Определение

Арифметика — это часть математики, которая занимается работой с числами.

Практически все умеют вычислять значения простых арифметических выражений, включающих сложение, вычитание, умножение или деление. Но при вычислении более сложных выражений, где есть два, три или более действия, многие испытывают затруднения в порядке выполнения в математике.

При работе с формулами и примерами, которые содержат цифры, переменные или буквы, необходимо выполнять правильный алгоритм.

Чтобы получить верный результат, необходимо выполнять действия в математике в определенной последовательности, то есть соблюдая правильный порядок.

Алгоритм выполнения действий первой и второй ступени

Во многих справочниках порядок арифметических действий делится на первоочередные и второстепенные. Чтобы понять это, необходимо сформулировать правило более точно.

К первоочередным относят сложение и вычитание, ко второй ступени относят деление и умножение.

Точнее записать это правило можно следующим образом:

  1. сначала выполнить умножение и деление в порядке слева направо;
  2. далее выполняем сложение и вычитание в том же порядке.

Рассмотрим несколько простых примеров на умножение и деление, сложение и вычитание с числовыми или переменными значениями. Также подробно рассмотрим формулы со скобками, содержащие степени, корни и пр.

Основной порядок выполнение действий для простых выражений

Для простых примеров, не имеющих скобок, существует единый порядок выполнения:

  1. вычисления выполняются слева направо;
  2. сначала делаем умножение и деление;
  3. затем выполняем сложение или вычитание.

Рассмотрим простейшие примеры математического порядка в выражениях с простыми вычислениями, которые легко можно сделать в уме, то есть без использования записи.

Пример 1

Поскольку в данном примере нет скобок, отсутствуют умножение и деление, поэтому выполнение действия производим по единому правилу.

Решение:

  1. из 7 вычитаем 3 (7 — 3 = 4);
  2. прибавляем 6 (4 + 6 = 10).

В итоге получается следующее выражение: 7 — 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10

Пример 2

Условие: необходимо вычислить выражение 6 : 2 ⋅ 8 : 3.

Порядок выполнения заключается в применении правил для примеров без скобок. Используется стандартный порядок вычисления, то есть слева направо.

Решение:

  1. делим 6 на 2 (6 : 2 = 3);
  2. умножаем результат на 8 (3 ⋅ 8 = 24);
  3. результат делим на 3 (24 : 3 = 8).

Получаем следующее: 6 : 2 ⋅ 8 : 3 = 3 ⋅ 8 : 3 = 24 : 3 = 8

Ответ: 6 : 2 ⋅ 8 : 3 = 8

Пример 3

Условие: необходимо вычислить, сколько будет 17 − 5 ⋅ 6 : 3 − 2 + 4 : 2.

В данном выражении присутствуют различные виды арифметических действий, включая умножение, деление, деление, вычитание.

Поэтому порядок в математике в данном примере будет следующий:

  1. выполняем деление и умножение в порядке слева направо;
  2. выполняем сложение и вычитание в обычном порядке.

Решение:

  • 5 умножаем на 6 (5 ⋅ 6 = 30);
  • делим 30 на 3 (30 : 3 =10);
  • делим 4 на 2 (4 : 2 = 2);
  • подставляем полученные цифры в исходное выражение (17 — 10 — 2 + 2 = 7).

В итоге расширенное решение данного примера выглядит следующим образом:

17 − 5 ⋅ 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 — 30 : 3 — 2 + 4 : 2 = 17 — 10 — 2 + 2 = 17 — 10 — 2 + 2 = 7 — 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 ⋅ 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 7

Если учеником порядок выполнения еще не усвоен, допускается использовать сверху цифры, полученные в результате промежуточных вычислений.

Правила выполнения действий для примеров с буквенными составляющими

Когда в выражении присутствуют буквы, применяется аналогичный порядок вычисления:

  1. делаем умножение и деление;
  2. выполняем сложение и вычитание.
Пример 4

Условие: необходимо обсчитать выражение 5х + 3х — 1х.

Порядок действий:

  1. выполняем сложение;
  2. делаем вычитание.

Решение:

  • складываем 5х и 3х (5х + 3х = 8х);
  • вычитаем 1х (8х — 1х = 7х).

В целом решение выглядит следующим образом: 5х + 3х — 1 = 8х — 1х = 7х

Ответ: 5х + 3х — 1х = 7х

Варианты записи процесса вычисления выражений

Процесс вычисления можно записывать несколькими способами.

Первый способ:

  • Каждое действие записывается отдельно под своим номером по примеру.
  • После выполнения последнего шага ответ обязательно сохраняется в исходном примере.
Примеры 5 — 6

Условие: необходимо вычислить выражение 50 — 23 + 2 ⋅ 4 — 30 : 6.

Решение:

2 ⋅ 4 = 8

30 : 6 = 5

50 — 23 = 27

27 + 8 = 35

35 — 5 = 30

Ответ: 50 — 23 + 2 ⋅ 4 — 30 : 6 = 30

При подсчете результатов операций с использованием двузначных и трехзначных чисел обязательно указывайте свои расчеты в соответствующей графе.


