СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Напишем

СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

В данном материале, мы изучим основное определение тригонометрии, какие свойства ей характерны, применение в математике, приведем примеры решения уравнений.

Определение

Тригонометрия — это раздел алгебры, в котором изучаются тригонометрические функции и их применение.

В математике применяются основные определения, связанные с тригонометрией, а именно:

  • синус — соотношение стороны противолежащего катета к стороне гипотенузы, (sin);
  • косинус — это прилежащая сторона катет к гипотенузе, обозначается как (cos);
  • тангенс — отношение стороны противолежащего катета к стороне прилежащего, (tg);
  • котангенс — отношение прилежащей стороны катета к противолежащей (это значение, обратное значению тангенса), обозначается как (ctg).

В науке чаще всего применяются два основных вида функций: прямые и косвенные, реже обратные функции.

Стоит выделить главные тригонометрические тождества, существующие в математике:

\[ \sin ^{2 \alpha}+\cos ^{2} \alpha=1; \]
\[ \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}; \]
\[ \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}; \]
\[ \tan \alpha \cdot \cot \alpha=1; \]
\[\tan ^{2} \alpha+1=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha};\]
\[\cot ^{2} \alpha+1=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}.\]

Применим основные формулы тригонометрии, решая задачи.

Пример:

Известно: cosα=0.8;

Необходимо определить: косинус, тангенс, котангенс, соответствующего угла a.

Решение:

Для определения значения косинуса в квадрате, возводим число 0,8 в квадрат и вычисляем синус. Полученное значение подставляем в формулу и можем определить тангенс угла 0,8. Таким же методом, вычисляем котангенс.

Пример решения задачи 1

Решение довольно простое и особых сложней не вызывает.

Основные тригонометрические тождества формул приведения

Формулы помогают, преобразовать основные тождества и перейти к вычислению углов в пределах 90 градусов. Это очень удобно, не только в алгебре, но и во всей математике.

Существует два основных способа, использования формул приведения:

  • Если угол можно записать как (π/2 ±α) или (3*π/2 ±α), то название функции меняется с  косинуса на определение синус, тангенс, в свою очередь на котангенс, либо наоборот. Если же угол можно представить в виде (π±α) или (2*π±α), то название функции не меняется.
  • Обозначение приведенного уравнения не изменяется. Если изначально функция была со знаком «+», тогда и приведенная функция будет со знаком «+», с отрицательным знаком тоже самое.

Формулы приведения, примеры:

Формулы приведения пример 1
Формулы приведения пример 2

При расчетах очень часто возникают трудности при вычислении больших значений степеней. Для этого в тригонометрии, существует такое понятие как понижение значения степени.

Тождества понижения степени, помогают справиться с этой непростой задачей. Они выражают степень sin и cos через sin и cos первой степени, но определенного кратного угла. Поэтому, тригонометрические уравнения  снижают степень первоначальных функций с определенной до первой степени, но при этом повышают кратность угла от до n.

Тригонометрические формулы для косинуса и синуса понижения степени, записываются в следующем виде:

Тригонометрические формулы для косинуса и синуса

После преобразования основных формул понижения получаем их общий вид. Рассмотрим на примерах ниже.

Для четных значений уравнения:

Пример решения уравнения 1

Для нечетных значений уравнения:

Пример решения уравнения 2

Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений

Тригонометрические тождества можно выражать различным способом, для облегчения решения уравнения.

Рассмотрим характеристики тригонометрических функций для косинуса, синуса, тангенса и котангенса.

а) Сложение и вычитание тригонометрических функций.

Сложение и вычитание тригонометрических функций можно представить как — произведение. Преобразовать на множители косинус или синус, и тем самым упростить процесс вычисления.

Сложение и вычитание тригонометрических функций

б) Произведение тригонометрических функций.

Произведение функций можно вычислить путем сложения и вычитания тождеств.

В свою очередь произведение тригонометрических функций, позволяет вычислить сумму. Эти два действия являются противоположными по отношению к друг другу.

Произведение тригонометрических функций

в) Тригонометрические формулы сложения.

При их применении можно сложение и вычитание углов выразить через тригонометрические функции заданных значений угла.

Тригонометрические формулы сложения

Преобразовав формулы сложения, мы получим тригонометрические уравнения угла.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Формулы кратности значения угла

Формулы кратности значения угла

Формулы угла, определяющие половину значения (половинного угла):

Формулы угла определяющие половину значения

Универсальное использование тригонометрических функций

Все изученные математические уравнения в тригонометрии — синус, косинус, тангенс и котангенс — имеют свойство выражаться через тангенс (tg) половинного угла.

Универсальное использование тригонометрических функций

Тригонометрические функции имеют характерные особенности. Они способны преобразовывать основные уравнения и тем самым выражать различные функции. Понижать степень, для удобства расчета и другие полезные действия

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Хочу заработать