Что такое биссектриса угла в геометрии

Главная
Справочник
Математика
Прочие статьи по математике
Что такое биссектриса угла в геометрии

Оглавление

Время чтения: 3 минуты

724

Понятие биссектрисы угла
Свойства точки биссектрисы угла
Некоторые свойства биссектрисы угла

Напомним, что углом называют два луча, которые исходят из одной точки O. Для конкретики будем называть их лучами OA и OC. Из точки можно провести бесчисленное количество лучей, но среди них есть один особенный, именуемый биссектрисой угла.

Понятие биссектрисы угла

Определения 1 — 2

Биссектрисой угла в геометрии называют луч, начинающийся в его вершине и делящий указанный угол на две равные части (сектора). Сказанное хорошо видно на рисунке ниже. Для указания равенства двух углов, их отмечают одинаковым количеством дуг.

Определить биссектрису угла можно и по-другому, воспользовавшись одним из основных её свойств – все точки биссектрисы угла всегда, во всех случаях, равноудалены от сторон того угла, в котором она проведена.

Биссектрисой угла принято считать геометрическое место точек плоскости, находящихся на равном удалении от его сторон.

Свойства точки биссектрисы угла

Из определения 2 можно сделать два вывода:

Любая из точек биссектрисы угла находится на одинаковом удалении от его сторон;
Если точка имеет равные расстояния от двух сторон угла, то она непременно лежит среди точек его биссектрисы и принадлежит к их множеству.

Докажем эти два утверждения.

Определения 3 — 4

Расстоянием от точки M до проходящей в их общей плоскости прямой принято считать длину перпендикуляра, проведённого к M.

Т. к. луч является частью прямой, а угол создан двумя лучами, из определения выше очень легко понять, что является расстоянием от точки до сторон угла.

Расстоянием от точки до сторон угла называют длину перпендикуляров к лучам, которые образуют указанный угол.

Доказательство первого утверждения – расстояния от биссектрисы до сторон угла между собой всегда равны.

Проведём из М перпендикуляры к сторонам угла:

Так перед нами оказалось два прямоугольных треугольника, у которых имеется общая гипотенуза и равные углы.

Угол MOH₁равен углу MOH_2.
Углы MH₁O и MH₂O являются прямыми. Это следует из построения.
Углы OMH₁ и OMH₂ тоже прямые, ведь сумма углов в любом прямоугольном треугольнике за вычетом прямого всегда равняется 90 градусам.

Из сказанного следует, что треугольники равны по одной их стороне и прилежащим углам, а значит MH₁ = MH₂. Это нам и требовалось доказать.

Доказательство второго утверждения – если расстояния до M численно одинаковы, то она принадлежит биссектрисе.

Мы опять имеем прямоугольные треугольники. У них, как видно из рисунка, имеется общая гипотенуза OM. Стороны MH₁ и MH₂ одинаковы по условию. Оставшиеся катеты тоже равны. Их легко вычислить, как OH₁² = OH₂²= OM² – MH₁². Получается, что треугольники равны по всем трём сторонам. Это значит, что равны и углы. Доказательство завершено.