Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик, физик, механик, геодезист и астроном. Его называют «королём математиков». Гаусс внес величайший вклад в науку. Во всех областях математики он провёл фундаментальные исследования: в алгебре, в теории вероятностей, в теории чисел, в теории функций комплексного переменного, в дифференциальной и неевклидовой геометрии, в математическом анализе, в аналитической и небесной механике, в астрономии, в физике и в геодезии. Но метод Гаусса не был им открыт. Он был известен за долго до рождения математика. Впервые этот метод упоминается в китайском трактате «Математика в девяти книгах», возраст которого датируется примерно с ІІ в. до н. э.

Иоганн Карл Фридрих Гаусс
Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)

СЛАУ: определение, виды систем

Определение

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), содержащей m линейных уравнений и n неизвестных, называется система вида

Система линейных алгебраических уравнений

Число уравнений \[m\]  не обязательно совпадает с числом неизвестных n. Особенности системы линейных алгебраических уравнений:

  • Уравнение не обязательно заранее на совместность.
  • Есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычисленных операций.
  • Можно решать такие системы уравнений, у которых определитель основной матрицы равняется нулю или количество уравнений не совпадает с числом неизвестных переменных.

Система линейных алгебраических уравнений может иметь:

  1. Одно решение;
  2. Много решений;
  3. Не имеет решений.

Если решений нет тогда СЛАУ называется несовместима, если есть — совместимой. Если решение одно, тогда система линейных алгебраических уравнений называется определённой, если решений несколько – неопределённой.

Метод Гаусса и метод последовательного исключения неизвестных

Определения

Метод Гаусса – это метод решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), суть которого заключается в последовательном исключение неизвестных переменных с помощью элементарных преобразований строк.

Прямой ход метода Гаусса – это поочерёдное преобразования уравнений системы для последующего избавления от переменных неизвестных.

Обратный ход метода Гаусса – это вычисление переменных неизвестных от последнего уравнения к первому.

Решение уравнений методом Гаусса


Пример №1 решение уравнений методом Гаусса:

Метод Гаусса пример 1

С первой строки определяем х. Сначала -2у переносим на другую сторону уравнения, а затем обе стороны делим на 4.

Метод Гаусса пример 2

Теперь во второе уравнение системы подставляем значение х. Находим у. 

Метод Гаусса пример 3

Теперь когда у нас есть значение у, ми возвращаемся в первое уравнение и определяем х.

Метод Гаусса пример 4

Ответ: \[x=-\frac{5}{4} ; \quad y=\frac{3}{2}\]


Пример №2.

Метод Гаусса пример 5

Для упрощение перепишем уравнение так, чтобы на первом месте была строка с коэффициентом 1.

Метод Гаусса пример 6

Теперь последовательно исключаем \[x_{1}\] с последующих строк.  Для исключения с второго уравнения обе части первого уравнение надо умножаем на -3, а затем сложить с вторым.

Метод Гаусса пример 7

Так же и с третьим уравнением, только умножение на -4.

Метод Гаусса пример 8

Теперь приводим уравнение к ступенчатому виду. Нужно сделать так, чтобы во второй строке возле \[x_{2}\] стала 1. Значит нам надо обе части уравнения умножить \[-\frac{1}{4}\]

Метод Гаусса пример 9

Для того чтобы избавится от \[x_{2}\] в третьим уравнении, мы множим вторую строку на 5 и слаживаем её с третьей.

Метод Гаусса пример 10

Теперь с третьей строки находим \[x_{3}\].

Метод Гаусса пример 11

Мы закончили прямой ход метода Гаусса. Теперь приступаем к обратному ходу. Подставляем значение х3 во вторую строку и вычисляем \[x_{2}\]

Метод Гаусса пример 12

Подставляем значение \[x_{2} и x_{3}\] в первое уравнение и вычисляем \[x_{1}\].

\[\left\{\begin{array}{l} x_{1}=1 \\ x_{2}=2 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.\]

Ответ: \[x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=3\]

Рассмотрим решение систем уравнений методом Гаусса.

Определение

Матрица системы уравнений – это та матрица, которая создаётся только с коэффициентов при переменных неизвестных.

Матрица системы уравнений

Матрицей данной системы линейных алгебраических уравнений есть:

Метод Гаусса пример 13

Вектор неизвестных – это вектор \[\bar{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\], координатами которого являются неизвестные нашей системы.

Метод Гаусса пример 14

Вектор \[\bar{b}=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}\right)\] – это вектор-столбец из свободных членов правых частей уравнений.

Метод Гаусса пример 15

Расширенная матрица – та, в которой ещё записаны и свободные члены.

Метод Гаусса пример 16

Если хотя бы одно из чисел \[b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}\] не равно нулю, то система называется неоднородной. Если в правой части стоят только нули \[\left(b_{1}=b_{2}=\ldots=b_{m}=0\right)\], то такая система однородная.

Решение системы уравнений – это набор чисел \[x_{1}, x_{2} \ldots, x_{n}\], то есть вектор \[\bar{x}\].

Эквивалентными системами называются, когда каждое решение одной системы является решением другой, и на оборот.

