Основное свойство рациональной дроби

Главное определение свойства дробей: при умножении или делении числителя, или знаменателя дроби получается дробное значение равное ей по значению. Иными словами, значение дроби остается неизменным.

Определение

Преобразование дробного значения к новому знаменателю – это вычисление заданной дроби, которая равна дроби, но с наиболее большим значением в числителе и знаменателем.

Для того чтобы привести любую дробь к новому значению знаменателя, необходимо числитель и знаменатель перемножить на простое действительное число.

Выполнять преобразования обыкновенных дробей без приведения их общему наименьшему знаменателю были бы невозможны.  

Определение

Сокращение дроби – перечень основных действий, проводимых с дробями, которые приводят к преобразованию дробных значений, и приведению к наименьшему знаменателю.

При сокращении дроби необходимо числитель и знаменатель разделить на общее простое натуральное число. Иначе данное значение еще называют общим знаменателем.

Не все дроби можно сократить, так как значения в числителе и знаменателе могут быть несократимыми.

Это означает, что значение дроби не изменится.


Пример №1: Необходимо дробь \[\frac{1}{2}\] перемножить на одно и тоже число, которое равно 2.

Для этого составим и запишем следующее выражение: \[\frac{1}{2}=\frac{1 \times 2}{2 \times 2}=\frac{2}{4}\].

В ходе вычисления получаем дробь равную \[\frac{2}{4}\]. Согласно основному свойству дроби \[\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\].


Пример №2:

Числитель и знаменатель дробного значения, которое равно \[\frac{4}{8}\] разделим на одинаковое значение равное 2.

Составим и решим выражение следующего вида: \[\frac{4}{8}=\frac{4 \times 2}{8 \times 2}=\frac{2}{4}\]. Проведя необходимые вычисления получаем ответ \[\frac{2}{4}\].  Снова применяя основное свойство дроби получаем, что \[\frac{2}{4}=\frac{4}{8}\].

Определение

Дополнительный множитель — численное значение, на которое можно умножить числитель и знаменатель дроби и получить число равное дроби.

Свойство сокращения дроби

Любое дробное выражение можно сокращать, тем самым преобразовывая его в более простое значение. Процесс сокращения дробного значения опирается на правило основного свойства дроби.

Определение

Сокращение дробного значения — это процесс деления числителя и знаменателя на значение, которое является общим для двух данных.

 

Пример №1:

Нужно заданное числовое значение равное  сократить.

Для это необходимо выполнить следующие действия:

  • все числовые значения данной дроби умножить на максимальное значение (общий числовой делитель) для значений 2 и 4.
  • определяется наименьший общий делитель, для значений 2 и 4.
  • числитель и знаменатель нужно разделить на НОД, равный 2.
\[\frac{2}{4}=\frac{2 \div 2}{4 \div 2}=\frac{1}{2}\]

После выполнения всех необходимых вычислений и преобразований, получаем сокращенную дробь \[\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\].

При этом исходное значение не изменилось, так как сокращение дроби сопровождалось делением значения числителя и знаменателя простое действительное число.


Пример №2:

В данном примере подробно рассмотрим сокращение дроби \[\frac{20}{40}\]. Чтобы преобразовать дробь в более удобный вид, для последующих вычислений, определим наименьший общий делитель (НОД). Так как числитель равен 20, а знаменатель — 40, общим делителем будет число 20.

Запишем выражение: \[\frac{20}{40}=\frac{20 \div 20}{40 \div 20}=\frac{1}{2}\].

Из решения видно, что довольна не удобная дробь \[\frac{20}{40}\] благодаря сокращению, преобразовалась в упрощенный вид.


Пример №3:

В данном примере нужно сократить заданную дробь \[\frac{32}{36}\], которая имеет значения в числителе и в знаменателе, неудобные для последующих вычислений в задачах разного типа.

