СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Напишем

СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Основное логарифмическое тождество: определение

Основное определение логарифма и логарифмического тождества всегда тесно взаимосвязаны между собой. Потому что определение логарифма в виде математической записи, и будет являться логарифмическим тождеством. Следовательно, основное логарифмическое тождество является следствием определения самого логарифма.

Определение

Логарифм— это показатель определенной степени, при возведении в которую заданное числовое значение a преобразуется в число b. Заданные значения являются простыми и действительными числами.

Логарифмическое уравнение вида \[a^{n}=b\] не будет иметь решения при условии, что значение числа a>0 и \[a \neq 1\]. Также решение невозможно, если число b отрицательное значение.

При положительном значении b, заданное уравнение будет иметь только один единственный корень. Данный корень имеет название логарифм числа b по основанию значения a. Его можно записать следующим образом: \[a \log ^{b}=b\].

Также данную запись можно назвать, как основное логарифмическое тождество при следующих условиях: a, b>0 и \[a \neq 1\].

Приведем несколько простых примеров.

\[17^{\log _{17^{6}}}=6\\e^{\ln 13}=13\\10^{\lg 23}=23\]

Основное логарифмическое тождество: принцип вычисления

Логарифмическое тождество, очень тесно связано с понятием логарифм, и зачастую их понимают под одним общим определением. Это связано с тем, что тождество практически всегда в работе применяется вместе с логарифмом. Также логарифмическое тождество обосновывает несколько основных свойств логарифмов.  

\[\begin{gathered} 7^{5}=16807 \text { следовательно, } \log _{7} 16807=5 \\ 3^{-5}=\frac{1}{243} \text { следовательно, } \log _{3} \frac{1}{243}=-5 \\ 11^{0}=1 \text { следовательно, } \log _{11} 1=0 \end{gathered}\]

Правило применения основного логарифмического тождества

При условии, что два логарифма с одинаковыми основаниями будут являться равными, можно сделать вывод, что равными будут и логарифмические выражения. Например:

Если \[\log_{a} b=\log_{a} c\].

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Свойство основного логарифмического тождества

Существует несколько основных особенностей при выполнении расчетов с логарифмами и логарифмическими тождествами.

Можно выделить три основных правила:

  1. Число а не равняется единичному значению \[a \neq 1\]. При возведении числа в степень, которая равна единичному значению, всегда получаем число один. Равенство вида \[x=\log _{a} b\] может существовать только при значении b=1. При возведении логарифмов значение один получим любое действительное число.
  2. Значение a>0. Логарифм для a=0 согласно определению может существовать лишь при b=0. Так как при возведении в любую степень нулевого значения получается ноль, то \[\log _{0} 0\] может быть любое действительное число. Чтобы избежать неоднозначности, чаще всего принимают \[a \neq 0\]. При значении а рациональных и иррациональных значений логарифма, потому что степень с рациональным и иррациональным значением может определяться только для оснований с положительным значением. Чтобы избежать данной ситуации, следует принимать  a>0 .
  3. Если значение b>0.  
    Основное логарифмическое тождество довольно часто используется для упрощения всех логарифмических выражений.

Примеры решения логарифмических тождеств

При выполнении решения всех нижеприведенных примеров необходимо применять свойства логарифмов, правило возведения в степень, принцип умножения и деления простых действительных чисел.

Примеры

Пример №1

Необходимо вычислить значение логарифма \[81^{\log 7}\].

Для возможности использования основного логарифмического тождества нужно, чтобы основание логарифма и его степени имели одинаковые значения.

Для этого нужно записать основание степени в следующем виде: \[81=9^{2}\].

Затем можно записать следующую запись: \[81^{\log 7}=\left(9^{2}\right)^{\log 7}\]

Используя основное свойство степени, можно преобразовать данную запись в следующий вид:

\[81^{\log 7}=\left(9^{2}\right)^{\log 7}=9^{\log 7} \times 9^{\log 7}\]

Для каждого множителя нужно применить основное логарифмическое тождество: \[7 \times 7=49\].

Стоит помнить, что для применения основного логарифмического тождества можно прибегать к замене основания логарифма на выражение, которое имеет обратный знак логарифма.


Пример №2

Необходимо выполнить решение, для следующего логарифма, используя его основные свойства и тождества.

\[10^{-8 \lg 3}\]

Выполним решение, преобразовывая выражение, используя свойство перемножения значения степеней.

\[10^{-8 \lg 3}=\left(10^{\lg 3}\right)^{-3}\\10^{-8 \lg 3}=\left(10^{\lg 3}\right)^{-3}=3^{-8}=\frac{1}{6561}\]

Ответ: \[3^{-8}=\frac{1}{6561}\].


Пример №3

Нужно вычислить значение логарифма: \[7 \frac{3}{\log 11^{7}}\].

Для решения данного примера нужно использовать свойство логарифма при возведении его в степень.

\[7 \frac{3}{\log 11^{7}}=7 \frac{1}{\left(\log 11^{7}\right)^{3}}=7 \log { }_{7} 11^{3}=11^{3}=1331\]

Ответ: \[11^{3}=1331\].

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Хочу заработать