В данном материале, будем рассматривать еще одну составляющую тригонометрии.  А именно: обратные тригонометрические функции.

Тригонометрические функции являются периодическими. Функции, которые, являются обратными к ним будут иметь многозначное значение.  Другим словами это множество угловых значений, для которых соответствующая функция является заданным числом.

Например \[\arcsin \left(\frac{1}{2}\right)\] в математике обозначает множество значений углов. \[\left(\frac{\Pi}{6} ; \frac{5 \pi}{6} ; \frac{13 \pi}{6}\right) 30^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}\].

Формула

Арксинус:

\[(y = arcsin x )\]

это функция, обратная к синусу ( x = sin y )

Свойства функцииФункции y=arcsin х
E(f)\[-1 \leq x \leq-1\]
D(f)\[-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}\]
наличие четностиНечётная, т.к. arcsin(-x)= — arcsin x
характер графика направлениевозрастание
График 1
Формула

Арккосинус:

\[(y = arccos x )\]

это функция, обратная к косинусу ( x = cos y)

СвойстваФункции y=arccos х
E(f)\[-1 \leq x \leq-1\]
D(f)\[0 \leq y \leq \pi\]
ЧётностьДанное свойство ей не характерно. Иными словами, отсутствует.
МонотонностьУбывающая
График 2
Формулы

Арктангенс:

\[(y = arctg x)\]

это функция, обратная к тангенсу (x = tg y)

Арккотангенс:

\[(y = arcctg x)\]

это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y)

Свойстваy=arctg хy=arcctg х
E(f)RR
D(f)\[\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\]\[(0 ; \pi)\]
ЧётностьНечётнаяНечётная
ПромежуткиВозрастающаяУбывающая
График 3
График 4

Главные значения: arcsin, arccos, arctg и arctg

Применяя таблицы определения значений прямых функций, мы имеем точные числовые значения для следующих углов.

0,  \[\pm 30,45,60,90,120 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \pm 180\] градусов. Таблица является очень простой и понятной для применения при выполнении необходимых расчетов.

\[\alpha\]\[0^{\circ}\] \[30^{\circ}\] \[45^{\circ}\] \[60^{\circ}\] \[90^{\circ}\] \[120^{\circ}\] 
\[sin\alpha\]1\[\frac{1}{2}\]\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]1\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[cos\alpha\]1\[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[\frac{1}{2}\]0\[-\frac{1}{2}\]
радиан0 \[\frac{\pi}{6}\] \[\frac{\pi}{4}\] \[\frac{\pi}{3}\] \[\frac{\pi}{2}\] \[\frac{2\pi}{3}\]
Продолжение таблицы 1
\[\alpha\]\[135^{\circ}\] \[150^{\circ}\] \[180^{\circ}\] \[210^{\circ}\] \[225^{\circ}\] \[240^{\circ}\] 
\[sin\alpha\]\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[\frac{1}{2}\]0\[\frac{1}{2}\]\[-\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[cos\alpha\]\[-\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]-1\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]\[-\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[-\frac{1}{2}\]
радиан \[\frac{3\pi}{4}\] \[\frac{5\pi}{6}\] \[\pi\] \[\frac{7\pi}{6}\] \[\frac{5\pi}{4}\] \[\frac{4\pi}{3}\]
Продолжение таблицы 1
\[\alpha\]\[270^{\circ}\] \[300^{\circ}\] \[315^{\circ}\] \[330^{\circ}\] \[360^{\circ}\] 
\[sin\alpha\]-1\[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]\[-\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[-\frac{1}{2}\]0
\[cos\alpha\]0\[\frac{1}{2}\]\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]1
радиан \[\frac{3\pi}{2}\] \[\frac{5\pi}{3}\] \[\frac{7\pi}{4}\] \[\frac{11\pi}{6}\] \[5\pi\]
Продолжение таблицы 1

Вычисленные значения принято сводить в таблицу, показанную выше. Особенно рекомендуются, ее заучивать наизусть, для более лучшего восприятия.

