Формула произведения косинуса, синуса используется в школьной алгебре для обучения школьников, а также в математическом анализе в расчетах. 

В этой статье разберем важные формулы для понятия тригонометрии: умножение косинусов и синусов, другие формулы, связанные с произведением двух алгебраических функций.

Важно

Теоремы умножения синусов и косинусов для α и β помогают превратиться из произведения в разность, сумму других углов.

Появилась необходимость, чтобы найти произведение косинусов, синусов углов α и <>, поэтому стоит изучить данную статью.

Данные формулы помогают преобразовать выражение от произведения к разности, сумме синусов и косинусов α−β и α+β.

Рассмотрим и выведем формулы синуса на синус, произведение синусов и косинусов. Также ниже разберем примерные задания с использованием формул.

Тригонометрические формулы произведения

Рассмотрим формулировки, формулы произведений. В независимости какими значениями обладают углы α и β или какие греческие буквы используются вместо обозначений α и β, применяются данные формулы и вычисляют с помощью них.

Произведение синусов формула

Произведение sin угла α и sin угла β будет равно половине разности косинуса угла (α−β) и (α+β).

\[\sin \alpha \cdot \sin \beta=\frac{1}{2}(\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta))\]

Произведение косинусов формула

Произведение cos угла α и cos угла β равно половине сумме косинуса угла (α-β) и (α+β).

\[\cos \alpha \cdot \cos \beta=\frac{1}{2}(\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta))\]

Произведение синусов и косинусов формулы

Произведение синуса угла α на косинус угла β равно половине сумме синуса угла (α-β) и синуса угла (α+β).

\[\sin \alpha \cdot \cos \beta=\frac{1}{2}(\sin (\alpha-\beta)+\sin (\alpha+\beta))\]

Выведение тригонометрических формул

Для выведения формул, которые расположены выше, используется формулы сложения функций cos и sin, а также свойства равенства. В свойстве подразумевается, что если просуммировать правую и левую часть правильного равенства с другим таким же верным равенством, образуется новое правильное равенство.

Произведение косинусов

Приведем подробный вывод изучаемых формул

Для этого возьмем формулы косинуса разности и суммы:

\[\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta\]
\[\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta\]

Далее, с каждой стороны проведем сложение двух формул. Получается следующее:

\[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta+\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta\]

Одинаковые слагаемые складываем: \[\cos \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \cos \beta=2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta\]

Разноименные слагаемые отнимаем: \[-\sin \alpha \cdot \sin \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta=0\]

Следовательно, \[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta\]

В данном равенстве делим правую, левую часть на 2 , меняем местами слагаемые.

Получается следующее выражение \[\cos \alpha \cdot \cos \beta=\frac{1}{2}(\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta))\]

Мы доказали формулу умножения cos одного угла на cos другого угла.

Произведение синусов

Теперь докажем следующую. Распишем формулу суммы косинусов так:

\[-\cos (\alpha+\beta)=-\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta\]

Прибавим к данному равенству \[\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta\]

Слагаемые одноименными знаками и функциями сложим, разноименные — вычтем, преобразуем выражение:

\[-\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=-\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta+\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta-\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=2 \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta\]

В данном равенстве делим правую, левую часть на 2, меняем местами слагаемые.

\[\sin \alpha \cdot \sin \beta=\frac{1}{2}(\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta))\]

Мы вывели формулу умножения синуса одного аргумента на синус другого аргумента.

Произведение синуса на косинус

Сделаем вывод формулы произведения синуса и косинуса разных аргументов. Теперь воспользуемся формулой суммы и разности функций sin. Складываем и правую, и левую часть выражений:

\[\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta\]
\[\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta-\cos \alpha \cdot \sin \beta\]
\[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta+\sin \alpha \cdot \cos \beta-\cos \alpha \cdot \sin \beta\]

Слагаемые одноименными знаками и функциями сложим, разноименные — вычтем, преобразуем выражение:

\[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)=2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta\]

В данном равенстве делим правую, левую часть на 2 , меняем местами слагаемые.

\[\sin \alpha \cdot \cos \beta=\frac{1}{2}(\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta))\]

Мы вывели формулу произведения синуса на косинус.

