СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Напишем

СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

В данном материале, мы изучим основное определение тригонометрии, какие свойства ей характерны, применение в математике, приведем примеры решения уравнений.

Определение

Тригонометрия — это раздел алгебры, в котором изучаются тригонометрические функции и их применение.

В математике применяются основные определения, связанные с тригонометрией. А именно:

  • синус — соотношение стороны противолежащего катета к стороне гипотенузы, (sin);
  • косинус — это прилежащая сторона катет к гипотенузе, обозначается как (cos);
  • тангенс — отношение стороны противолежащего катета к стороне прилежащего, (tg);
  • котангенс —отношение прилежащей стороны катета к противолежащей (это значение, обратное значению тангенса), обозначается как (ctg).

В науке чаще всего применяются два основных вида функций: прямые и косвенные, реже обратные функции.

Основные тригонометрические формулы и тождества в математике

Применим основные формулы тригонометрических функций, решая задачи.

Рассмотрим подробно на примере решения:

Известно: \[\cos \alpha=0.8\];

Необходимо определить: косинус, тангенс, котангенс, соответствующего угла a.

Решение:

Для определения значения косинуса в квадрате, возводим число 0,8 в квадрат и вычисляем синус. Полученное значение подставляем в формулу и можем определить тангенс угла 0,8. Таким же методом, вычисляем котангенс.

\[\sin ^{2} a=1-\cos ^{2} a=1-0,64=0,36\]

\[\sin \alpha=\pm 0,6\]

\[\operatorname{tg} \alpha=\pm 0,6 / 0.8=\pm 0.75\]

\[\operatorname{ctg} \alpha=1 / \operatorname{tg} \alpha=1 / \pm 0.75=1.33\]

Решение довольно простое и особых сложней не вызывает.

Формулы помогают, преобразовать основные тождества и перейти к вычислению углов в пределах 90 градусов. Это очень удобно, не только в алгебре, но и во всей математике.

Существует два основных способа, использования формул приведения:

  • Если угол можно записать как \[(\pi / 2 \pm \alpha)\] или \[(3 * \pi / 2 \pm \alpha)\], то название функции меняется с  косинуса на определение синус, тангенс, в свою очередь на котангенс, либо наоборот. Если же угол можно представить в виде \[(\pi \pm \alpha)\] или \[(2 * \pi \pm \alpha)\], то название функции не меняется.
  • Обозначение приведенного уравнения не изменяется. Если изначально функция была со знаком «+», тогда и приведенная функция будет со знаком «+», с отрицательным знаком тоже самое.

Формулы приведения в тригонометрии

Перейдем к рассмотрению к простой форме разности и суммы функций.

Рассматриваемое уравнений можно представить, как — произведение. Преобразовать на множители косинус или синус, и тем самым упростить процесс вычисления.

Составим и запишем основные формулы для функции синус.

\[\sin a+\sin \beta=2 \sin \frac{a+\beta}{2} \cos \frac{a-\beta}{2} ;\]
\[\sin a-\sin \beta=2 \sin \frac{a-\beta}{2} \cos \frac{a+\beta}{2} .\]

Следующим основным шагом, будет составить уравнения для косинуса. Для этого применим все изученные свойства данной функции тригонометрии и вычислим единственный правильный ответ.

\[\cos a+\cos \beta=2 \cos \frac{a+\beta}{2} \cos \frac{a-\beta}{2}\]
\[\cos a-\cos \beta=-2 \sin \frac{a+\beta}{2} \cos \frac{a-\beta}{2}\]
\[\cos a-\cos \beta=2 \sin \frac{a+\beta}{2} \cdot \frac{\beta-a}{2} .\]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Выведем основные формулы для решения функций двух угловых значений. Для этого нужно применить составленные выше формулы сложения и вычитания. Их рассмотрение было в предыдущих материалах, посвященных тригонометрии. Поэтому лишний раз не стоит их заново переписывать. Так как рекомендовалась их обязательно заучить наизусть. Для более быстрого и правильного решения уравнений. И для последующего использования при изучении других смежных тем, где эти функции применяются.

Формулы можно представить также в виде полусуммы и полуразности угловых значений и получить следующие формулы.

Запишем уравнение для каждого угла раздельно и получим следующие формулы в виде уравнения:

\[\alpha=\frac{a+\beta}{2}+\frac{a-\beta}{2}=\frac{a}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{a}{2}-\frac{\beta}{2}\]
\[\beta=\frac{a+\beta}{2}-\frac{a-\beta}{2}=\frac{a}{2}+\frac{\beta}{2}-\frac{a}{2}+\frac{\beta}{2}\]

Сравним записанные формулы для угловых значений. Проанализировав их становится очевидно, что полученные суммы функций одинаковы по значению.