\[\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2} ; \sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} ; \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} ; \sin 90^{\circ}=1 ;.\]
\[\sin 120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} ; \operatorname{\operatorname{sin}} 135^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} ; \cdot \sin 150^{\circ}=\frac{1}{2} ; \sin 180=0 ;.\]
\[\sin 210^{\circ}=-\frac{1}{2} ; \cdot \sin 225^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2} ; \sin 240^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2} ;.\]
\[\sin 270^{\circ}=-1 ; . \sin 300^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2} ; \sin 315^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2} ;.\]
\[\sin 330^{\circ}=-\frac{1}{2} ; \cdot \sin 360^{\circ}=0..\]

Учитывая данные вышеприведенной таблицы, можно вычислить необходимые для нас значения функций. 

Для более практичного применения сведем все данные арксинуса в таблицу. Их необходимо запомнить, а лучше всего выучить наизусть. Так ка к ним придется возвращаться на постоянной основе. 

угол-1\[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]\[-\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[-\frac{1}{2}\]0\[\frac{1}{2}\]\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]
радианы\[-\frac{\pi}{2}\]\[-\frac{\pi}{3}\]\[-\frac{\pi}{4}\]\[-\frac{\pi}{6}\]0\[\frac{\pi}{6}\]\[\frac{\pi}{4}\]\[\frac{\pi}{3}\]
градусы-90-60-45-300304560
числовое значение \[-\frac{\pi}{2}\]\[-\frac{\pi}{3}\]\[-\frac{\pi}{4}\]\[-\frac{\pi}{6}\]0\[\frac{\pi}{6}\]\[\frac{\pi}{4}\]\[\frac{\pi}{3}\]

Далее определимся с основными значения арккосинуса. Для вспомнить функцию прямую по значению к данной.

\[\cos 0^{\circ}=1 ; \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} ; \cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} ; \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2};\]
\[\cos 90^{\circ}=0 ; \cos 120^{\circ}=-\frac{1}{2} ; \cos 135^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2} ; \cos 150^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2} ;.\]
\[\cos 180=-1 ; \cdot \cos 210^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2} ; \cdot \cos 225^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2} ;.\]
\[\cos 240^{\circ}=-\frac{1}{2} ; \cos 270^{\circ}=0 ; . \cos 300^{\circ}=\frac{1}{2} ; . \cos 315^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} ;.\]
\[\cos 330^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} ; \cdot \cos 360^{\circ}=1 . .\]

Далее определяем нужные нам значения арккосинуса и сводим их в таблицу.

угол-1\[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]\[-\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[-\frac{1}{2}\]0\[\frac{1}{2}\]\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]
радианы\[\pi\]\[-\frac{5\pi}{6}\]\[-\frac{3\pi}{4}\]\[-\frac{2\pi}{3}\]\[\frac{\pi}{2}\]\[\frac{\pi}{6}\]\[\frac{\pi}{4}\]\[\frac{\pi}{6}\]
градусы18015013512090604530
числовое значение \[\pi\]\[-\frac{5\pi}{6}\]\[-\frac{3\pi}{4}\]\[-\frac{2\pi}{3}\]\[\frac{\pi}{2}\]\[\frac{\pi}{6}\]\[\frac{\pi}{4}\]\[\frac{\pi}{6}\]

И напоследок остается вычислить значения арктангенса и арккотангенса. 

Выведем значения основных прямых функций и получим следующие значения для каждого значения в градусах:

\[\operatorname{tg} 0^{\circ}=0 ; \operatorname{tg} 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3} ; \operatorname{tg} 45^{\circ}=1 ; \operatorname{tg} 60^{\circ}=\sqrt{3} ; \operatorname{tg} 120^{\circ}=-\sqrt{3} ;\]
\[\operatorname{tg} 135^{\circ}=-1 ; \operatorname{tg} 150^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2} ; \operatorname{tg} 180=0 ; \operatorname{tg} 210^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3} ;\]
\[\operatorname{tg} 225^{\circ}=1 ; \operatorname{tg} 240^{\circ}=\sqrt{3} ; . \operatorname{tg} 300^{\circ}=-\sqrt{3} \cdot \operatorname{tg} 315^{\circ}=-1 ;\]
\[\operatorname{tg} 330^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{3} ; \operatorname{tg} 360^{\circ}=0..\]

\[\operatorname{tg} 90^{\circ}, 270^{\circ}\] — данные угловые значения, не определяются, согласно основным законам геометрии и математики.

