Главная
Справочник
Математика
Тригонометрия
Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом

Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом

4 713

23 января 2023 г.

Время чтения: 5 минут

Содержание:

Сферы применения правил обратных тригонометрических функций
Обратные функции тригонометрии
Формулы с обратными функциями тригонометрии
Группировка основных понятий
Тангенс, арктангенс, котангенс, арккотангенс, синус, арксинус, косинус, арккосинус и формулы
Соотношение между собой обратных тригонометрических функций противоположных чисел
Формулы суммы: arcsin + arccos, arctg +arcctg
Формулы связи между обратными и прямыми тригонометрическими функциями
Доказательство формул синуса от арккосинуса, арккотангенса и арктангенса
Доказательство формул для тангенса, обратных функций(arcsin, arccos, arcctg)
Выражение арксинуса с помощью арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Другие формулы, в которых используются обратные функции тригонометрии

Сферы применения правил обратных тригонометрических функций

Определение

Тригонометрия — раздел математики, объясняющий зависимость между сторонами и углами треугольника, правила используют для расчета углов.

Изучая постулаты тригонометрических функций, ученики и студенты часто задаются вопросом, где эти знания могут пригодиться. Сфер применения достаточно много. Астрономы используют понятия для расчёта положения небесных объектов, тригонометрия помогает выполнять чертежи и создавать архитектурные шедевры, выстраивать модель биологических ритмов. В морской и воздушной навигации, акустике и оптике, в анализе финансового рынка, статистике, медицине, химии, во многих областях используются тригонометрические вычисления. Поэтому так важно научиться применять и выводить формулы самостоятельно.

Обратные функции тригонометрии

Обратными называются функции, которые ещё называют арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Название данный вид тригонометрической зависимости, получил от соответствующей прямой функции с приставкой арк — дуга. Взаимосвязь просматривается между длиной дуги единичной окружности и соответствующим определённым отрезком.

Правила обратной функции справедливы в пределах интервалов, например,

формула арксинуса возможна при:

\[\arcsin (\sin \mathrm{x})=\mathrm{x} \text { при }-\frac{\pi}{2} \leq \mathrm{x} \leq \frac{\pi}{2}\]

\[\arccos (\cos \mathrm{x})=\mathrm{x} \text { при } 0 \leq \mathrm{x} \leq \pi\]

и так далее.

Формулы с обратными функциями тригонометрии

Уже были рассмотрены обратные тригонометрические функции. Они, как и другие функции имеют между собой связи и зависимости, которые можно выразить в виде формул и использовать для решения задач.

В данной работе мы рассмотрим основные формулы, в которых применяются функции тригонометрии. Разберём их виды, деление на группы, доказательства и способы решения задач с их помощью.

Группировка основных понятий

Сначала проведём группировку формул, для того чтобы сделать более понятной логику объяснений. И объединим все правила и доказательства в одну статью.

Синус от арксинуса для \[\alpha \in(-1 ; 1) \sin (\arcsin \alpha)=\alpha, \cos (\arccos \alpha)=\alpha\]

Тангенса от арктангенса для \[\alpha \in(-\infty, \infty) \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} \alpha)=\alpha, \operatorname{ctg}(\operatorname{arctg} \alpha)=\alpha\].

Указанное в данных выражениях легко выводится из самих определений обратных функций тригонометрии. При необходимости найти arcsin tg, можно использовать приведённые формулы.

Тангенс, арктангенс, котангенс, арккотангенс, синус, арксинус, косинус, арккосинус и формулы

\[\text{Для }-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} \arcsin (\sin \alpha)=\alpha\],

\[\text{Для } \leq \alpha \leq \pi \arccos (\cos \alpha)=\alpha\],

\[\text{Для }-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2} \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} \alpha)=\alpha\],

\[\text{Для } 0<\alpha<\pi \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} \alpha)=\alpha\].

В данном примере собраны тригонометрические выражения, достаточно очевидные, которые можно вывести из определений функций тригонометрии. Необходимо обратить внимание, на то, что высказывания будут верны, если «а» (угол, или числовое значение) будет входить в определённый предел. Если условие не выполняется, расчёт будет не верен и формулу использовать нельзя.

