Как найти область допустимых значений выражения

Определение

Область ОДЗ – это множество простых числовых значений, которые допустимы, для любого данного выражения.

Ограничение области определения:

Область ограничения действительных чисел может быть от \[(0 ;+\infty)\].

Например: \[[-4 ; 1) \cup[5,7)\].

Область определения может указывать на следующие характеристики:

  • деление функции как \[y=x+\frac{2 \cdot x}{x^{4}-1}\]
  • корень четной степени и переменная под корнем:
    \[=\sqrt{x+1} \text { или } y=\sqrt[n]{2^{2 \cdot x+1}} \text {; }\]
  • переменная в основании степенного значения
    \[y=3 \cdot(x+1)^{-2}, y=-2+x^{\frac{1}{3}} ; y=\left(x^{4}-x+2\right)\sqrt{4}\]
  • логарифмическая переменная \[y=\ln \frac{x^{4}+x}{8} ; \quad y=2+\].
    Значения основания должно быть положительным. Также как и логарифмическое значение.
  • переменная тангенса и котангенса в виде следующего уравнения: \[y=\arcsin (x+4)+4 \cdot x^{2}\]

Если отсутствует хотя бы один из перечисленных характеристик область определения функции определяется иначе.


Пример 1: \[y=\frac{x^{4}+2 x-x+2}{4}+2 \frac{2}{3} \cdot x\], в данном множестве нет переменной, поэтому и решается оно иначе.

Пример 2: \[y=\frac{3}{x-1}\], нужно вычислить область определения. Обязательно, при решении нужно уделить внимание на знаменатель. Потому что, по законам алгебры деление на ноль запрещено.

Следовательно получаем следующее действие: \[\frac{3}{x-1}\].

Область значения не должна быть равной единице, так как в знаменателе получим нулевое значение. Отсюда область определения будет в пределах \[(-\infty, 1) \cup(1,+\infty)\].

Область допустимых значений для уравнения

Чтобы правильно уметь определять данную область, нужно знать следующие утверждения:

если функция вычисляется, при помощи суммы: \[f_{1}+f_{2}+\ldots f_{n} \text { или } \mathrm{y}=f_{1}+f_{2}+\ldots f_{n}\].

Область определения будет следующего вида: \[\mathrm{D}(\mathrm{f})=\mathrm{D}\left(f_{1}\right)\left(f_{2}\right) \ldots\left(f_{n}\right)\]

Пример суммы числовых значений:

Возьмем уравнение: \[y=x^{7}+x+5+\operatorname{tg} x\]

Решение: уравнение представлено в виде суммы нескольких значений, где степень равна семи, показатель один.

Область допустимых значений

Области определения tg характерны все действительные числа.

Ответ: для заданной функции относится пересечение областей или количество действительных чисел кроме [\pi / 2+\pi \cdot \mathrm{n} . \mathrm{n} \in z]

Пример разности значений:

\[y=\log _{3} x-4 \cdot 2^{x}\]

Решение:

\[f_{1}(\mathrm{x})=\log _{3} \text { и } f_{2}(\mathrm{x})=4 \cdot 2^{x}\]

Область определения функции разности будет: \[(0,+\infty)\] это для \[f_{1} ; \text { для } f_{2}(-\infty .+\infty)\]

\[y=\log _{3} x-4 \cdot 2^{x} \Rightarrow D\left(f_{1}\right)=(0 ;+\infty), \quad D\left(f_{2}\right)=(-\infty ;+\infty)\]

Ответ: \[(0 ;+\infty)\].

Пример произведения чисел:

\[y=3 \cdot \operatorname{arctg} x \cdot \ln x\]
Пример произведения чисел 1
Пример произведения чисел 2

Область допустимых значений для функции

Сложная функция имеет следующий вид: \[\mathrm{y}=f_{1}\left(f_{2}(\mathrm{k})\right)\]

D (f) — множество значений;

Пересечение двух множеств и будет являться областью определения функции сложного типа.

\[\mathrm{k} \in D\left(f_{2}\right) \text { и } D f_{2}(x) \in D\left(f_{1}\right)\]
Пример

\[y=\ln x^{2}\]

Представим функцию в виде: \[\mathrm{y}=f_{1}\left(f_{2}(\mathrm{k})\right)\]

\[f_{1}\] — логарифм с заданным основанием;

\[f_{1}\] — степень со значением 2.

