Определение

Тригонометрия — один из видов науки о математике, изучающий функции по тригонометрии с применением их в геометрии.

Начало своего изучения данный научный раздел берет где-то в античной Греции, считается что первыми стали применять такие функции астрономы, а после в землемерии и строительстве. В средние века, большое внимание тригонометрии уделяли учёные Индии и Востока.

В этой статье будут рассмотрены понятия и различные определения тригонометрической науки. А также основные функции которыми являются: синус, косинус, тангенс, котангенс.

В начале стоит поговорить об определениях:

  • Угол определяется в двух величинах: градусы и радианы.
  • Так как окружность определяется 360 единицами, то 1∘равен 1\360 части окружности.
  • Гипотенуза — напротив лежащая сторона относительно прямого угла;
  • Катеты — две стороны, отходящие от прямого угла.

Определения основных функций

По началу понятие функций тригонометрии, значением которого был угол, вычислялось через отношение сторон треугольника, который обладает прямым углом.

Определения для острого угла прямоугольника.

  • Функция Sin a — Синус угла — отношение напротив лежащего катета к гипотенузе
  • Cos a — Косинус угла — отношение стороны треугольника (катета), который прилегает к данному углу и гипотенузы;
  • Tg a — Тангенс угла — отношение стороны треугольника который называется катетом и лежит напротив угла к прилежащему углу катету ;
  • Ctg a — Котангенс угла — прилежащего катета к противолежащему.
Треугольник

Теорема синусов в формуле:

\[ \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma} \]

Угол поворота.

Как уже говорилось выше определения, которые мы рассмотрели относятся к острым углам треугольника. Но существует и понятие угол поворота, в котором исчисляемый угол не будет равен значению от 0 градусов до 90. При этом угол поворота может быть любым числом, от +бесконечности и до — бесконечности.

В данной связи можно выдвинуть определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла любой величины. Для этого представим окружность в системе координат с двумя взаимно перпендикулярными осями.

Представление окружности в системе координат

Заданная точка А, имеющая координатные значения 1,0, делает поворот вокруг центра оси на угол α, переходя в точку А1. рассматривая определение через координаты А1(х,у).

Sin угла поворота α, это ордината точки А1(х,у), то есть sinα=у

Косинус α — абсцисса точки А1 (cosα=х)

Tg данного угла — ‘это деление (отношение) ординаты А1 к абсциссе. tgα=у\х

Котангенс поворотного угла α — отношение её абсциссы к ординате, ctgα=х\у

Заметим, что синус и косинус можно выделить для любого угла, а вот тангенс и котангенс нет. И это абсолютно логично, так как при переходе точки в значение ноля для абсциссы, тангенс посчитать невозможно, так как невозможно деление на 0. Тоже самое со значением ординаты равным нулю, котангенс не исчисляется.

Sin и cos можно вычислить для любых углов α. тогда как tg всех кроме α = 90°+180°* k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π * k ,   k ∈ Z ) α=90°+180°*k, k∈Z (α=π2+π*k, k∈Z)

Котангенс так же можно вычислить не для всех углов, например для  α = 180 ° * k ,   k ∈ Z   ( α = π * k ,   k ∈ Z , это сделать нельзя.

Отметим, что на практике при решении примеров словосочетание угол поворота опускается из речевого оборота.

Для удобства существуют таблицы значений часто используемых углов, которые вычисляются в тригонометрических функциях, к примеру, для первой четверти круга:

 30°45°60°90°
sin01 2√2 2√3 21
cos1√3 2√2 21 20
tg01 √31√3
ctg√311 √30
Здесь можно посмотреть таблицу синусов, косинусов и других функций.

Вычисление тригонометрических функций числа

В данном пункте рассмотрим случай, когда определение рассматриваемых нами функций тригонометрии, происходит из числового значения, а не угла. Таких подходов два:

  1. Sin, cos, tg, ctg числа n, является число которое равно sin, сos, tg, ctg n радиан. Где Радиа́н это угол, который соответствует дуге, которая в свою очередь равна длине, её радиуса. Пример: sin числа2k=sin угла2k радиан. Используя формулы можно получить таблицу часто встречаемых углов, которая поможет быстро перевести значения из градусов в радианы и в противоположную сторону.
  2. На прямоугольной системе координат, в единичной окружности, ставится точка, которой соответствует любое действительное значение числа d. тригонометрические функции можно определить, узнав координаты этой точки.
  3. Считая начальной точкой А с координатами (1,0). Поэтому для того чтобы найти взаимодействие между точкой на окружности и числом, нужно найти отрицательное и положительное значение числа d, положительным будет значение при движении точки А(1,0) в противоположную сторону движения часовой стрелки и её движение будет равным open t \ t, а отрицательным движение по часовой стрелке.


