Порядок выполнения действий, правила, примеры
Арифметика — это часть математики, которая занимается работой с числами.
Практически все умеют вычислять значения простых арифметических выражений, включающих сложение, вычитание, умножение или деление. Но при вычислении более сложных выражений, где есть два, три или более действия, многие испытывают затруднения в порядке выполнения в математике.
При работе с формулами и примерами, которые содержат цифры, переменные или буквы, необходимо выполнять правильный алгоритм.
Чтобы получить верный результат, необходимо выполнять действия в математике в определенной последовательности, то есть соблюдая правильный порядок.
Алгоритм выполнения действий первой и второй ступени
Во многих справочниках порядок арифметических действий делится на первоочередные и второстепенные. Чтобы понять это, необходимо сформулировать правило более точно.
К первоочередным относят сложение и вычитание, ко второй ступени относят деление и умножение.
Точнее записать это правило можно следующим образом:
- сначала выполнить умножение и деление в порядке слева направо;
- далее выполняем сложение и вычитание в том же порядке.
Рассмотрим несколько простых примеров на умножение и деление, сложение и вычитание с числовыми или переменными значениями. Также подробно рассмотрим формулы со скобками, содержащие степени, корни и пр.
Основной порядок выполнение действий для простых выражений
Для простых примеров, не имеющих скобок, существует единый порядок выполнения:
- вычисления выполняются слева направо;
- сначала делаем умножение и деление;
- затем выполняем сложение или вычитание.
Рассмотрим простейшие примеры математического порядка в выражениях с простыми вычислениями, которые легко можно сделать в уме, то есть без использования записи.
Поскольку в данном примере нет скобок, отсутствуют умножение и деление, поэтому выполнение действия производим по единому правилу.
Решение:
- из 7 вычитаем 3 (7 — 3 = 4);
- прибавляем 6 (4 + 6 = 10).
В итоге получается следующее выражение: 7 — 3 + 6 = 4 + 6 = 10
Ответ: 7 − 3 + 6 = 10
Условие: необходимо вычислить выражение 6 : 2 ⋅ 8 : 3.
Порядок выполнения заключается в применении правил для примеров без скобок. Используется стандартный порядок вычисления, то есть слева направо.
Решение:
- делим 6 на 2 (6 : 2 = 3);
- умножаем результат на 8 (3 ⋅ 8 = 24);
- результат делим на 3 (24 : 3 = 8).
Получаем следующее: 6 : 2 ⋅ 8 : 3 = 3 ⋅ 8 : 3 = 24 : 3 = 8
Ответ: 6 : 2 ⋅ 8 : 3 = 8
Условие: необходимо вычислить, сколько будет 17 − 5 ⋅ 6 : 3 − 2 + 4 : 2.
В данном выражении присутствуют различные виды арифметических действий, включая умножение, деление, деление, вычитание.
Поэтому порядок в математике в данном примере будет следующий:
- выполняем деление и умножение в порядке слева направо;
- выполняем сложение и вычитание в обычном порядке.
Решение:
- 5 умножаем на 6 (5 ⋅ 6 = 30);
- делим 30 на 3 (30 : 3 =10);
- делим 4 на 2 (4 : 2 = 2);
- подставляем полученные цифры в исходное выражение (17 — 10 — 2 + 2 = 7).
В итоге расширенное решение данного примера выглядит следующим образом:
17 − 5 ⋅ 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 — 30 : 3 — 2 + 4 : 2 = 17 — 10 — 2 + 2 = 17 — 10 — 2 + 2 = 7 — 2 + 2 = 5 + 2 = 7
Ответ: 17 − 5 ⋅ 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 7
Если учеником порядок выполнения еще не усвоен, допускается использовать сверху цифры, полученные в результате промежуточных вычислений.
Правила выполнения действий для примеров с буквенными составляющими
Когда в выражении присутствуют буквы, применяется аналогичный порядок вычисления:
- делаем умножение и деление;
- выполняем сложение и вычитание.
Условие: необходимо обсчитать выражение 5х + 3х — 1х.
Порядок действий:
- выполняем сложение;
- делаем вычитание.
Решение:
- складываем 5х и 3х (5х + 3х = 8х);
- вычитаем 1х (8х — 1х = 7х).
В целом решение выглядит следующим образом: 5х + 3х — 1 = 8х — 1х = 7х
Ответ: 5х + 3х — 1х = 7х
Варианты записи процесса вычисления выражений
Процесс вычисления можно записывать несколькими способами.
Первый способ:
- Каждое действие записывается отдельно под своим номером по примеру.
- После выполнения последнего шага ответ обязательно сохраняется в исходном примере.
Условие: необходимо вычислить выражение 50 — 23 + 2 ⋅ 4 — 30 : 6.