Используем изученные в данном уроке области определения:

\[D\left(f_{1}\right)=(0 ;+\infty)\]

\[D\left(f_{2}\right)=(-\infty ;+\infty)\]

Исходя из этого получаем систему неравенства: \[x \in D\left(f_{2}\right) ; f_{2} k \in D\left(f_{1}\right) \Leftrightarrow k \in(-\infty ;+\infty) k^{2} \in(0 ;+\infty) \Leftrightarrow k \in(-\infty ;+\infty)k^{2}>0 \Leftrightarrow k \in(-\infty ;+\infty)\]

\[ k \in(-\infty ; 0) \cup(0 ;+\infty) . \Leftrightarrow k \in(-\infty ; 0) \cup(0,+\infty)\]

Ответ: все действительные числа, кроме нуля.

Область определения функции в виде дробного алгебраического значения

Когда функция задается выражение в виде дроби. Переменная значений находится в знаменателе. Следовательно, область определения являются действительные числа. Исключением служит число, которое приведет знаменатель к нулевому значению.

Пример №1: \[y=\frac{x-4}{x+4}\]. Решив уравнение, определим искомое значение области определения. Которое является \[-\infty ;-4 \cup-4 ;+\infty\]

Пример №2: \[y=\frac{1}{x^{2^{2}} 1} ;\]

\[x^{2-} 1=0 \Rightarrow x^{2} \Rightarrow x_{1}=-1 x_{2}=1\]

Искомая область : \[\text { — ]- } \infty ;-1[\cup]-1 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[.\]

Пример №3: \[y=\cos x+\frac{3}{x^{2}-4}\].

Первое слагаемое имеет область определения множество действительных чисел. Второе — также все числа, кроме -2 и 2, они приведут знаменатель к нулю. Область определения должна соответствовать условиям двух слагаемых и равняться действительным числам, кроме -2 и 2.

Область определения показательной и логарифмической функции

Показательная функция записывается как: \[y=k^{x}\]

где значение x — показатель степени; k — число, которое обязательно больше нуля и не равно единице. Область определения показательной функции — это множество значений R.

Основные примеры показательных функций:

Основные примеры показательных функций

Область определения, для этих функций, записывается следующим образом: \[(-\infty,+\infty)\].

Логарифмическая функция выражается как: \[y=\log n^{k}\], где значение  n , имеет значение больше нуля и не менее единицы.

Определение

Область определения логарифма и логарифмической функции — это множество положительных значений и действительных чисел.

Рассмотрим на примере, характер решения задачи данной функции.

Пример №1:

\[y=\ln x\], определить область определения натурального логарифма.

\[D(y)=(0 ;+\infty)\]

На заданном интервале, производная будет иметь положительное значение, и функция будет возрастать на всем промежутке.

\[y=\ln x=\frac{1}{x}\]

Определим односторонний предел при, стремлении аргумента к нулю и когда значение x стремится к бесконечности.

\[\lim _{x \rightarrow 0+0} \ln x=\ln (0+0)=-\infty\]
\[\lim _{x \rightarrow \infty} \ln x=\ln (+\infty)=+\infty .\]

Из данного решения мы видим, что значения будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Из этого следует, что множество всех действительных чисел – является областью значений функции натурального логарифма ln.

Ответ: множество всех действительных чисел, это и есть область значений функции ln.

Определения области допустимых значений функции

На примерах рассмотрим, как определить области значений функции.

Первоначально, необходимо определить значения непрерывной функции y=f(x).

Известно, что функция непрерывная и достигает своих максимальных max f(x) и минимальных min f(x) значений, на разных периодах. Из этого следует отрезок, где находятся значения исходной функции. Тогда решение состоит в нахождении точек максимума и минимума.


