x}+e^{-i x}}{2}\]

Понятие тригонометрической функции от некой комплексной переменной значения. Для значения x=iy выражают следующие формулы:

\[\sin i y=\frac{e^{-y}-e^{y}}{2 i}=\dot{j} \cdot \operatorname{sh} y\]
\[\operatorname{cosi} y=\frac{e^{-y}+e^{y}}{2}=\operatorname{ch} y\]

Тождество Эйлера, которое связывает между собой пять основных констант математики.

\[e^{i x}+1=0\]

Данное выражение является частным случаем, когда значение x равняется переменной \[\pi\].

Применяя формулу Эйлера можно выразить следующие тригонометрические и показательные формы (виды), которые характеризуют действительные, комплексные числа.

\[z=a+b i=|z| \cdot(\cos \varphi+i \cdot \sin \varphi)=r \cdot(\cos \varphi+i \cdot \sin \varphi)\]
Определение

Тригонометрическая форма записи некое представление комплексных значения в следующем виде: \[z=r \cdot(\cos \varphi+i \cdot \sin \varphi)\]

где:

r — значение модуля, заданного комплексного числового значения;

Данный модуль определяется по формуле:

\[\mathrm{r}=(z)=(a+b i)=\sqrt{a^{2}}+b^{2}\]

\[\varphi\] −значение аргумента, который относится к комплексному числу z.

Значение аргумента вычисляется по формуле:

\[\varphi=\operatorname{arctg} \frac{b}{a}\]

Комплексные числа, которые выражены в виде тригонометрических формул и форм

\[z=r \cdot(\cos \varphi+i \cdot \sin \varphi)\]

Применяя формулу, составляет следующее выражение:

\[\cos \varphi+i \cdot \sin \varphi=e^{i \varphi}\]

Вычисленное значение по предыдущей формуле записывается в тригонометрическую формулу:

\[z=r \cdot e^{i \varphi}\]
Определение

Показательная форма — это комплектное значение любого числа равное и выраженное в виде формулы: \[\mathrm{z}=\mathrm{r} \cdot e^{i \varphi}\]

где: r — значение модуля;

Данный модуль определяется по формуле:

\[\mathrm{r}=|z|=|a+b i|=\sqrt{a^{2}}+b^{2}\]

\[\varphi\] значение аргумента, который относится к комплексному числу z.

Значение аргумента вычисляется по формуле:

\[\varphi=\operatorname{arctg} \frac{b}{a}\]

Возведение комплексных чисел в степень с показателями произвольных значений:

\[z=r \cdot e^{i \cdot \varphi}\]
\[z^{n}=r^{n} \cdot e^{n \cdot i \cdot \varphi}\]

Круги Эйлера и соответствующие формулы

Рассмотрим формулу Эйлера на примерах:

\[z=r \cdot e^{i \cdot \varphi}\]
\[z^{n}=r^{n} \cdot e^{n \cdot i \cdot \varphi}\]

Для вышеперечисленных формул характерен также и геометрический смысл.

Его сущность состоит в следующем:

  • если возвести в степень любое значение числа z, тогда его модуль (некоторое расстояние до центральной оси), также возводится в эту же степень n;
  • аргумент значения (угол поворота в градусах относительно осевой линии), будет увеличиваться в n раз, то есть в значение равное значению возводимой степени.

Формула, которая отражает возведение в степень, для конкретного комплексного числа, является верной не только для целых чисел n. Она также справедлива и для действительных чисел.

Следовательно, комплексная форма, которая выражения числа, позволяет определить корневое значение любой степени для произвольного ряда действительного числа.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Примеры применения формулы Эйлера, для решения задач разного типа

Пример №1:

Необходимо представить все комплексные значения чисел в показательной форме.

  1. \[\mathrm{z}=2+0 i\]
  2. \[\mathrm{Z}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2} \cdot i\]
  • Чтобы представить значения в показательной форме, нужно записать ее основную формулу:
\[\mathrm{z}=r \cdot e^{i \varphi}\]

Из условия задачи следует, что a=2, b=0.

Определяется модуль начального (исходного) комплексного значения:

\[r=\sqrt{3}\]

Затем определяется исходный аргумент, используя необходимую формулу:

\[\varphi=\operatorname{arctg} z=\operatorname{arctg} \frac{0}{2}=\operatorname{arctg} 0=0\]

Искомое представление значение комплексного числа \[\mathrm{z}=2 \cdot e^{i 0}\]

  • Из условия задачи следует, что \[a=\frac{3}{2}, b=\frac{3}{2}\]

Используя нужные формулы можно вычислить модуль исходного значения комплексного числа:

\[r=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}\right)}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{18}{4}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}\]

Аргумент исходного значения для комплексного числа определяется по следующим правилам:

\[\varphi={\operatorname{arctg} z}=\operatorname{arctg} \frac{\frac{\frac{3}{2}}{3}}{2}=\operatorname{arctg} 1=\frac{\pi}{4}\]

Все значения, которые определены в ходе решения, подставив в формулу и получим окончательный ответ задачи:

\[Z=\frac{3 \sqrt{2}}{2}\]

Из этого следует, что \[Z=\frac{3 \sqrt{2}}{2}\] является искомым значением представленного комплексного числа.

Пример №2:

Заданы значения комплексных чисел. Необходимо их представить в показательной форме, используя известные формулы и правила в ходе решения.

  1. \[\mathrm{z}=\sqrt{3}\]
  2. \[z=5 \cdot(\cos 2 \pi+i \cdot \sin 2 \pi)\]

Для определения данных   задачи применим алгоритм решения.

Для показательной степени характерно решение по следующей формуле:

\[z=r \cdot e^{i \varphi}\]

Для определения значения модуля и аргумента используем следующую формулу и подставив известные нам значения:

\[r=\sqrt{3}\]
\[\varphi=\frac{\pi}{6}\]

Показательный вид будет представлен следующим образом: \[z=\sqrt{3} e^{2 \pi i}\]

Определим значение модуля и аргумента для значений:

\[r=5\]
\[\varphi=2 \pi\]

Для данных значение показательная форма будет представлены  в виде следующих значений: \[z=5 \cdot e^{2 \pi i}\]

Ответ: \[z=\sqrt{3 e^{2 \pi i}} \text { и } z=5 \cdot e^{2 \pi i}\]

Выполнение любых работ по математике