СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Напишем

СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Определение

Вектор – это направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектор изображается в виде направленных отрезков определенной длины.

Вектор
Рис. 1.

Вектор, имеющий начальную точку А и конечную точку В, обозначается \[\overrightarrow{A B}\](рис. 1).

Определения

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора \[\overrightarrow{A B}\]. Длина вектора \[\overrightarrow{A B}\] обозначается как: \[|\overrightarrow{A B}|\]

Векторы параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой, называются коллинеарными векторами.

Коллинеарный вектор
Определение

Единичный вектор или орт — это вектор, длина которого равна единице.

Еденичный вектор
Рис. 3.

Правило нахождения координат вектора

Отложим от начала системы координат два единичных вектора, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора \[\bar{i}\] должно совпадать с осью \[O x\], а направление вектора \[\bar{j}\] с осью \[O y\].

Векторы  \[\bar{i}, \bar{j}\] — рассматриваемые векторы называются векторами координат или ортами. Эти векторы образуют базис поверхности. Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости.

Обозначение: базис обычно пишется в круглых скобках, внутри которых в строгом порядке перечисляются векторы.

Любой вектор плоскости выражается по формуле нахождения координат вектора:

\[\vec{v}=v_{1} \cdot \vec{i}+v_{2} \cdot \vec{j}\]

Где числа в этом базисе называются векторными координатами. Но само выражение называется векторным разложением.

Как выразить вектор через его координаты

Чтобы выразить вектор \[\overrightarrow{A B}(a, b)\], где \[A\left(x_{1} ; y_{1}\right)\], а \[B\left(x_{2} ; y_{2}\right)\], сначала вычислим разницу между абсциссами \[x\], чтобы получить \[a\], затем вычислим разницу между ординатами \[y\], чтобы получить \[b\]:

\[\overrightarrow{A B}=\left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}\right)\]

Пример 1 

Найти координаты \[\overrightarrow{A B}\] при значении координат точек \[A(3 ; 2), B(6 ; 9)\].

Нахождение координат точек
Рис. 4.

Решение:

Горизонтальное расстояние равно разнице между абсциссами \[x\], т.е. 6−3=3. Вертикальное расстояние равно разнице между ординатами \[y\], где 9−2=7.

Поэтому мы можем обозначить вектор от А до В как:

\[\overrightarrow{A B}=(3 ; 7)\]

Нахождение координат вектора в пространстве

Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь все почти так же, как на плоскости, но будет добавлена ​​только одна дополнительная координата.

Координаты вектора в пространстве
Рис. 5.

Любой вектор в пространстве выражается следующим образом:

\[\vec{v}=v_{1} \cdot \vec{i}+v_{2} \cdot \vec{j}+v_{3} \cdot \vec{k}\], где координаты вектора (числа) в заданном базисе.


Пример 2

Нужно найти вектор, соединяющий точку А (начало) с координатами (4, 5, 6) с точкой В (конец) с координатами (10, 11, 12).

Решение:

Вектор направлен из точки А в точку В и может быть обозначен как \[\overrightarrow{A B}\]. Таким образом:

\[\overrightarrow{A B}=(10-4) ;(11-5) ;(12-6)=(6 ; 6 ; 6)\]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Как записать вектор на основе единичных векторов

Если мы перейдем от начальной точки к конечной точке \[C\left(x_{y} ; y_{1}\right) D\left(x_{2} ; y_{2}\right)\], это описывает вектор, который представляет собой смещение на расстояние в направлении \[\overrightarrow{C D}\left(x_{2}-x_{1}\right) x\] затем с расстояния в направлении \[\left(y_{2}-y_{1}\right) y\].

Вектор 2
Рис. 6.

Мы можем обозначить этот вектор двумя способами:

\[\overrightarrow{C D}=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}\right)\] или \[\overrightarrow{C D}=\left(x_{2}-x_{1}\right) i+\left(y_{2}-y_{1}\right) \vec{j}\]


Пример 3

Выразить вектор в виде суммы единичных векторов.

Зная, что каждый квадрат сетки имеет длину 1, представим вектор \[\overrightarrow{A B}\] как \[a \vec{i}+b \vec{j}\].

Вектор 3
Рис. 7.

Решение:

Из точки \[A\](начало), мы перемещаем единицы в горизонтальном направлении (которое представляет собой вектор), затем мы перемещаем единицы в вертикальном направлении (что представляет собой вектор), чтобы перейти к точке \[B+2(2 \vec{i}) u+3(3 \vec{j})\].

Вектор \[\overrightarrow{A B}\] что представляет собой прямое движение от \[A\] к \[B\] , тогда равна сумме этих единичных векторов.

Вектор 4
Рис. 8.

Как результат: \[\overrightarrow{A B}=2 \vec{i}+3 \vec{j}=(2,3)\].

Использование векторов и позволяет описать вектор в соответствии с количеством шагов по горизонтали и вертикали длиной 1, которые необходимо сделать, чтобы пройти от начала до конца. Обратите внимание, что отрицательные коэффициенты представляют движение влево или вниз соответственно.

Вектор 5
Рис. 9.

Например, приведенный выше вектор, представляющий смещение на -2 единицы в направлении и на -3 единицы в направлении \[\overrightarrow{A B}=(-2 ;-3) x y\] или \[(-2 \vec{i})+(-3 \vec{j})\].

\[\overrightarrow{A B}=-2 \vec{i}-3 \vec{j}\]
Важно

Следует понимать разницу между координатами точки и векторными координатами:

Координаты точки — это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Каждая точка имеет строгое место на карте, и их нельзя никуда перемещать.

Координаты вектора — это его разложение относительно основания.

Любой вектор свободен, поэтому при желании или необходимости мы легко можем отложить его от другой точки плоскости. Записи координат точек и векторных координат выглядят одинаков, а значение координат совсем разные.

Координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка начала вектора не совпадает с началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. На оси \[O_{x y}\] заданы координаты точек вектора, где \[A\left(x_{a} ; y_{a}\right)\] и \[B\left(x_{b} y_{b}\right)\]. Найти координаты \[\overrightarrow{A B}\].

Вектора
Рис. 10.

Зная формулу сложения векторов, имеем \[\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}\], следует: \[\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}\].

\[\overrightarrow{O A}\] и \[\overrightarrow{O B}\] радиус-векторы точек А и В, следовательно, координаты точек: \[\overrightarrow{O A}=\left(x_{a}, y_{a}\right), \overrightarrow{O B}=\left(x_{b} ; y_{b}\right)\].

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Хочу заработать