СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Напишем

СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Множеством называют математическую единицу, которая подчиняется определенным правилам и законам. Оно обладает различными функциями и свойствами. Если элементами в нем являются числа, то речь идет о числовом множестве. Множества чисел могут быть конечными и бесконечными. Для их обозначения применяются большие буквы A, В…., элементы множеств обозначаются маленькими буквами, такими как x, y, z,….

Что такое множество чисел

Математический термин «множество» можно охарактеризовать как отдельную совокупность, набор или объединение. Его элементами в теории могут быть различные объекты произвольной природы. К примеру, термин множество можно применить к большому количеству книг в библиотеке, товаров на полках магазина, студентов университета и т.д. В математике используются такие понятия, как множество точек отрезка заданной длины или множество парных чисел.

Для их математического обозначения используется определенный метод. В случае, когда какой-то элемент \[x\] принадлежит множеству A, тогда, тогда следует записывать \[x \in(A)\], если же ситуация обратная и элемент \[y\] не принадлежит множеству A, то правильно будет записать \[y \notin(A)\] или \[y \bar{\in}(A)\].

Если в множестве нет ни одного элемента, то его принято называть пустым множеством. Оно обозначается \[\phi\].

Для того, чтобы понять суть числовых множеств, рассмотрим несколько важных характеристик:

  1. Два отдельных множества  A и  B будут называть равными и обозначаться A=B в том случае, если составляющие их элементы полностью идентичные.
  2. Множество будет называться подмножным множеством B в случае, когда каждый из элементов множества A является элементом второго множества B. В этой случае используются следующее обозначение \[A \subset(B)\]. Оно читается как A содержится в B, либо в B находится A.Очевидным является тот факт, что абсолютно в любое множество входит пустое множество \[\emptyset \subset A\]. Приведем пример. Если в состав множества  A входят элементы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то оно записывается в виде:  A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а в B={2,3 ,5 ,7,9} тогда \[B \subset(A)\].
  3. Объединением множеств называют случаи, когда множества элементов  C, принадлежащих множеству A либо множеству B, или одновременно A и B. Обозначается объединение множеств следующим образом: \[C=\cup(B)\].
  4. Пересечением множеств A и B в математике называют множества элементов C, принадлежащих сразу двум множествам и B. Обозначается пересечение так: \[C=A \cap(B)\]. 

В случае, если A и B  — это два множества точек, которые принадлежат двум геометрическим фигурам соответственно, тогда варианты их объединения будут выглядеть следующим образом:

Объединение множеств

Если произойдет пересечение множеств A и B, то выглядеть это будет так:

Пересечение множеств

Разницей множеств A и B принято называть отдельное множество C = A | B, которое содержит все элементы A, которые не являются элементами, принадлежащими множеству B.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Виды чисел

В математике все числа разделяются на 7 разных видов:

  1. натуральные – N;
  2. натуральные, включающие нуль –  N_{0};
  3. целые – Z;
    • целые отрицательные – Z{-};
    • целые положительные – Z{+};
  4. иррациональные;
  5. рациональные –  Q;
  6. комплексные –  C;
  7. действительные – R.

Рассмотрим более подробно каждый из перечисленных видов чисел:

Основным отличием натуральных чисел является то, что они применяются при перечислении различных предметов или естественном счете. Проще говоря, при нумерации – «первый», «второй», «третий», «четвертый» и т.п. Множество натуральных чисел описывается следующим образом: N={1,2,3,4,5, ….}.

Натуральными числами, включающими нуль обозначаются определенные количества каких-либо предметов: N={0,1,2,3,4,5…}.

Целыми называют числа, входящие в числа с отрицательными и положительными знаками:

обозначение целых отрицательных чисел выглядит следующим образом: Z^{- }и пишется Z{-}=N={…,-5,-4,-3,-2,-1};

целые положительные числа в свою очередь обозначаются Z^{+} и записывается Z{+}=N={1,2,3,4,5…}.

\[\begin{gathered} Z=Z^{\{-\}} \cup\{O\} \cup\left\{Z^{\{+\}}\right\}= \\ \{\ldots-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 \ldots\} \end{gathered}\]

Иррациональными называют вещественные числа, которые на являются рациональными и не могут никогда представляться в виде десятичных дробей.