\[\operatorname{ctg} 0^{\circ}, 180^{\circ}, 360^{\circ}\] — для перечисленных угловых значений по законам математики и всех технических наук в целом, значения не определяются.

\[\operatorname{ctg} 30^{\circ}=\sqrt{3} ; \operatorname{ctg} 45^{\circ}=1 ; \operatorname{ctg} 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3} ; \operatorname{ctg} 90^{\circ}-0 ;\]
\[\operatorname{ctg} 120^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{3} ; . \operatorname{ctg} 135^{\circ}=-1 ; . \operatorname{ctg} 150^{\circ}=-\sqrt{3} ; .\]
\[\operatorname{ctg} 210^{\circ}=\sqrt{3} ; . \operatorname{ctg} 225^{\circ}=1 ;\]
\[\operatorname{ctg} 240^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3} ; \operatorname{ctg} 270^{\circ}=0 ; \operatorname{ctg} 300^{\circ}=\frac{-\sqrt{3}}{3} ; \operatorname{ctg} 315^{\circ}=-1 ;\]
\[\operatorname{ctg} 330^{\circ}=-\sqrt{3}…\]

Далее все данные запишем в виде табличной формы.

Первая таблица для арктангенса

угол\[-\sqrt{3}\]-1\[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]0\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]1\[\sqrt{3}\]
радианы\[-\frac{\pi}{3}\]\[-\frac{\pi}{4}\]\[-\frac{\pi}{6}\]0\[\frac{\pi}{6}\]\[\frac{\pi}{4}\]\[\frac{\pi}{3}\]
градусы-60-45-300304560
числовое значение\[-\frac{\pi}{3}\]\[-\frac{\pi}{4}\]\[-\frac{\pi}{6}\]0\[\frac{\pi}{6}\]\[\frac{\pi}{4}\]\[\frac{\pi}{3}\]

Вторая таблица для арккотангенса

угол\[-\sqrt{3}\]-1\[-\frac{\sqrt{3}}{2}\]0\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]1\[\sqrt{3}\]
радианы\[\frac{5\pi}{3}\]\[\frac{3\pi}{4}\]\[\frac{2\pi}{6}\]\[\frac{\pi}{2}\]\[\frac{\pi}{3}\]\[\frac{\pi}{4}\]\[\frac{\pi}{6}\]
градусы15013512090604530
числовое значение\[\frac{5\pi}{3}\]\[\frac{3\pi}{4}\]\[\frac{2\pi}{6}\]\[\frac{\pi}{2}\]\[\frac{\pi}{3}\]\[\frac{\pi}{4}\]\[\frac{\pi}{6}\]

Рассмотрим, также значения для нестандартных угловых значений и сведем их в таблицу.

угол\[\pi / 12=15\]\[\pi / 10=18\]\[\pi/8 = 22,5 \]\[\pi / 5=36\]\[3 \pi / 10=54\]\[3 \pi / 8=67,5\]\[2 \pi / 5=72\]
sin\[\sqrt{3}-1 / 2 \sqrt{2}\]\[\sqrt{5}-1 / 4\]\[\sqrt{2-\sqrt{2 / 2}} ;\]\[\sqrt{5-\sqrt{5} / 2 \sqrt{2}}\]\[\sqrt{5}+1 / 4\]\[\sqrt{2+\sqrt{2 / 2}}\]\[\sqrt{5+\sqrt{5} / 2 \sqrt{2}}\]
cos\[\sqrt{3}-1 / 2 \sqrt{2}\]\[\sqrt{5+\sqrt{5 / 2 \sqrt{2}}}\]\[\sqrt{2+\sqrt{2 / 2}}\]\[\sqrt{5}+1 / 4\]\[\sqrt{5-\sqrt{5 / 2 \sqrt{2}}}\]\[\sqrt{2-\sqrt{2 / 2}}\]\[\sqrt{5}-1 / 4\]
tg\[2-\sqrt{3}\]\[\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}\]\[\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\]\[\sqrt{5-2 \sqrt{5}}\]\[\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}\]\[\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}\]\[\sqrt{5+2 \sqrt{5}}\]
ctg\[2+\sqrt{3}\]\[\sqrt{5+2 \sqrt{5}}\]\[\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}\]\[\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}\]\[\sqrt{5+-2 \sqrt{5}}\]\[\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\]\[\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}\]