Соотношение между собой обратных тригонометрических функций противоположных чисел

Рассмотрим важное определение:

Обратные функции тригонометрии можно выразить через аркфункции противоположного положительного числа.

\[\text{Для }\alpha \in \operatorname{open}-1,1] \text { arccis }(-\alpha)= -\operatorname{arc} \sin \alpha, \quad \operatorname{arc} \cos (-\alpha)=\pi -a r c \cos \alpha\]

\[\text { Для } \alpha \in(-\infty, \infty) \operatorname{arctg}(-\alpha)= -\operatorname{arctg} \alpha, \operatorname{arcctg}(-\alpha)=\pi-\operatorname{arcctg} \alpha\]

Это значит, если расчёты имеют функции отрицательного числа, от них можно избавиться. Для этого необходимо преобразовать их в аркфункции положительных чисел. Такие вычисления проводить проще.

Формулы суммы: arcsin + arccos, arctg +arcctg

Правила суммы выглядят так:

Для \[\alpha \in[-1,1] \arcsin \alpha+\arccos \alpha=\frac{\pi}{2}\],

Для \[\alpha \in[-\infty, \infty] \operatorname{arctg} \alpha+\operatorname{arctg} \alpha=\frac{\pi}{2}\].

Отсюда видно, что arcsin определённого числа можно выразить через его arccos , и наоборот. Тоже правило касается и arctg и arcctg, которые выражаются аналогично.

Формулы связи между обратными и прямыми тригонометрическими функциями

Чтобы иметь возможность решить множество задач, требуется знание связей между прямыми тригонометрическими функциями, и их аркфункциями. Рассмотрим, как необходимо поступить, если нужно вычислить тангенс арксинуса. Ниже представлен список основных формул, которые помогут в решении таких задач.

\[-1 \leq \alpha \leq 1\], \[\sin (\arcsin \alpha)=\alpha\]	\[-1 \leq \alpha \leq 1\], \[\sin (\arccos \alpha) =\sqrt{1-\alpha^{2}}\]	\[-\infty \leq \alpha \leq+\infty\], \[\sin (\operatorname{arctg} \alpha)=\frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}\]	\[-\infty \leq \alpha \leq+\infty\], \[\sin (\operatorname{arcctg} \alpha)=\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}\]
\[-1 \leq \alpha \leq 1\], \[\cos (\arcsin \alpha)=\sqrt{1-\alpha^{2}}\]	\[-1 \leq \alpha \leq 1\], \[\cos (\arccos \alpha)=\alpha\]	\[-\infty \leq \alpha \leq+\infty\], \[\cos (\operatorname{arctg} \alpha)=\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}\]	\[-\infty \leq \alpha \leq+\infty\], \[\cos (\operatorname{arcctg} \alpha)=\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}\]
\[-1<\alpha<1\], \[\operatorname{tg}(\arcsin \alpha)=\frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}\]	\[\alpha \in(-1,0) \cup(0,1)\], \[\operatorname{tg}(\arccos \alpha)=\frac{\sqrt{1-a^{2}}}{\alpha}\]	\[-\infty \leq \alpha \leq+\infty\], \[\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} \alpha)=\alpha\]	\[\alpha \neq 0\], \[\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} \alpha)=\frac{1}{\alpha}\]
\[\alpha \in(-1,0) \cup(0,1)\], \[\operatorname{ctg}(\arcsin \alpha)=\frac{\sqrt{1-\alpha^{2}}}{\alpha}\]	\[-1<\alpha<1\], \[\operatorname{ctg}(\arccos \alpha)=\frac{\alpha}{\sqrt{1-a^{2}}}\]	\[\alpha \neq 0\], \[\operatorname{ctg}(\operatorname{arctg} \alpha)=\frac{1}{\alpha}\]	\[-\infty \leq \alpha \leq+\infty\], \[\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg} \alpha)=\alpha\]

Таблица 1.

Примеры 1 — 2

Нужно найти косинус арктангенса из 5.

Решение. Для этого необходимо воспользоваться формулой следующего вида: \[\cos (\operatorname{arcctg} \alpha)=\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}\]

Подставим необходимое значение: \[\cos (\operatorname{arctg} \sqrt{5})=\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{5^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{6}}\]

Определить синус арккосинуса \[\frac{1}{2}\]
Решение. Реализовать решение нам поможет формула: \[\sin (\arccos \alpha)=\sqrt{1-\alpha^{2}}\]

Ставим значение и получаем: \[\sin \left(\arccos \frac{1}{2}\right)=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Заметим, что непосредственное вычисление приведёт к тому же ответу: \[\sin \left(\arccos \frac{1}{2}\right)=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Для правильного вычисления значений прямых и обратных тригонометрических функций, стоит вспомнить начальные материалы.

