СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Напишем

СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Нередко при решении задач в высшей математике требуется провести вычисление определителя матрицы. Для того, чтобы делать это правильно, нужно знать ключевые определения, свойства и различные вычислительные методы. В аналитической геометрии, математическом анализе, линейной алгебре и остальных разделах высшей математики специалисты применяют определитель матрицы.

Что такое матрица?

На первом шаге стоит чётко понимать, что матрица — типичная таблица, внутри которой расположены цифры. Размерность — основополагающая характеристика матрицы, которая говорит о том, сколько столбцов и строк прописано в матричной структуре. При этом определитель можно посчитать для квадратной матрицы.Принято говорить, что та или иная матрица А имеет размер [m x n], когда в ней расположено m строчек и n столбиков. Визуально это выглядит следующим образом: \[A=[m \times n]\].

В некоторых случаях запись такая: \[A=\left(a_{i j}\right), \quad 1 \leq i \leq m ; \quad 1 \leq j \leq n\].

7 свойств определителя

  1. Когда 2 строчки/столбца меняются местами, меняется знак у определителя на противоположный;
  2. В случае умножения одной строки/столбца на число k, весь определитель также умножится на данное число;
  3. Определитель будет неизменным в случае, если взять одну строку и сложить/отнять её любое количество раз из другой;
  4. В целом определитель равен 0, когда 2 строчки определителя равны, или пропорциональны, или одна из строчек заполнена нулями;
  5. Столбцы также имеют все эти свойства;
  6. Определитель будет неизменным, если матрица транспонируется;
  7. Определитель произведения матриц численно равен произведению определителей.

Как можно найти определитель матрицы второго порядка?

В основном студенты и ученики получают от преподавателей задание вычислить определитель матрицы второго, третьего, иногда четвёртого порядка. В первом случае решение типовое и достаточно понятное. Детально это происходит следующим образом:

\[A=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|\]

это квадратная матрица второго порядка, определителем которой называется число

\[|A|=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\]

Посчитать определитель подобной матрицы можно здесь так:

В матрице 2-го порядка n = 2, отсюда следует, что факториал n! = 2! = 2. До момента применения формулы

\[A=\sum_{k=1}^{n !}(-1)^{N_{k}} * a_{1 j 1(k)} * a_{2 j 2(k)} * \ldots * a_{n j n(k)}\]

важно разобраться с данными, которые мы получаем:

  1. k = 2;
  2. перестановки множеств 1,2 и 2,1;
  3. сколько инверсий в перестановке \[N_{k}\]: 0 и 1, так как 2 > 1;
  4. соотвествующие произведения. \[(-1)^{N_{k}} * a_{1 j 1(k)} * a_{2 j 2(k)}: a_{11} * a_{22}\] и \[-a_{12} * a_{21}\]

В итоге получаем:

\[|A|=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=\sum_{k=1}^{n !}(-1)^{N_{k}} * a_{1 j 1(k)} * a_{2 j 2(k)}=a_{11} * a_{22}-a_{12} * a_{21}\]

Проанализировав ранее сказанное, получаем типовой алгоритм для нахождения определителя матрицы 2-го порядка 2х2:

\[\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11} * a_{22}-a_{12} * a_{21}\]

Если рассмотреть данную формулу на наглядном примере, то это будет вот так:

Пример

Вычислить определитель матрицы \[2 \times 2\]:

\[A=\left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\-6 & 1\end{array}\right|\]

Решение:

Итак, у нас получается \[a_{11}=2, a_{12}=3, a_{21}=-6, a_{22}=1\].

Для решения необходимо воспользоваться ранее рассмотренной формулой:

\[A=\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{array}\right|=a_{11} * a_{22}-a_{12} * a_{21}\]

Подставляем числа с примера и находим:

\[A=\left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\-6 & 1\end{array}\right|=2 * 1-3 *(-6)=3-(-18)=21\]

Ответ:

Определитель матрицы второго порядка = 21.

Чтобы упростить понимание процесса, как в данном случае находится определитель матрицы, можно представить такой расчёт: от произведения элементов основной диагонали отнимается произведение элементов другой диагонали.

\[\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}\]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Матрица 3-го порядка: методы нахождения ее определителя

Существует 2 способа, позволяющих быстро и точно решить уравнения. Определитель матрицы при этом находится по правилу треугольника или «параллельных полосок».

Правило треугольника

Визуальная схема действий здесь выглядит достаточно просто:

Правила треугольника для матриц

Произведения элементов в левом определителе, соединенные прямыми, суммируются; затем, перемноженные элементы правого определителя, связанные по прямой, вычитаются. Происходит это таким образом:

\[\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}\]

Правило Саррюса

Согласно правилу Саррюса («параллельных полосок»), матрица рассчитывается с учётом некоторых факторов и ряда операций:

  • слева от определителя выписываются 2 первых столбца;
  • элементы с основной диагонали и остальные, прописанные параллельно, перемножаются, произведения будут со знаком «+»;
  • элементы с побочной диагонали и другие, которые ей параллельны, перемножаются, произведения будут со знаком «-».

Схематично это выглядит так:

Правило Саррюса

Расчёт идёт по формуле:

Правило Саррюса пример
Пример

Вычислить определитель \[\left|\begin{array}{rrr}3 & 3 & -1 \\4 & 1 & 3 \\1 & -2 & -2\end{array}\right|\] с помощью правила Саррюса.

Решение:

\[\begin{array}{|rrr|rr}3 & 3 & -1 & 3 & 3 \\4 & 1 & 3 & 4 & 1 \\1 & -2 & -2 & 1 & -2\end{array} =3 \cdot 1 \cdot(-2)+3 \cdot 3 \cdot 1+\\+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54\]

Ответ:\[\left|\begin{array}{rrr}3 & 3 & -1 \\4 & 1 & 3 \\1 & -2 & -2\end{array}\right|=54\]

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Определитель матрицы четвёртого порядка вычисляется двумя способами: разложение по элементам строки или столбца. Это — способ рассчитать определитель n как нахождение определителя порядка n-1, достаточно представить определитель как итог сложения произведений элементов строки/столбца на их алгебраические дополнения.

Пример

\[|A|=a_{11} A_{11}+a_{12} A_{12}+a_{13} A_{13}\](разложение по элементам 1-ой строки)

\[|A|=a_{12} A_{12}+a_{22} A_{22}+a_{32} A_{32}\](разложение по элементам 2-го столбца)

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Хочу заработать