Пример №1 :

Необходимо вычислить область значений уравнения \[y=x^{4}-5 x^{3}+6 x^{2}\] на отрезке [ 1 ;   4 ] [1; 4].

Для решения задачи необходимо произвести следующие действия:

Этапы вычисления области значения уравнения

Следующим шагом будет определение значений функции в конечной и начальной точках.

Пример решения 5

Ответ: \[\left(\frac{117-165 \cdot \sqrt{33}}{512} ; 32\right)\].

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Пример №2.

На этом примере подробно рассмотрим, как вычисляются значения непрерывной функции y= f(x), в определенных промежутках.

Для этого, первоначально вычислим:

  •  наименьшее и наибольшее значение;
  •  определим промежуток возрастания и убывания функции;
  •  односторонние пределы;
  •  предел бесконечности.

Решение:

Для решения возьмем функцию \[y=\frac{1}{x^{2}-4}\] и вычислим область значений на промежутке (-2;2).

Находим наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке.

\[y=\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{-2 x}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}\]
\[\mathrm{y}=0 \Leftrightarrow \frac{-2 x}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}=0 \Leftrightarrow x=0 \in(-2 ; 2)\]

Из данных вычислений видно, что максимальное значение равно 0, так как в этой точке происходит перемена знака функции и соответственно функция начинает убывать.

А именно: \[y(0)=\frac{1}{0^{2}-4}=-\frac{1}{4}\]

\[-\frac{1}{4}\] — будет являться наибольшим значение заданной функции.

Следующим шагом в нашем решении, будет выяснение направления функции. Когда x значение стремится к (-2) и (+2).

В алгебре иными словами эти значения называют односторонними пределами.

Решение выглядит следующим образом.

Вычисление значения непрерывной функции

В конечном итоге мы получаем, что в пределах от -2 до 0, функции будут возрастать от \[-\infty \text { до }-\frac{1}{4}\]. Если аргумент меняется, от 0 до то наоборот будет убывать к \[-\infty\].

Следовательно, необходимое множество значений будет на интервале \[-\infty \text { до }-\frac{1}{4}\]

Ответ: \[\left(-\infty-\frac{1}{4}\right)\].


Пример №3:

Данная функция имеет определенное значение, только при положительных значениях. \[\mathrm{D}(\mathrm{y})=(0 ;+\infty)\]

Производная будет иметь следующий вид: \[y=(\ln x)=\frac{1}{x}\].

Так как функция имеет положительное значение, то всем промежутке будет наблюдаться ее возрастание. От \[-\infty \text { до } +\infty\]

Поэтому область значения — это множество всех натуральных значений.


Пример №4:

У функции \[y=\frac{9}{z^{2}-1}\]

Если значение z имеет положительное значение, то функция будет считаться определенной.

Вычислим наибольшее и наименьшее значение, а также промежутки возрастания и убывания.

Пример решения 1

Если значение x будет больше, либо равным 0,то функция будет убывать.

Если значение x будет меньше либо равным нулю , функция будет возрастать.

Затем рассмотрим поведение функции и  ее значения на бесконечной прямой.

Пример решения 2

Вывод: если аргумент изменяется от \[-\infty\] до 0, тогда значение функции увеличиваются от 0  до 9 . Когда значения аргумента меняются от 0  до \[+\infty\], значения функции будут уменьшаться  от 9 до 0.


Пример №5:

Определить область значений \[y=\frac{x}{x-2}\];

По правилам математики. знаменатель не может равняться нулю. Поэтому: \[D(y)=(-\infty ; 2)(+\infty ; 2)\].

Определим множества на первом отрезке. \[(-\infty ; 2)\]. На этом отрезке функция будет убывающей и значение отрицательным.

Пример решения 3

Функция ассиметрично начнет приближаться к 1, когда аргумент будет изменяться к минус бесконечности.

Определим множества на втором отрезке. \[(+\infty ; 2)\]. На этом отрезке функция будет также убывающей.

Пример решения 4

Вывод: \[E(y)=(+\infty ; 1) \cup(1 ;+\infty)\].