СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Напишем

СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Основное определение отрезка

Определение

Отрезок — это прямая линия, которая соединяет две произвольно расположенные точки, именуемые окончанием отрезка. В качестве конкретного примера можно назвать точки A и B и соответственно отрезок AB.

Прямую АВ можно получить путем удлинения отрезка, который состоит из двух точек. Вследствие чего, можно сказать, что полученный отрезок АВ — это часть прямой, которая ограничена точками А и В. Отрезок объединяет обе точки, которые являются концами прямой, а также множество других точек, лежащих на отрезке.  

Например: дана точка К которая расположена между заданными отметками, следовательно, можно сказать, что данная точка лежит на этом отрезке.

Определения

Длина прямой – конкретное отмеренное расстояние, которое задано в масштабе. Чаще всего данный параметр задается как АВ.

Середина отрезка – это некая определенная отметка, которая лежит на прямой и удалена от концов на одинаковом расстоянии друг от друга. Ее можно обозначить как координата С.

Середина отрезка на координатной прямой

Заданы следующие параметры: координатная прямая Ox; точки А и В, которые не совпадают с данной прямой.

Заданным точкам соответствуют действительные числовые значения \[x_{A}\] и \[x_{B}\].Координата С — это середина отрезка А и В. Исходя из этого нужно определить значение координаты \[x_{C}\] .

Координатная прямая с заданными точками
Рисунок 1. Координатная прямая с заданными точками.

AB = |a — b|, где A и B — это произвольные точки, расстояние между которыми надо найти, то есть, найти длину отрезка AB, a и b — координаты точек.
Выражение |a — b| можно заменить выражением |b — a|, так как a — b и b — a являются противоположными числами и их модули равны.
Следовательно, чтобы найти расстояние между точками координатной прямой надо из координаты одной точки вычесть координату другой точки.

Середина отрезка на плоскости

Зададим следующие параметры: прямоугольная система координат относительно заданной плоскости Oxy; две произвольно расположенные несовпадающие точки, для которых заданы координаты \[\mathrm{A}\left(x_{A} y_{A}\right)\] и \[B\left(\chi_{B} \chi_{B}\right)\]. Точка C — это заданная середина отрезка АВ. Нужно вычислить координаты \[x_{C}\] и \[y_{C}\] относительно точки С.

Чтобы правильно проанализировать задачу, возьмем случай, когда точки A и В между собой не совпадают и расположены на одной координатной плоскости.

В свою очередь координатная плоскость является перпендикулярной относительной одной из осей.

Координаты отметок \[A_{x} A_{y} B_{x} B_{y} C_{x} C_{y}\] — это проекции точек А, В, С.

Координатная плоскость с заданным отрезком
Рисунок 2. Координатная плоскость с заданным отрезком.

Согласно построению, все прямые можно назвать параллельными; прямые также параллельны между собой. Принимая во внимание данное свойство и теорему Фалеса из равенства А С   =   С В следуют, что все  равенства между собой равны. Также они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка \[C_{x}\] – это середина отрезка \[A_{x}\] и \[B_{x}\], \[C_{y}\] а – середина отрезка \[A_{y}\] и \[B_{y}\].

Опираясь на полученное выражение получаем основное уравнение середины отрезка на координатной плоскости. 

\[x_{c}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\text { и } y_{c}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\]

Данным набором формул можно использовать, когда точки А и B лежат на одной координатной плоскости или прямой. Которая соответственно перпендикулярна относительной одной из осей.

Графическое изображение решения задач
Графическое изображение решения задач 1
Рисунок 3. Графическое изображение решения задач при условии нахождения точек на одной плоскости.

В данном случае координаты отрезка будут определяться по следующей формуле:

\[x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \text{ и } y_{c}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\]

Параметры середины отрезка в пространстве

Для выведения основной формулы для решения подобного рода задач, нужно рассмотреть конкретный пример.

Дана система координат, две произвольные координатные точки с конкретными координатами \[\mathrm{A}\left(A_{x} A_{y} A_{z}\right)\] и \[\mathrm{B}\left(B_{\chi} B_{y} B_{z}\right)\]. Нужно определить отметку точки C, которая в свою очередь будет являться серединой отрезка.

