Из статьи вы узнаете, что такое ранг матрицы, научитесь его находить методом определений, окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований (методом Гаусса).

Ранги матриц

Определение

Минором k-ого порядка матрицы называется определитель матрицы, вырезанной из заданной матрицы удалением одной или более её строк и столбцов.

Объясним это понятие на примерах. Допустим нам дана матрица

\[\begin{array}{cccc} 1 & 5 & 9 & 13 \\ 2 & 6 & 10 & 14 \\ 3 & 7 & 11 & 15 \\ 4 & 8 & 12 & 16 \end{array}\]

Чтобы найти минор M23 вычёркиваем из неё вторую строку и третий столбец. В результате получаем

\[\begin{array}{lll} 1 & 5 & 13 \\ 3 & 7 & 15 \\ 4 & 8 & 16 \end{array}\]

Это и есть искомый, нужный нам минор. Посмотрим матрицы низших порядков.

Если нам дана матрица первого порядка, то её минором будет сама эта матрица. Если нам дана матрица второго порядка, допустим

\[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\]

То её минорами будут M11=4, M12 = 3, M21=2, M22=1

Для матрицы порядка pxn число миноров k-го порядка равно Ckp*Ckn , где Ckp=p!/k!(p-k)!, Ckn=n!/k!(n-k)! являются числом сочетаний из p по k и из n по k.

Определение

Ранг матрицы — это максимальный порядок её миноров, для которых определитель не равен нулю. Обозначается ранг матрицы A, как rang A.

Из выше приведённого определения можно сделать два важных заключения:

  1. Ранг любой ненулевой матрицы отличен от нуля;
  2. Ранг нулевой матрицы равняется нулю.

Эквивалентными матрицами называют матрицы, которые имеют один и тот же ранг.

Методы нахождения ранга матрицы

Каким именно способом нахождения ранга матрицы пользоваться в конкретной ситуации зависит от вашего умения, предпочтений и самой предложенной матрицы.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Нахождение ранга матрицы по определению

Нам нужно узнать, какой ранг матрицы А порядка p×n. Для нахождения ранга матрицы по определению последовательность действий и рассуждений следующая:

  1. Проверяем миноры первого порядка. Если все они (именно все) в нашей матрице равны нулю, то rang A = 0;
  2. Проверяем миноры второго порядка. Если они оказались равными нулю, то. rang A = 1;
  3. Проверяем миноры третьего порядка. Если они нулевые, то rang A = 2.

Продолжаем исследования, каждый раз увеличивая порядок на один. Возможны следующие две ситуации:

  1. Если среди миноров k-го порядка будет иметься хоть один, отличающийся от нуля, а все без исключения миноры (k+1)-го порядка окажутся нулевыми, то ранг будет равным k.
  2. Если из миноров k-го порядка хоть один ненулевой, а миноры (k+1)-го порядка получить уже нельзя, то ранг матрицы тоже будет k.
Примеры

Пример 1. Требуется определить ранг матрицы A

\[\begin{array}{lllll}5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\2 & 0 & -1 & 0 & 1\end{array}\]

Решение:

Т. к. размер матрицы 3 на 5, и минимальным из этих чисел является 3, то rang A≤ 3. Связано это с тем, что миноры 4-го порядка из данной матрицы уже не создашь, предел достигнут.

В нашем примере из миноров первого порядка есть те, что не равны нулю. Известно, что для перехода к вычислению миноров второго порядка достаточно, чтобы хоть один из них (не важно какой) был неравным нулю.

Из миноров 2-го порядка \[\begin{array}{ll}5 & 0 \\7 & 0\end{array}\] равен нулю, поэтому смотрим следующий минор. Ясно, что \[\begin{array}{ll}7 & 0 \\2 & 0\end{array}\] тоже будет равняться нулю. Постараемся найти более удачные варианты. Возможно \[\begin{array}{ll}5 & 2 \\7 & 3\end{array}\] нулю не будет равен. Вычислим его. 5*3 – 7*2 = 1.