Элементарные преобразования матрицы:

Если в матрице две строки становятся идентичными, оставляем одну, а другую убираем. Рассмотрим, например, матрицу

Метод Гаусса пример 17

В данной матрице второй и третий ряд одинаковые, а четвёртый (если разделить на 2) такой же, как и они. Значить нам достаточно оставить только одну строку. И теперь наша матрица будет выглядеть так:

Метод Гаусса пример 18

Если в ходе работы с матрицей один из рядом имеет сплошные нули, его тоже нужно удалить.

В матрице строки и столбцы можно менять местами.

Метод Гаусса пример 19

Матричную строку можно делить, умножать на любое число, не равное нулю.

Метод Гаусса пример 20

В этом примере целесообразно первую строку разделить на 5, а вторую умножить на 2. И теперь матрица будет выглядеть так:

Метод Гаусса пример 21

Данные преобразования не меняют совокупности решений системы линейных алгебраических уравнений, то есть новые системы эквивалентные прежней.

А теперь рассмотрим тот же пример системы линейных алгебраических уравнений, что рассматривали ранее, только теперь с помощью матрицы.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Пример №3:

Метод Гаусса пример 22

Запишем матрицу.

Метод Гаусса пример 23

Теперь так же само, как и в предыдущем варианте, надо 3 во втором ряду первом столбце превратить в 0. Каждое число первого ряда надо умножаем на -3, а затем сложить с числами второго.

Метод Гаусса пример 24

Так же само 4 в третьем ряду первом столбце превращаем в 0. Каждое число первого ряда умножаем на -4, а затем сложить с числами третьего ряда.

Метод Гаусса пример 25

Чтобы привести к ступенчатому виду, или как в научной и учебной литературе называется трапециевидный или треугольный вид. Нужно сделать так чтобы во второй строке во втором столбце место -4 стала 1. Умножаем на \[-\frac{1}{4}\]

Метод Гаусса пример 26

В третьем ряду надо – 5 превратить в 0. Множим вторую строку на 5 и слаживаем её с третьей.

Метод Гаусса пример 29

\[-\frac{7}{2}\] превращаем в 1. Третий ряд умножаем на \[-\frac{7}{2}\].

Метод Гаусса пример 30

Теперь возвращаемся от матрицы к системе уравнений.

Метод Гаусса пример 31

Конечный вариант выходит тот же.

\[ \left\{\begin{array}{l} x_{1}=1 \\ x_{2}=2 \\ x_{3}=3 \end{array}\right. \]

Ответ: \[x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=3\].


Пример №4.

Метод Гаусса пример 31

Записываем расширенную матрицу для данного СЛАУ.

\[ \left(\begin{array}{llrr} 3 & 2 & -5 \mid & -1 \\ 2 & -1 & 3 \mid & 13 \\ 1 & 2 & -1 & 9 \end{array}\right) \]

Переставляем третью строку на первое место.

\[ \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -1 & 9 \\ 3 & 2 & -5 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \mid & 13 \end{array}\right) \]

Убираем 3 с первого столбца второй строки. Первый ряд умножаем на -3 и складываем с вторым.

\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 9 \\ 0 & -4 & -2 \mid & -28 \\ 2 & -1 & 3 \mid & 13 \end{array}\right) \]

Убираем 2 с первого столбца второй строки. Первый ряд умножаем на -2 и складываем с третьим.

\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 9 \\ 0 & -4 & -2 \mid & -28 \\ 0 & -5 & 5 \mid & -5 \end{array}\right) \]

Превращаем -4 во втором столбце второй строки в 1. Умножаем второй ряд на -\[\frac{1}{4}\].

\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 \mid & 9 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \mid & 7 \\ 0 & -5 & 5 \mid & -5 \end{array}\right) \]

Убираем -5 с второго столбца третьей строки. Второй ряд умножаем на 5 и складываем с третьим.

\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 \mid & 9 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \mid & 7 \\ 0 & 0 & \frac{15}{2} \mid & 30 \end{array}\right) \]

Превращаем \[\frac{15}{2}\] с третьего столбце третьей строки в 1. Умножаем третий ряд на \[\frac{2}{15}\]

\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 9 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \mid & 7 \\ 0 & 0 & 1 \mid & 4 \end{array}\right) \]

А теперь возвращаемся к системе линейных алгебраических уравнений.

\[ \left\{\begin{array}{c} x+2 y-z=9 \\ y+\frac{1}{2} z=7 \\ z=4 \end{array}\right. \]

Приступаем к обратному ходу методу Гаусса.

\[ \left\{\begin{array}{c} x+2 y-z=9 \\ y=5 \\ z=4 \end{array}\right. \]
\[ \left\{\begin{array}{l} x=3 \\ y=5 \\ z=4 \end{array}\right. \]

Ответ: х=3, у=5, z=4.


Пример №5.

Метод Гаусса пример 28

Переводим в матричную систему и проводим элементарные преобразование.

Метод Гаусса пример 27

В конечном результате исходная система свелась к ступенчатой.

\[\left\{\begin{array}{c} x_{1}-x_{2}-5 x_{3}=2 \\ x_{2}+13 x_{3}-5 x_{4}=-3 \end{array}\right.\]

Ответ: \[x_{2}=5 x_{4}-13 x_{3}-3 ; \quad x_{1}=5 x_{4}-8 x_{3}-1\]

Выполнение любых работ по математике