Система координат с тремя координатными осями
Рисунок 4. Система координат с тремя координатными осями.

Согласно основной теоремы Фалеса, все равенства между собой являются равными. Следовательно, значение точек С будут являться серединами отрезков, каждой координатной плоскости, коих имеется три.

Можно составить и записать окончательную формулу для определения середины прямой при координатной плоскости, состоящей более чем двух осей.

\[x_{c}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \text{ и } y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}, z_{c}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}\]

Данные формулы также можно применять в случаях, когда точки A и B расположены на одной из координатных прямых. Либо на прямой, которая перпендикулярна относительно одной из осей. Есть еще случай, когда точки расположены в одной координатной плоскости, которая перпендикулярна одной из координатных плоскостей.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для определения отметок середины отрезка, можно определить применяя алгебраическое правило решения векторных выражений.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат Oxy, точки с конкретно заданными координатами \[\mathrm{A}\left(A_{x} A_{y}\right)\] и \[\text { B }\left(B_{x} B_{y}\right)\].

Точка  C – это середина отрезка с точками А и В.

Согласно геометрическому правилу и определению, действия над векторами будет выглядеть следующим образом:

\[\overline{O C}=\frac{1}{2} \cdot(\overline{O A}+\overline{O B}).\]

Координата С в данной ситуации — это значение, в которой пересекаются диагонали геометрической фигуры параллелограмм. Данная фигура построена на основании следующих векторов  \[\overline{O A}\] и \[\overline{O B}\], иными словами — это точка середины диагоналей.

Координатные показатели радиуса — это векторные показатели, которые  равны координатам, тогда будут верны и равенства: \[\overline{O A}\left(x_{A} y_{A}\right)\] и \[\overline{O B}\left(x_{B} y_{B}\right)\].

Выполним следующие действия над векторными значениями и получим следующие формулы:

\[\overline{O C}=\frac{1}{2} \cdot(\overline{O A}+\overline{O B})=\left(\frac{x_{A}+y_{B}}{2}, \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right).\]

Следовательно, заданная координата С обладает данными:

\[\left(\frac{x_{A}+y_{B}}{2}, \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right).\]

Аналогичным образом определяется нахождение координат середины заданного отрезка в пространстве.

\[C\left(\frac{x_{A}+y_{B}}{2}, \frac{y_{A}+y_{B}}{2}, \frac{z_{A}+z_{B}}{2}\right)\]

Примеры решения задачи, при нахождении точки середины отрезка

Примеры

Пример №1:

Заданы координатные данные. Точка А с показателями (-7,3) и В (2,4). Нужно определить точку с отметками, которая является серединой отрезка А и В.

Решение:

Середину отрезка можно обозначить любой точкой. В данном примере возьмем наименование точки — С.

Координатные значения ее будут вычисляться как половина суммы координат концов заданного отрезка с точками А и В.

Составим и запишем следующие формулы:

\[x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-7+2}{2}=-\frac{5}{2}\\y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}\]

Ответ: искомые координатные значения середины отрезка будут равны следующим данным: \[\mathrm{AB}\left(-\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right)\]


Пример №2:

Заданы координатные отметки геометрической фигуры треугольника: АВС А(-1,0), В (3,2), С (9,-8). По условию необходимо вычислить длину медианы АМ.

Решение:

По условию задачи AM – медиана, следовательно, точка M будет являться точкой середины отрезка BC. В первую очередь необходимо определить координаты середины отрезка BC, а именно: точки M.

\[x_{M}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}=\frac{3+9}{2}=6\\y_{M}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2}=\frac{2+(-8)}{2}=-3\]

Так как, нам известны координатные значения двух концов медианы, точки А и М. Можно воспользоваться формулой определения расстояния между заданными значениями, и вычислить окончательное значение медианы.

\[AM=\sqrt{(6-(-1))^{2}+(-3+0)^{2}}=\sqrt{58}\]

Ответ: \[\sqrt{58}\].

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Хочу заработать