Как в предыдущих примерах нужно выполнить идентичные действия согласно основному свойству дроби. Для заданной дроби определим общий делитель. В данном случае это будет значение равное 4. Числитель и знаменатель нужно разделить на наименьший делитель \[\frac{32}{36}=\frac{32 \div 4}{36 \div 4}=\frac{8}{9}\].

Однако существуют случаи, когда сократить дроби невозможно. Так как в числителе может быть задано простое число, которое делится только на единичное значение или на само себя. Следовательно, они сокращаются.

В алгебре такие значения называются несократимыми.

К несократимым дробям относятся значения вида: \[\frac{1}{2} ; \frac{3}{4} ; \frac{3}{5} \frac{5}{7} ; \frac{7}{13}\].

Сокращать дроби можно и иным способом. Он заключается в том, чтобы пропускать и не разъяснять подробно на какое значение делится числитель и знаменатель.

Если рассмотреть значение дроби \[\frac{32}{36}\], то можно сделать вывод, что при упрощении дроби, ее разделили на число 4. А именно: числитель и знаменатель привели к общему делителю. \[\frac{32}{36}=\frac{32 \div 4}{36 \div 4}=\frac{8}{9}\].

Более сокращенная версия будет выглядеть так, что часть выражения: \[\frac{32 \div 4}{36 \div 4}\] опускается. И окончательный вариант при сокращении будет иметь следующий вид: \[\frac{32}{36}=\frac{8}{9}\].

Основная суть данного способа — это делитель сохранять в памяти и не переписывать его. В вышеприведенном примере значение 4 не записывалось, а в конечном итоге был записан только окончательный ответ.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Сокращение дроби упрощенным способом

Важно выполнить следующие действия:

  1. Числитель нужно разделить на общий делитель.
  2. Полученное значение записывается около числителя, при этом значение числителя необходимо перечеркнуть.
  3.  Аналогичным образом нужно поступить и со знаменателем.
  4. Следующим действием, нужно все вычисленные значения собрать и получить новое значение дроби.

Выполнив все пункты алгоритма, можно сделать вывод, что произошло преобразование одной дроби в другую. Значения составленной дроби равно значению заданной, согласно основным правилам при решении дробных значений.

Существует способ сокращения дробей, который предварительно нужно разложить на простые числа значение числителя и знаменателя.


Пример №4:

Нужно сократить заданную дробь: \[\frac{9}{27}\]. Для этого изначально разложим на простые множители значение которое задано в числителе и знаменателе. Составим и запишем следующее выражение: .\[\frac{9}{27}=\frac{3 \times 3}{3 \times 3 \times 3}\].

Затем нужно применить второй упрощенный способ сокращения дроби. В числителе и в знаменателе определяем по одному простому числу и затем делим все множители на наименьший общий делитель для этих значений.

Затем нужно сократить значение равное трем в числителе и знаменателе. Для этого нужно значение три разделить на НОД. Выполнив все вычисления получим и запишем выражение: \[\frac{9}{27}=\frac{3}{3 \times 3}\]

Следующим действие снова сократим числитель и знаменатель на три и получим выражение: \[\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\].

Так как больше сокращать не имеет смысла, получаем окончательное выражение равное \[\frac{1}{3}\].

Значение три в знаменателе сократить нельзя, так как знаменатель необходимо сокращать совместно с числителем, а значение числителя равно единице.

Окончательный ответ будет выглядеть так: \[\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\].

Когда необходимо применять основные правила и свойства дробей

  1. Основное свойство нужно применять в тех случаях, когда дробное число необходимо привести к наименьшему значению для знаменателя и числителя.
  2. Данное свойство играет огромную роль при сокращении дробей и приведения из более простому и удобному виду.
  3. Основное свойство дробей применяется только в случаях когда дроби являются сократимыми в числителе и в знаменателе нет простых чисел следующего типа: \[\frac{1}{3}\].

Калькулятор сокращения дробей