Решение:
2 ⋅ 4 = 8
30 : 6 = 5
50 — 23 = 27
27 + 8 = 35
35 — 5 = 30
Ответ: 50 — 23 + 2 ⋅ 4 — 30 : 6 = 30
При подсчете результатов операций с использованием двузначных и трехзначных чисел обязательно указывайте свои расчеты в соответствующей графе.
Условие: вычислите значение выражения 324 — 42 + 20 : 4 — 42
Решение:
20 : 4 + 5
324 — 42 = 282
282 + 5 = 287
287 — 42 = 245
Ответ: 324 — 42 + 20 : 4 — 42 = 245
Второй способ называется строковой записью, когда все расчеты выполняются точно в таком же порядке, но результаты записываются сразу после знака равенства.
Порядок действий в математике со скобками
Необходимо запомнить, если выражение содержит круглые скобки, порядок действий в скобках в математике немного изменяется:
- Действия внутри круглых скобок выполняются в первую очередь.
- Внутри скобок последовательность операций такая же, как и в примерах без скобок.
Действия в скобках делаем также в соответствии с порядком для простых примеров, то есть слева направо.
Условие: необходимо вычислить значение следующего выражения 25 — 3 + (6 ⋅ 3 — 12) — 7.
Используем порядок действий в математике со скобками:
- сначала выполняем работу в скобках;
- далее идем последовательно слева направо.
Решение:
- выполняем умножение в скобках, а затем вычитание (6 ⋅ 3 — 12 = 18 — 12 = 6);
- делаем последовательную работу за скобками (25 — 3 + 6 — 7 = 22 + 6 — 7 = 28 — 7 = 21).
В итоге решение данного выражения выглядит следующим образом:
25 — 3 + (6 ⋅ 3 — 12) — 7 = 25 — 3 + (18 — 12) — 7 = 25 — 3 + 6 — 7 = 22 + 6 — 7 = 28 — 7 = 21.
Ответ: 25 — 3 + (6 ⋅ 3 — 12) — 7 = 21
Если внутри круглых скобок есть еще несколько скобок, действия сначала выполняются внутри вложенных (внутренних) скобок. Для этого достаточно последовательно использовать основной принцип выполнения в выражениях со скобками.
Условие: вычислите значение выражения 60 — 2 ⋅ (30 — (7 + 3 ⋅ 4)) + 15.
Решение:
60 — 2 ⋅ (30 — (7 + 3 ⋅ 4)) + 15 = 60 — 2 ⋅ (30 — (7 + 12)) + 15 = 60 — 2 ⋅ (30 — 19) + 15 = 60 — 2 ⋅ 11 + 15 = 60 — 22 + 15 = 38 + 15 = 53
Ответ: 60 — 2 ⋅ (30 — (7 + 3 ⋅ 4)) + 15 = 53
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Процедура упрощения
Если пример содержит числовое или буквенное выражение в круглых скобках, которое нужно возвести в степень, то необходимо следовать таким правилам:
- Сначала делаем все вычисления внутри скобок.
- Затем вычисляем все скобки слева направо (от начала до конца примера).
- Все остальное делаем как обычно.
Условие: необходимо вычислить значение выражения 2³ ⋅ (4² − 12).
Выполняем вычисления в соответствие с порядком арифметических действий:
- рассчитываем значение в скобках;
- выполняем умножение.
Решение:
4² − 12 = 16 — 12 = 4
2³ ⋅ 4 = 8 ⋅ 4 = 32
Ответ: 2³ ⋅ (4² − 12) = 32
Порядок выполнения действий в сложных выражениях
Числовые и переменные примеры могут содержать символы различных арифметических операций. При преобразовании и вычислении значений таких примеров, все шаги выполняются в определенном порядке, который необходимо соблюдать.
Рассмотрим пример.
Рассчитайте значение 5 + (7 — 2 · 3) · (6 — 4) : 2.
Пример содержит круглые скобки, поэтому сначала выполним операции в заключенных в эти скобки.
- Начнем решение с выражения 7 − 2 · 3. В нем нужно сначала умножить, а потом вычесть: 7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1.
- Переходим ко второму выражению в скобках 6 — 4. Здесь только одно действие — вычитание: 6−4 = 2.
- Подставляем полученные значения в исходное выражение:
5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2.
В полученном значении сначала выполняем умножение и деление слева направо, а затем вычитание:
5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1= 6.
Все выполнено, мы сохранили следующий порядок их выполнения: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2.
Краткое решение: 5 + (7 −2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 1 = 6.
Ответ: 5 + (7 — 2 · 3) · (6 — 4) : 2 = 6
Если ученик затрудняется в выполнении порядка арифметических действий, необходимо потренироваться на простейших примерах, которые содержат только сложение и вычитание. Только затем уже переходить к выражениям с умножением и делением.
Только после полного усвоения правил выполнения действий для простейших арифметических заданий, можно приступать к вычислению более сложных примеров со скобками.
Вычисление выражений, содержащих несколько скобок, возведение в степень или буквенные значения будет доступно только после того, как ученик легко будет справляться с простыми примерами.