Условие: вычислите значение выражения 324 — 42 + 20 : 4 — 42

Решение:

20 : 4 + 5

324 — 42 = 282

282 + 5 = 287

287 — 42 = 245

Ответ: 324 — 42 + 20 : 4 — 42 = 245

Второй способ называется строковой записью, когда все расчеты выполняются точно в таком же порядке, но результаты записываются сразу после знака равенства.

Порядок действий в математике со скобками

Необходимо запомнить, если выражение содержит круглые скобки, порядок действий в скобках в математике немного изменяется:

  • Действия внутри круглых скобок выполняются в первую очередь.
  • Внутри скобок последовательность операций такая же, как и в примерах без скобок.

Действия в скобках делаем также в соответствии с порядком для простых примеров, то есть слева направо.

Пример 7

Условие: необходимо вычислить значение следующего выражения 25 — 3 + (6 ⋅ 3 — 12) — 7.

Используем порядок действий в математике со скобками:

  1. сначала выполняем работу в скобках;
  2. далее идем последовательно слева направо.

Решение:

  • выполняем умножение в скобках, а затем вычитание (6 ⋅ 3 — 12 = 18 — 12 = 6);
  • делаем последовательную работу за скобками (25 — 3 + 6 — 7 = 22 + 6 — 7 = 28 — 7 = 21).

В итоге решение данного выражения выглядит следующим образом:

25 — 3 + (6 ⋅ 3 — 12) — 7 = 25 — 3 + (18 — 12) — 7 = 25 — 3 + 6 — 7 = 22 + 6 — 7 = 28 — 7 = 21.

Ответ: 25 — 3 + (6 ⋅ 3 — 12) — 7 = 21

Если внутри круглых скобок есть еще несколько скобок, действия сначала выполняются внутри вложенных (внутренних) скобок. Для этого достаточно последовательно использовать основной принцип выполнения в выражениях со скобками.

Пример 8

Условие: вычислите значение выражения 60 — 2 ⋅ (30 — (7 + 3 ⋅ 4)) + 15.

Решение:

60 — 2 ⋅ (30 — (7 + 3 ⋅ 4)) + 15 = 60 — 2 ⋅ (30 — (7 + 12)) + 15 = 60 — 2 ⋅ (30 — 19) + 15 = 60 — 2 ⋅ 11 + 15 = 60 — 22 + 15 = 38 + 15 = 53

Ответ: 60 — 2 ⋅ (30 — (7 + 3 ⋅ 4)) + 15 = 53

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Процедура упрощения

Если пример содержит числовое или буквенное выражение в круглых скобках, которое нужно возвести в степень, то необходимо следовать таким правилам:

  1. Сначала делаем все вычисления внутри скобок.
  2. Затем вычисляем все скобки слева направо (от начала до конца примера).
  3. Все остальное делаем как обычно.
Пример 9

Условие: необходимо вычислить значение выражения 2³ ⋅ (4² − 12).

Выполняем вычисления в соответствие с порядком арифметических действий:

  1. рассчитываем значение в скобках;
  2. выполняем умножение.

Решение:

4² − 12 = 16 — 12 = 4

2³ ⋅ 4 = 8 ⋅ 4 = 32

Ответ: 2³ ⋅ (4² − 12) = 32

Порядок выполнения действий в сложных выражениях

Числовые и переменные примеры могут содержать символы различных арифметических операций. При преобразовании и вычислении значений таких примеров, все шаги выполняются в определенном порядке, который необходимо соблюдать.

Рассмотрим пример.

Пример 10

Рассчитайте значение 5 + (7 — 2 · 3) · (6 — 4) : 2.

Пример содержит круглые скобки, поэтому сначала выполним операции в заключенных в эти скобки.

  1. Начнем решение с выражения 7 − 2 · 3. В нем нужно сначала умножить, а потом вычесть: 7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1.
  2. Переходим ко второму выражению в скобках 6 — 4. Здесь только одно действие — вычитание: 6−4 = 2.
  3. Подставляем полученные значения в исходное выражение:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2.

В полученном значении сначала выполняем умножение и деление слева направо, а затем вычитание:

5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1= 6.

Все выполнено, мы сохранили следующий порядок их выполнения: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2.

Краткое решение: 5 + (7 −2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 1 = 6.

Ответ: 5 + (7 — 2 · 3) · (6 — 4) : 2 = 6

Если ученик затрудняется в выполнении порядка арифметических действий, необходимо потренироваться на простейших примерах, которые содержат только сложение и вычитание. Только затем уже переходить к выражениям с умножением и делением.

Только после полного усвоения правил выполнения действий для простейших арифметических заданий, можно приступать к вычислению более сложных примеров со скобками.

Вычисление выражений, содержащих несколько скобок, возведение в степень или буквенные значения будет доступно только после того, как ученик легко будет справляться с простыми примерами.