Выведем основную формулу для решения:

\[\sin a+\sin \beta=\sin \left(\frac{a+\beta}{2}+\frac{a-\beta}{2}\right)+\sin \left(\frac{a+\beta}{2}-\frac{a-\beta}{2}\right) .\]

Далее первую часть выражения преобразуем, для этого применим формулу для сложения функций. Значения, которые находятся после знака равно, преобразуются при помощи формулы синуса для разности.

Подставляя в формулу значения, получаем следующее выражение:

\[\sin \left(\frac{a+\beta}{2}+\frac{a-\beta}{2}\right)=\sin \frac{a+\beta}{2} \cos \frac{a-\beta}{2}+\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} ;\]
\[\sin \left(\frac{a+\beta}{2}-\frac{a-\beta}{2}\right)=\sin \frac{a+\beta}{2} \cos \frac{a-\beta}{2}-\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} ;\]
\[\sin \left(\frac{a+\beta}{2}+\frac{a-\beta}{2}\right)+\sin \left(\frac{a+\beta}{2}-\frac{a-\beta}{2}\right)\]

Далее необходимо раскрыть скобки и полученные значения привести в подобные слагаемые.  Произведя все действия мы в конечном итоге получаем нужную нам формулу.

Запишем формулу следующего вида:

\[\left(\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}+\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}\right)+\left(\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}-\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}\right)=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} .\]

Другие, формулы преобразуются аналогичным способом.

Итоговые формулы сложения и вычитания тригонометрических функций

Формула определения разности для синуса:

Формула для расчета суммы косинуса:

При расчетах очень часто возникают трудности при вычислении больших значений степеней. Для этого в тригонометрии, существует такое понятие как понижение значения степени.

Тождества понижения степени, помогают справится с этой непростой задачей. Они выражают степень sin и cos через sin и cos первой степени, но определенного кратного угла. Поэтому, тригонометрические уравнения  снижают степень первоначальных функций с определенной до первой степени, но при этом повышают кратность угла от \[\alpha \text { до } \alpha n\].

Тригонометрические формулы понижения степени для косинуса и синуса, записываются в следующем виде:

После преобразования основных формул понижения получаем их общий вид. Для четных значений уравнения:

\[\sin ^{2} a=\frac{c_{\frac{n}{2}}^{n}}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}(-1)^{\frac{n}{2}-k} \cdot C_{k}^{n} \cdot \cos ((n-2 k) a)\]
\[\cos ^{n} a=\frac{c_{\frac{n}{2}}^{n}}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \cdot C_{k}^{n} \cdot \cos ((n-2 k) a)\]

Для нечетных значений уравнения:

\[\sin ^{n} a=\frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(-1)^{\frac{n-1}{2}-k} \cdot C_{k}^{n} \cdot \sin ((n-2 k) a)\]
\[\cos ^{n} a=\frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \cdot C_{k}^{n} \cdot \cos ((n-2 k) a)\]

Применение основных тригонометрических формул длярешения уравнений

Тригонометрические тождества можно выражать различным способом, для облегчения решения уравнения.

а) Сложение и вычитание тригонометрических функций.

Сложение и вычитание тригонометрических функций можно представить как — произведение. Преобразовать на множители косинус или синус, и тем самым упростить процесс вычисления.

б) Произведение тригонометрических функций

Произведение функций можно вычислить путем сложения и вычитания тождеств.

В свою очередь произведение тригонометрических функций, позволяет вычислить сумму. Эти два действия являются противоположными по отношению к друг другу.

в) Тригонометрические формулы сложения.

При их применении можно сложение и вычитание углов выразить через тригонометрические функции заданных значений угла.

Преобразовав формулы сложения, мы получим тригонометрические уравнения угла.

Формулы кратности значения угла:

Формулы угла, определяющие половину значения (половинного угла):

Универсальное использование тригонометрических функций.

Все изученные математические уравнения имеют свойство выражаться через тангенс (tg) половинного угла.

\[\sin a=\frac{2 \operatorname{tg} \frac{a}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{a}{2}}\]
\[\cos a=\frac{1-t g \frac{a}{2}}{1+t g^{2} \frac{a}{2}}\]
\[\operatorname{tg} a=\frac{2 \operatorname{tg} \frac{a}{2}}{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{a}{2}}\]
\[\operatorname{ctg} a=\frac{1-\operatorname{tg} \frac{a}{2}}{2 \operatorname{tg} \frac{a}{2}}\]

Тригонометрические функции имеют характерные особенности. Они способны преобразовывать основные уравнения и тем самым выражать различные функции. Понижать степень, для удобства расчета и другие полезные действия.

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Хочу заработать