Доказательство формул синуса от арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Чтобы вывести формулы и разобрать их более наглядно, необходимо применить основные тригонометрические тождества и правила обратных тригонометрических функций, которые были выведены ранее.

Доказательство формул 1

Используя тождества получим:

\[\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1\]

\[1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}\]

Вспомним тот факт, что tg α *ctg α= 1, следовательно

\[\sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}, 0 \leq \alpha \leq \pi\]

\[\sin \alpha=\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha}},-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}\]

\[\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+c t g^{2} \alpha}}, 0<\alpha<\pi\]

Результатом станет вывод синуса через подходящие аркфункции в заданном условии.

В математическое выражение вместо α, ставим arccos α, получаем в итоге формулу синуса арккосинуса.

Во втором случае вместо α подставляем arctg α, соответственно получаем формулу синуса арктангенса.

В третьем варианте проводим аналогичную операцию и подставляем arcctg α для выражения формулы синуса арккотангенса.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Доказательство формул для тангенса, обратных функций(arcsin, arccos, arcctg)

В данном разделе рассмотрим доказательство закона тангенса обратных функций тригонометрии.

Доказательство формул 2

Исходя из: \[\frac{\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin \alpha^{2}}},-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}\]Получим \[\operatorname{tg}(\arcsin \alpha)=\frac{\sin (\arcsin \alpha)}{\sqrt{1-\sin ^{2}(\arcsin \alpha)}}=\frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}\]При условии \[-1<\alpha<1\]
Из выражения \[\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}}{\cos \alpha}, \alpha \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]\]
Получаем \[\operatorname{tg}(\arccos \alpha)=\frac{\sqrt{1-\cos ^{2}(\arccos \alpha)}}{\cos (\arccos \alpha)}=\frac{\sqrt{1-\alpha^{2}}}{\alpha}\] при условии \[\alpha \in(-1,0) \cup(0,1)\].
Исходя из \[\operatorname{tg} \alpha=\frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}, \alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\] получаем \[\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} \alpha)=\frac{1}{\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg} \alpha)}=\frac{1}{\alpha}\] при условии, что \[\alpha \neq 0\].

Далее нам понадобятся понятия котангенсов арксинуса, арккосинуса, арктангенса. Напомним такое тригонометрическое равенство:

\[\operatorname{ctg} \alpha=\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}\]

Применяя данное выражение можно вывести необходимые формулы, вставляя выражения тангенса обратных функций тригонометрии. Практически необходимо поменять местами числитель и знаменатель.

Выражение арксинуса с помощью арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Прямые и обратные функции в тригонометрии связаны между собой. Полученные в результате выведения формулы помогут найти связь и между обратными функциями тригонометрии, выразив одни аркфункции через другие. Рассмотрим примеры.

В первом случае меняем арксинус на арккосинус, а арктангенс на арккотангенс, получим следующие формулы арксинуса и арккосинуса:

\[\begin{aligned} &\arcsin a=\left\{\begin{array}{l} \arccos \sqrt{1-a^{2}}, 0 \leq a \leq 1 \\ -\arccos \sqrt{1-a^{2}},-1 \leq a<0 \end{array}\right. \\ &\arcsin a=\operatorname{arctg} \frac{a}{\sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 \\ &\arcsin a=\left\{\begin{array}{l} \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a \leq 1 \\ \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{1-a^{2}}}{a}-\pi,-1 \leq a<0 \end{array}\right. \end{aligned}\]

Для арккосинуса также есть свои формулы:

\[\begin{aligned} &\arccos a=\left\{\begin{array}{l} \arcsin \sqrt{1-a^{2}}, 0 \leq a \leq 1 \\ \pi-\arcsin \sqrt{1-a^{2}},-1 \leq a<0 \end{array}\right. \\ &\arccos a=\left\{\begin{array}{l} \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a \leq 1 \\ \pi+\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{1-a^{2}}}{a},-1 \leq a<0 \end{array}\right. \\ &\arccos a=\operatorname{arcctg} \frac{a}{\sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 \end{aligned}\]