Рациональными называют те числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби, имеющей вид m/n, где m и n — это целые числа, а \[n \neq{0}\]. Для обозначения рациональных чисел в математике используется большая буква Q.

\[Q=\left\{x \mid x=\frac{m}{n}, m \in\{Z\}, n \in\{Z\}, n \neq\{O\}\right\}\]

При переводе в десятичную дробь каждое рациональное число может представляться в виде бесконечной или конечной дроби.

Комплексными принято называть числа, в которых содержится мнимая единица i.

\[C=\{\mathrm{x}+i y / \mathrm{x} \in\{R\} u y \in\{R\}\}\]

Действительные числа также называют вещественными. В них объединяются два вида чисел: рациональные (R) и иррациональные.

Примеры задач по определению множества чисел

Примеры

Необходимо записать множество D

при условии, что \[D=A \cup\{B\}\], при этом \[A=\{4,6,8,10,12\}, B=\{6,9,12\}\].

Решение:

Исходя из условия \[D=A \cup\{B\}\] можно сделать вывод, что это объединение множеств A и B. Значит в множество D должны быть включены все элементы, которые присутствуют в обоих множествах A и B. \[D=\{4,6,8,9,10,12\}\].

Ответ: В множество D входят все элементы, принадлежащие двум множествам A и B.


Все студенты на курсе занимаются изучением разных иностранных языков. При этом английский язык изучают 90 студентов, а немецкий – 95 человек. Французский язык выбрали для изучения 93 человека, а одновременно английский и немецкий – 35 студентов. 10 человек изучают все языки без исключения. Нужно узнать, сколько студентов занимаются изучением немецкого и французского языков, если по списку на курсе

Решение

Решение задачи следует начать с введения некоторых обозначений, которые будут являться примерами множества чисел.

A – множество студентов, которые проходят обучение на данном курсе;

A_{1} – множество студентов, изучающих исключительно английский язык;

A_{2} – множество студентов, специализирующихся на изучении немецкого языка;

A_{3} – множество студентов, которые изучают только французский;

A_{12} – множество человек, изучающих два языка (английский и немецкий);

A_{13} – множество человек, которые учат английский и французский языки;

A_{23} – множество студентов, изучающих все языки на курсе.

|B| — количество всех элементов, относящихся к множеству B.

Согласно условиям задачи, получаем выражение:

\[|A|=185,\left|A_{\{1\}}\right|=90,\left|A_{\{3\}}\right|=93,\left|A_{\{12\}}\right|=35,\left|A_{\{23\}}\right|=31,\left|A_{\{23\}}\right|=x\]

Далее необходимо найти x – количество человек на курсе, которые занимаются изучением французского и немецкого языка. Учитывая вышеописанные обозначения, приходим к следующему результату:

\[A_{\{12\}}=A_{\{1\}} \cup\left\{A_{\{2\}}\right\}, A_{\{13\}}=A_{\{1\}} \cup\left\{A_{\{3\}}\right\}, A_{\{23\}}=\\A_{\{2\}} \cup\left\{A_{\{3\}}\right\}, A_{\{123\}}=A_{\{1\}} \cup\left\{A_{2}\right\} \cup\left\{A_{\{3\}}\right\}\]

Применяя методы включения и исключения, приходим к выводу, что:

\[|A|=\left|A_{\{1\}}+\right| A_{\{2\}} \mid+\\\left|A_{\{3\}}-\right| A_{\{1\}} \cup\left\{A_{\{2\}}\right\}|-| A_{\{1\}} \cup\left\{A_{\{3\}}\right\}-\mid A_{\{2\}}\\\left.\cup\left\{A_{\{3\}}\right\}-\left|A_{\{1\}} \cup\left\{A_{\{2\}}\right\} \cup\right| A_{\{3\}}\right\}=\\\left|A_{\{1\}}\right|+\left|A_{\{2\}}\right|+\left|A_{\{3\}}\right|-\left|A_{\{12\}}\right|-\left|A_{\{13\}}\right|-\\\left|A_{\{23\}}+A_{\{123\}}\right|\]

\[185=90+95+93-35-31-x+10\\185=222-x\\x=37\]

Ответ: 37 студентов на курсе изучают одновременно немецкий и французский языки.

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Хочу заработать