Примеры задач

Рассмотрим и решим задания с применением формул произведения косинусов (cos), синусов (sin), синусов на косинусы (cos и sin). Произведение синуса и косинуса примеры решения рассматриваются для того, чтобы ясно представлять использование данных формул для определенных углов.

Сначала сделаем проверку на справедливость формулы умножение функции sin одного угла на sin другого угла.


Пример 1

Пусть углы будут равны: α=60°,β=30°.

Решение:

Используем выведенную формулу синусов, и в нее подставим предоставленные значения из нашего задания:

\[\sin \alpha \cdot \sin \beta=\frac{1}{2}(\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta))\]
\[\sin 60^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}\left(\cos \left(60^{\circ}-30^{\circ}\right)-\cos \left(60^{\circ}+30^{\circ}\right)\right)\]

Подставим конкретные значения из таблицы тригонометрических функций и вычислим, запишем ответ:

\[\sin 60^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-0\right)\]
\[\sin 60^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{4}\]

Таким образом, сделали проверку выведенной формулы на практике, а также стало ясно, что она верна.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Пример 2

Нужно синус 75 ° умножить на косинус 15 °, найти конкретное значение произведения.

Решение:

Точными данными таких углов мы не обладаем, но значение можно найти с использованием формулы произведения синуса на косинус, то есть \[\sin 75^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}\]. Поэтому получим:

\[\sin 75^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}=\frac{1}{2}\left(\sin \left(75^{\circ}-15^{\circ}\right)+\sin \left(75^{\circ}+15^{\circ}\right)\right)\]

Вычислим, получается следующее:

\[\sin 75^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}=\frac{1}{2}\left(\sin \left(60^{\circ}\right)+\sin \left(90^{\circ}\right)\right)\]

Подставим известные нам значения из тригонометрической таблицы и вычислим, запишем ответ:

\[\sin 75^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}\]

Ответ: \[\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}\]


Пример 3

Пусть углы обладают значениями: \[\alpha=\frac{\Pi}{2}, \beta=\frac{\Pi}{6}\]. Найти значение произведение sin этих углов.

Решение:

Воспользуемся произведение синусов формулой:

\[\sin \alpha \cdot \sin \beta=\frac{1}{2}(\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta))\]

Подставим данные и получим:

\[\sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\right)\]

Найдем знаменатель для двух дробей:

\[\sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)-\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)\]

Для этого нам понадобится таблица со значениями функций косинуса и синуса, трансформируем  произведение синусов в сумму чисел:

\[\sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\]

Вычислим и запишем ответ:

\[\sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\]

Ответ: \[\frac{1}{2}\]


Пример 4

Дано следующее значение: \[\cos \cos \alpha=0,3\].

Вычислить выражение и найти, записать ответ в следующем виде \[\operatorname{coscos} \frac{\alpha}{2} \cdot \operatorname{coscos} \frac{3 \alpha}{2}\]

Решение:

Произведение косинусов формула:

\[\cos \alpha \cdot \cos \beta=\frac{1}{2}(\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta))\]

Поставляем в формулу и получаем выражение:

\[\operatorname{coscos} \frac{\alpha}{2} \cdot \operatorname{coscos} \frac{3 \alpha}{2}=\frac{1}{2}\left(\operatorname{coscos}\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{3 \alpha}{2}\right)+\operatorname{coscos}\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{3 \alpha}{2}\right)\right)\]

Стоит заметить, что \[\operatorname{coscos}(-\alpha)=\operatorname{coscos}(\alpha)\], используем формулу двойного аргумента

\[\cos \cos 2 \alpha=\alpha-\alpha=2 \alpha-1\]

Далее, подставляем данные из задания \[\operatorname{coscos} \alpha=0,3\]

Получаем следующее значение:

\[\operatorname{coscos} 2 \alpha=2 \cdot 0,3^{2}-1=0,18-1=-0,82\]

Воспользуемся значениями в наше выражение, получим и запишем ответ:

\[\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}+\sin \sin \left(2 \alpha-\frac{\pi}{12}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}-1\right)=-\frac{1}{4}\]

Ответ: \[-\frac{1}{4}\]

Замечание. Данные формулы произведения применяются, чтобы преобразовать сложные тригонометрические выражения в наиболее простые.