Выражения для арктангенса:

\[\begin{aligned} &\operatorname{arctg} a=\arcsin \frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}},-\infty<a<+\infty\\ &\operatorname{arctg} a=\left\{\begin{array}{l} \arccos \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}, a \geq 0 \\ -\arccos \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}, a<0 \end{array}\right.\\ &\operatorname{arctg} a=\operatorname{arcctg} \frac{1}{a}, a \neq 0 \end{aligned}\]

Последний блок формул покажет преобразование арккотангенса через другие обратные функции тригонометрии:

\[\begin{aligned} &\operatorname{arcctg} a=\left\{\begin{array}{l} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}, a \geq 0 \\ \pi-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}, a<0 \end{array}\right.\\ &\operatorname{arctg} a=\arccos \frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}},-\infty<a<+\infty\\ &\operatorname{arcctg} a=\operatorname{arctg} \frac{1}{a}, a \neq 0 \end{aligned}\]

Рассмотренные формулы арксинуса, арккосинуса, арктангенса помогут в решении различных задач. Разберём доказательство с использованием основных определений обратных функций и ранее рассмотренных правил.

Возьмём arcsin \[\alpha=\operatorname{arctg} \frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}},-1<\alpha<1\] для выведения доказательства.

Мы имеем выражение \[\operatorname{arctg} \frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}\] — число, которое имеет значение от минус половины \[pi\] до плюс половины \[pi\]. Используя выражение синуса арктангенса, получаем следующее:

\[\sin \left(\operatorname{arctg} \frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}\right)=\frac{\frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}}{\sqrt{1+\left(\frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}\right)^{2}}}=\frac{\frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}}{\sqrt{1+\frac{\alpha^{2}}{1-\alpha^{2}}}}=\frac{\frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}}{\frac{1}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}}=\alpha\]

Получается, что \[\operatorname{arctg} \frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}\] с условием \[-1<\alpha<1\] — арксинус числа \[\alpha\].

Вывод: \[\arcsin \alpha=\operatorname{arctg} \frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}},-1<\alpha<1\].

Другие подобные формулы доказываются по аналогичной схеме.

Рассмотрим пример применения полученных истин.

Пример 3

Необходимо вычислить синус арккотангенса — \[\sqrt{3}\]
Решение. Для того чтобы провести решение задачи, необходимо использовать формулу связи арккотангенса и арксинуса: \[\arcsin \alpha=\operatorname{arctg} \frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}\]

Подставим в неё \[\alpha=-\sqrt{3}\] и получим \[-\frac{1}{2}\].

Используя непосредственное вычисление ответ был бы такой же: \[\sin (\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}))=\sin \frac{5 \pi}{6}=\frac{1}{2}\]

Можно использовать и следующую формулу:

\[\sin (\operatorname{arcctg} \alpha)=\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}\]

\[\sin (\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}))=\frac{1}{\sqrt{1+(-\sqrt{3})^{2}}}=\frac{1}{2}\]

Другие формулы, в которых используются обратные функции тригонометрии

Разобраны основные функции, которые чаще всего используются для решения задач. Но представлены не все формулы с обратными тригонометрическими функциями, есть некоторые специфичные, употребляемые редко, но они тоже полезны. Учить их нет смысла, лучше вывести при необходимости.

Пример 4

Разберём для примера одну такую формулу. Выглядит она так:

\[\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}\]

Если представленный угол имеет значение больше нуля, но меньше Пи, то получаем:

\[\sin \frac{\arccos \alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos (\arccos \alpha)}{2}}\]

\[\Leftrightarrow \sin \frac{\arccos \alpha}{2}=\frac{\sqrt{1-\alpha}}{2}\]

Здесь мы выводим следующую готовую формулировку, арксинус которой выведен через арккосинус:

\[\frac{\arccos \alpha}{2}=\arcsin \sqrt{\frac{1-\alpha}{2}}\]

В тексте рассмотрены лишь некоторые, самые популярные виды связей между прямыми и обратными функциями тригонометрии. Главное не выучить наизусть данные постулаты, а научиться их применять и выводить, исходя из уже известных определений.

Удобно использовать инженерный вид калькулятора, на котором есть, необходимые для вычислений тригонометрические формулы и функции.