В данной таблице приведены значения углов. которые считаются нестандартными. также таблица необходима, чтобы облегчить жизнь, в первую очередь, школьной программе.

Все приведенные таблицы значений имеют очень большую роль в процессе решения. Их необходимо заучить наизусть и постоянно для проверки повторять.

Основные способы, которые помогут заполнить таблицу функций тригонометрии

Необходимо изобразить простую таблицу, где будет несколько столбцов и строк, необходимых для заполнения данных. Следующая задача, состоит в том, что нужно пустые графы заполнить. Записываем в первом столбике значение математических функций, ранее нами изученных.

В начальной строке, должны отображаться самые часто используемые значения углов: от нуля до девяноста градусов и так далее.

Оставшиеся ячейки нужно оставить незаполненными, для следующих действий. Чтобы понять тригонометрию, нужно изучать не только основные функции. Стоит уделить внимание и таким функциях как: косеканс (cosec) и секанс(sec).

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg по таблицам Брадиса

Первое упоминание о таблице, датируется 20-ми годами прошлого века. Основоположником, является советский ученый математик, и талантливый педагог Владимир Брадис.   

Созданная Брадисом таблица, позволяет определить значения тригонометрических функций, с большой точностью, а именно до четырех знаков.

На практике решений, обычно требуется точность в три-четыре знака, после запятой, но не более. Для расчета, с такой точностью, значение синуса, в формуле достаточно трех известных слагаемых, а иногда и двух.  Произвести простых четыре перемножения.  Дважды разделить, умножить и отнять.

Если производить действия инженерным калькулятором, становится понятно, что все вышеперечисленные действия, уже запрограммированы в его микросхеме.  

В таблице представлены следующие данные:

  • число в квадратной и кубической степени;
  • числа квадратных корней;
  • логарифмические функции и значение;
  • функции тригонометрии, представленный в градусах и радианах;
  • обратные функции.

Таблица Брадиса, очень часто применяется в строительных целях. Она имеет большую популярность в инженерном проектировании. Проектирование зданий и сооружений тесно связано с таблицами Брадиса. При разработке проектов, ею пользуются при расчете подпорных стенок. Особенно это актуально при проектировании многоярусных набережных. Для проектирования и расчета сооружений. Например, для уточнения высоты или ширины. Создавая проект, не всегда есть доступ в интернет и поэтому обычный инженерный калькулятор в помощь строителям.  Можно самому рассчитать обычный каркас, изобразить в виде чертежа.  И самостоятельно создать простое, малых параметров сооружение.

Можно определить точность углового значения до минуты. Существуют также таблицы, где есть семизначные значения.

Для того чтобы составить таблицы ученый пользовался методом: разложения функций (либо метод разложения на степень в ряд).

Краткие примеры таблиц Брадиса для определения значений тригонометрических функций

Таблица Брадиса 1
Таблица Брадиса 2

Мы показали , что представляет таблица, какие данные и значения отображает. Полную версию таблицы, можно найти в сборнике. Который издается каждый год. .

Для определения неизвестных нужно использовать следующие уже известные нам формулы:

\[\arcsin \mathrm{a}+\arccos \mathrm{a}=\frac{\pi}{2} \text { и } \operatorname{arctg} \mathrm{a}+\arctan \mathrm{a}=\frac{\pi}{2}\]

Пример решения:

Нужно найти значение котангенс 13 градусов 42 минут.  Снова применим таблицу значения функций и найдем значение 13 градусов, а в строке 40 минут и поправку равную 2.  Находим искомое значение 4,102

Тангенс \[13^{\circ} 42^{\prime}=4,102\]