Наши предположения оправдались. Так как нашёлся хоть один минор второго порядка, который не равен нулю, нужно приступить к исследованию миноров третьего порядка. Выберем тот из них, в котором нет нулей, например:

\[\begin{array}{ccc}5 & -3 & 2 \\-7 & -4 & 3 \\2 & -1 & 1\end{array}\]

Вычисляем его. -20 — 18 — 14 + 16 + 21 + 16 = 0. Как видим, он нулевой. Исследовав другие миноры третьего порядка тоже узнаем, что они тоже нулевые. Нет ни одного отличного от нуля. Следовательно, rang A = 2. Задачу можно считать решённой.

Ответ: rang A = 2.


Пример 2. Определить ранг матрицы B

\[\begin{array}{cccc}-1 & 3 & 2 & -3 \\4 & -2 & 5 & 1 \\-5 & 0 & -4 & 0 \\9 & 7 & 8 & -7\end{array}\]

Это квадратная матрица четвёртого порядка. Ранг её не должен превышать четырёх. Видно, что среди миноров первого ранга есть ненулевые.

Сразу переходим к исследованию миноров второго ранга. Посмотрим, например, \[\begin{array}{cc}4 & -2 \\5 & 0 \end{array}\]. Он равен 0 – 10 = -10. Приступаем к исследованию миноров третьего ранга. Возьмём:

\[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & -3 \\-5 & 0 & 0 \\9 & 7 & -7\end{array}\]

Его значение 105 – 105 =0. Придётся исследовать другой подобный минор. Берём

\[\begin{array}{ccc}-2 & 5 & 1 \\0 & -4 & 0 \\7 & 8 & -7\end{array}\]

Он равен -28, т. е. отличен от нулевого, поэтому переходим к минорам ещё на один порядок выше. Здесь у нас только один выбор – сама матрица.

\[\begin{array}{cccc}-1 & 3 & 2 & -3 \\4 & -2 & 5 & 1 \\5 & 0 & -4 & 0 \\9 & 7 & 8 & -7\end{array}\]

Её минор равен 86, т. е. опять же отличен от нуля. Это значит, что ранг нашей матрицы равен 4. Решение найдено.

Ответ: rang B = 4.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Во многих случаях он позволяет сократить количество проделываемых вычислений довольно значительно.

Теорема

Если все миноры, которые окаймляют минор k-го порядка, относящийся к матрице А, имеющей порядок p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А будут тоже нулевыми.

Алгоритм нахождения ранга матрицы при пользовании этим методом следующий:

  1. Смотрим на миноры первого порядка. Если они все нулевые, значит и ранг нашей матрицы будет равным нулю. Если хотя бы один из них отличен от нуля, переходим к следующему шагу;
  2. Смотрим, какие миноры окаймляют минор M1. Если они все равны нулю, то ранг матрицы будет равен 1. При наличии хотя бы одного отличного от нуля ранг матрицы будет равен 2 или числу, превосходящему 2;
  3. Исследуем миноры, окаймляющие минор M2.. Они будут третьего порядка. Если все они нулевые, то ранг нашей матрицы будет равным 2. Если найдётся хотя бы один отличный от нуля, то ранг матрицы будет больше или равен 3.

Как и в предыдущем методе, продолжаем исследования, увеличивая каждый раз порядок на 1 до тех пор, пока все миноры не окажутся нулевыми, или не получится составить окаймляющий минор.

Примеры

Пример 3. Дана матрица С

\[\begin{array}{cccc}-1 & 2 & 1 & 3 \\-3 & 0 & 5 & 4 \\-5 & 4 & 7 & 10\end{array}\]

Решение: Сразу приступим к исследованию миноров второго порядка. Возьмём \[\begin{array}{ll}-1 & 2 \\-3 & 0\end{array}\].

Он будет равным 6, т.е. отличным от нуля.