В связи с этим выделяют следующие функции:

  • (sin f = y) Синус числа f- определяется ординатой точки единичной окружности, которая равна числу f;
  • (cos f = x) Косинус числа f — абсцисса окружности, которая соответствующая числу f;
  • (tg f = y\x=sin f\cos f) тангенс f определяется делением ординаты на абсциссу точки, равной числу f.

Функции аргумента угла и числа

Каждому значению угла а, существует своё значение sin, сos, данного угла, которое ему соответствует. А также углам α, кроме от α = 90 ° + 180 ° * k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π * k ,   k ∈ Z ) будет соответствовать определенное значение тангенса. Так же котангенс α, кроме α = 180 ° * k ,   k ∈ Z   ( α = π * k ,   k ∈ Z ).

Из чего следует что синус а, косинус а, тангенс а, котангенс а — это и есть функции углового аргумента.

Точно также определяются функции числового аргумента. Выбранное любое действительное число, имеет своё соответственное значение функций тригонометрии, все кроме перечисленных исключений.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Определения функций и их связь

Вернемся к единичной окружности в прямоугольной системе координат, где центр окружности и системы координат совпадает. Точку А(1,0) повернём на 90°, и из полученной точки А1 проведём перпендикуляр к абсциссе. В результате получится прямоугольный треугольник, где угол А1 ОН это угол поворота а. длины катета ОН и абсциссы точки А1 также равны. А катет, который находится напротив угла равен ординате точки А1, а длина гипотенузу это единица.

Получается исходя из определения, синус угла а, это отношение катета напротив к гипотенузе.

sin   α = A 1 H\ O A 1 = y \1 = y

sin α=A1H\OA1=y\1=y

Из чего следует, что определение sin острого угла, одинаково определению синуса угла поворота а, если а лежит в пределе 0-90°. Точно так же и с вычислением косинуса, тангенса и котангенса.

Положительные и отрицательные знаки функций

Положительные и отрицательные знаки функций
Знаки sin и cos в изобразительном виде системы координат.
 IIIIIIIV
sin++
cos++
tg++
ctg ++
Знаки sin, cos, tg, ctg в виде таблицы.
Положительные и отрицательные знаки функций 1

Знаки тангенса и котангенса на оси

Для того чтобы сделать проверку знаков функций тангенса и котангенса , можно также воспользоваться такой окружностью и её четвертями. Если мы берём угол из третьей четверти и проводим прямую через точку на окружности и начало координат, пока прямая не пересечёт ось тангенсов. Мы увидим что значение tg угла и угла в первой четверти будет положительным. Таким же образом значение из второй четверти и четвёртой отрицательно.

Тождества в тригонометрии

Рассмотрим подробнее тождества функций.

  • Уравнение для единичной окружности — x2 + y2 = 1 ;
  • Основное тождество — cos2t + sin2t = 1 ;
  • Тождество tg и ctg — tgt * ctgt = 1

На основе этих тождеств выведем формулы связи для cos и tg:

\[ \cos ^{2} t+\sin ^{2} t=1 \mid: \cos ^{2} t, \cos t \neq 0 \]
\[ \frac{\cos ^{2} t}{\cos ^{2} t}+\frac{\sin ^{2} t}{\cos ^{2} t}=\frac{1}{\cos ^{2} t} \]
\[ 1+\operatorname{tg}^{2} t=\frac{1}{\cos ^{2} t}, \quad t \neq \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z \]

Формула для ctg и sin.

\[ 1+\operatorname{ctg}^{2} t=\frac{1}{\sin ^{2} t}, \quad t \neq \pi n, n \in Z \]

Таблица функций тригонометрии

Эта таблица представляет из себя уже посчитанные значения sin, cos, tg, ctg углов от 0до 360 градусов. Такая таблица заменит специальный калькулятор если нужны значения, нужно просто найти нужный угол в таблице.

Области применения тригонометрии

Приведём для примера несколько областей в которых применяются функций:

  • В астрономии. Во-первых, как отмечалось выше область астрономии стала первой, где стали применять тригонометрические функции. Именно по этой причине довольно долго этот раздел науки относили к астрономии. Одним из крупных открытий в этой науке при помощи тригонометрических основ стала возможность вычисления наступления темноты, а также составление первых звёздных карт.
  • В физике. Мир, который нас окружает построен на колебательных процессах, это такие явления и процессы, которые повторяются через определённый цикл;
  • В окружающей нас природе. Например, отражение лучей солнца от различных поверхностей;
  • В медицине. К примеру, существует такое понятие как формула сердца;
  • В биологии. Биологические ритмы, модель которых строят при помощи тригонометрии;
  • В музыке, звуковые ритмы, построение моделей.
  • Важную роль тригонометрия играет и для морского флота и авиации;
  • В изучении сейсмической активности.

Как мы видим тригонометрия очень важная наука, которая пронизывает практически все сферы нашей жизни.