В геометрии многоугольниками называют плоские замкнутые фигуры, состоящие из нескольких прямых отрезков. Суммарная длина всех сторон называется периметром.

Поговорим подробнее о видах многоугольников и их характеристиках.

Определение

Многоугольник — это замкнутая ломаная линия.

Многоугольник — это простое понятие: Если в замкнутой ломаной линии соседние стороны имеют общую точку и любые две стороны не являются продолжением друг друга, то фигура называется многоугольником.

Пример многоугольников

При изучении темы, что такое многоугольники, применяются следующие термины:

  • Вершины многоугольника.
  • Стороны замкнутой ломаной.
  • Углы, образованные между смежными сторонами.
  • Отрезки между несмежными вершинами называются диагоналями.
  • Сумма длин всех сторон фигуры является периметром.
  • Внутренние углы между соседними сторонами. Число углов равно числу сторон и вершин.

Наименования данных фигур зависят от количества сторон:

  • Треугольник – это 3 стороны.
  • Четырехугольник имеет 4 стороны.
  • Пятиугольник – это 5 сторон и пр.

Все фигуры имеют буквенные обозначения, необходимо правильно проставлять их при вершинах.

Например, обозначение пятиугольника ABCDE будет выглядеть так:

Пример пятиугольника

В этом пятиугольнике вершинами являются точки: A, B, C, D и E.

Отрезки: AB, BC, CD, DE и EA являются сторонами пятиугольника.

Виды многоугольников

Различают несколько видов этих фигур: выпуклые, вогнутые, правильные и неправильные.

Какие многоугольники называются выпуклыми и невыпуклыми (вогнутыми)? Чтобы определить, какой многоугольник называется выпуклым, достаточно знать его определение.

Если стороны, при продолжении до прямой линии, не пересекают плоскость, то это выпуклый многоугольник.

Выпуклый и вогнутый многоугольники

Определение невыпуклого многоугольника: если при продолжении сторон прямые линии пересекают плоскость фигуры, то она является вогнутой.

Что такое правильные многоугольники

Выпуклые многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, называются правильными.

На рисунке показан правильный многоугольник.

пример правильного многоугольника

Как найти периметр многоугольника и определить диагонали

Периметром многоугольника называется сумма длин его сторон.

Пример нахождения периметра многоугольника

Для четырехугольника ABCD периметр будет равен сумме его сторон: AB + BC + CD + DA.

Пример

Задание: Длина одной стороны четырехугольника ABCD равна 3 см. Требуется найти периметр четырехугольника.

Решение: AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 см

Ответ: периметр четырехугольника ABCD равен 12 см.

Диагональю многоугольника является отрезок, который соединяет вершины противоположных углов.

Например, отрезок AD будет являться диагональю фигуры ABCDEF:

Пример диагонали

Свойство треугольников: если треугольник не имеет углов с общими сторонами, диагональ он иметь не может.

Если из вершин провести несколько диагоналей, то они разделят фигуру на несколько треугольников:

Пример треугольника внутри многоугольника

Количество треугольников будет на 2 меньше, чем число сторон:

Если t — количество треугольников, а n — количество сторон, то формула будет выглядеть так: t = n – 2.

Разделение многоугольника диагоналями на несколько треугольников помогает быстро найти площадь.

Чтобы найти площадь многоугольника, нужно разделить его на треугольники, затем найти их площадь и сложить полученные результаты.

Сумма углов выпуклого многоугольника

Научимся находить сумму углов выпуклого четырёхугольника, не только внешних, но и внутренних. Но сначала определим, какие углы называются внутренними углами выпуклого многоугольника.

Внутренним называется угол между смежными сторонами.

Например, ∠ABC является внутренним для ABCDEF.

Пример внутреннего угла

Внешним называют угол между стороной фигуры и линейным продолжением близлежащего отрезка.

Например, ∠LBC является внешним углом для ABCDEF.

Пример внешнего угла

Правило: сумма углов выпуклого многоугольника всегда равно числу его сторон. Это определение относится ко всем углам.

Это значит, чтобы найти количество углов, достаточно посчитать количество всех его сторон. Значит сумма углов четырехугольника будет равна четырем.

Сумма внутренних углов

Правило для нахождения суммы углов гласит: чтобы найти сумму всех внутренних углов выпуклого многоугольника, нужно умножить уменьшенное на 2 количество его сторон на 180°.

Обозначения выглядят следующим образом:

  • сумма углов – s;
  • число сторон – n;
  •  два прямых угла (2 · 90 = 180°) – 2d.

Формула многоугольника для нахождения суммы углов: s = 2d · (n – 2).

Найти сумму углов также можно с помощью деления фигуры на треугольники. Она будет равна сумме углов всех треугольников (180° · n).

Пример:

Сумма внутренних углов

Если у фигуры 4 треугольника, то сумму всех углов находим по следующей формуле: s = 2d (n — 2) = 180 · 4 = 720°.

Это означает, что сумма внутренних углов – это постоянная величина, которая зависит от количества его сторон.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Сумма внешних углов

Определение: Сумму всех внешних углов многоугольника находим по формуле: s = 4d.

Где:

  • s — сумма внешних углов;
  • 4d — четыре прямых угла (4 · 90 = 360°).

Сумма смежных (внутреннего и внешнего) углов, лежащих при вершине, равна 180° · (2d).

Например, ∠1 и ∠2:

Сумма внешних углов

Если имеется n вершин, то сумма внутренних и внешних и углов будет равна 2dn.

Пример

Задание: Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.

Решение: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180° (n -2).

Если имеется 12 вершин, то сумма всех углов будет рассчитываться следующим образом: 2 · 90 · (12 – 2) = 1800°.

Зная основные формулы и определения для многоугольников, можно легко справиться с любой задачей.