Составляем окаймляющий минор. Для этого прибавляем к нашему минору следующую строку и следующий столбец. Получаем:

\[\begin{array}{lll}-1 & 2 & 1 \\-3 & 0 & 5 \\-5 & 4 & 7\end{array}\]

Он равен нулю. Исследование окаймляющих миноров придётся продолжить. Берём следующий за добавленным столбец и получаем

\[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\-3 & 0 & 4 \\-5 & 4 & 10\end{array}\]

Он тоже оказывается равным нулю. Других окаймляющих миноров нет, а значит ранг нашей матрицы будет равен 2. Решение найдено.

Ответ: rang С = 2.


Пример 4. Дана матрица D

\[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 0 & 4 & 5 \\3 & 6 & -2 & -1 & 3 \\-2 & -4 & 2 & 5 & 7 \\-1 & -2 & 2 & 9 & 11\end{array}\]

Решение:

Как и в предыдущем случае, лучше его начать с вычисления минора второго порядка. Посмотрим \[\begin{array}{ll}1 & 2 \\3 & 6\end{array}\]. Он равен нулю. Берём другой минор \[\begin{array}{cc}2 & 0 \\6 & -2\end{array}\]. Он оказался равен -4.

Берём один из окаймляющих его миноров, например, \[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\3 & 6 & -2 \\-2 & -4 & 2\end{array}\].

Он равен нулю. Берём ещё один \[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 4 \\3 & 6 & -2 \\-2 & -4 & 2\end{array}\].

Он также равен нулю.

Посмотрим \[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 5 \\6 & -2 & -3 \\-4 & 2 & 7\end{array}\]. Он равен 4.

Переходим к четвёртому порядку.

\[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 5 \\3 & 6 & -2 & -3 \\-2 & -4 & 2 & 7 \\-1 & -3 & 2 & 1\end{array}\]

Он равен нулю. Придётся взять другой.

\[\begin{array}{cccc}2 & 0 & 4 & 5 \\6 & -2 & -1 & -3 \\-4 & 2 & 5 & 7 \\-2 & 2 & 9 & 11\end{array}\]

Он оказывается также равным нулю. Т. к. последний ненулевой минор у нас был третьего порядка, то и ранг матрицы будет равным 3. Решение найдено.

Ответ: rang E = 3.

Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований или методом Гаусса

Под элементарными преобразованиями понимают перестановку строк, умножение строки на отличное от нуля число, прибавление к одной из строк, умноженных на некоторое число элементов другой строки.

Все указанные преобразования не меняют ранга матрицы. Пользуясь ими можно привести матрицу к виду, когда все из её элементов кроме a11, a22, a33 … arr будут равны нулю, а значит ранг матрицы станет равняться r.

При нахождении ранга матрицы методом Гаусса нужно предвидеть, какие преобразования приведут к упрощению матрицы, а какие нет. К сожалению, сделать это далеко не всегда бывает просто.

Пример 5

Дана матрица F

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\75 & 94 & 53 & 132 \\75 & 94 & 54 & 134 \\25 & 32 & 20 & 48\end{array}\]

Решение:

Из третьей строки этой матрицы вычитаем вторую, Из второй строки вычитаем первую

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\75 & 94 & 53 & 132 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 1 & 2 & 5\end{array}\]

Далее из второй строки вычитаем первую, умноженную на три

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 1 & 3 & 5\end{array}\]

Из четвёртой строки отнимаем третью и вторую

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

Из четвёртого столбца вычитаем третий, предварительно помноженный на два

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 0 \\0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

Делим первый столбец на 25 и вычитаем из второго столбца первый, до этого помножив его на 31

\[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 17 & 9 \\0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

От третьего столбца отнимаем первый до этого помножив его на 17, а второй на 2; от четвёртого столбца отнимаем первый, умноженный на 9 и прибавляем второй, помноженный на 2

\[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

Так как ранг полученной матрицы равен 3, то у исходной матрицы он тоже будет равняться 3. Решение найдено.

Ответ: rang F = 3.

Как видите, находить ранг даже больших матриц с неравным количеством строк и столбцов достаточно просто. Чтобы проделывать указанную математическую операцию без серьёзных для себя затруднений, требуется лишь понимание сущности изложенных методов и некоторая практика. После этого проблем у вас возникать не должно.