СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Напишем

СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Под понятием производные различных порядков обычно понимаются производные первого или высших порядков.

Дифференцирование производной первого порядка \[F^{\prime}(x)\] позволит вычислить производную от производной — именуемую производной второго порядка. Далее назовем определение производной.

Производная производной второго порядка именуется производной третьего порядка, в этой связи производная n-го порядка определяется как производная от производной n-1го порядка.

Производная функции второго порядка обозначается записью \[y^{\prime \prime}\] или \[F^{\prime \prime}(x)\]. Дифференцировка функции \[n\] раз приводит к получению производной вида \[f n(x)\].

Дифференцирование второго порядка

Производные в математике всегда находятся по определенной формуле. Итак, формула дифференцирования второго порядка записывается следующим образом:

\[f^{\prime \prime}(x)=\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\lim _{x \rightarrow x_{0}}=\frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\left(f^{\prime}(x)\right)^{\prime}\]

В случае, если степень меньше, чем порядок производной, производная n-го порядка будет равна нулю.

Таблица с формулами производных высших порядков

Формулы для нахождения производных высших порядков наиболее удобно представить в виде таблицы формул производных:

ФункцияФормула нахождения
\[\left(x^{p}\right)^{(n)}\]\[\left(x^{p}\right)^{(n)}=p(p-1)(p-1) \ldots(p-n+1) x^{p-n}\]
\[\left(a^{k x+b}\right)^{(n)}\]\[\left(a^{k x+b}\right)^{(n)}=k^{n} a^{k x+b} 1 n^{n} a\]
\[\left(e^{k x+b}\right)^{(n)}\]\[\left(e^{k x+b}\right)^{(n)}=k^{n} e^{k x+b}\]
\[(\sin a x)^{(n)}\]\[(\sin a x)^{(n)}=a^{n} \sin \left(a x+\frac{п n}{2}\right)\]
\[(\cos a x)^{(n)}\]\[(\sin a x)^{(n)}=a^{n} \cos \left(a x+\frac{п n}{2}\right)\]
\[\left((a x+b)^{p}\right)^{n}\]\[\left((a x+b)^{p}\right)^{n}=a^{n} p(p-1)(p-2) \ldots(p-n+1)(a x+b)^{n-1}\]
\[\left(\log _{a}|x|\right)^{(n)}\]\[\left(\log _{a}|x|\right)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1) !}{x^{n} \ln a}\]
\[(\ln |x|)^{n}\]\[\left(\log _{a}|x|\right)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1) !}{x^{n}}\]
\[(a u(x)+\beta \gamma(x))^{n}\]\[(a u(x)+\beta \gamma(x))^{n}=a u^{n}(x)+\beta^{n} \gamma(x)\]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Примеры нахождения производных

Примеры

Пример 1

Как найти производную первого порядка функции по формуле произведения:

\[|f(x) \cdot g(x)|^{\prime}=f(x)^{\prime} \cdot g(x)+f(x) \cdot g(x)^{\prime}\\y^{\prime}=[x \cdot \ln (2 x+1)]^{\prime}=x^{\prime} \cdot \ln (2 x+1)+x \cdot(\ln (2 x+1))^{\prime}\\=1 \cdot \ln (2 x+1)+x \cdot(\ln (2 x+1))^{\prime}=y^{\prime}\\=\ln (2 x+1)+x \cdot(\ln (2 x+1))^{\prime}\\=\ln (2 x+1)+x \frac{1}{2 x+1} \cdot(2 x+1)^{\prime}=\ln (2 x+1)+2 x \cdot \frac{1}{2 x+1}\\=\ln (2 x+1)+\frac{2 x}{2 x+1}\]

Как найти производную второго порядка в данном выражении:

\[y^{\prime \prime}=\left(\ln (2 x+1)+\frac{2 x}{2 x+1}\right)^{\prime}=\ln (2 x+1)^{\prime}+\left(\frac{2 x}{2 x+1}\right)^{\prime}\\=\left(\frac{1}{2 x+1}\right) \cdot(2 x+1)^{\prime}+\frac{2 x^{\prime} \cdot(2 x+1)-2 x \cdot(2 x+1)^{\prime}}{(2 x+1)^{2}}\\=y^{\prime \prime}=\frac{2}{2 x+1}+\frac{2(2 x+1)-2 x \cdot 2}{(2 x+1)^{2}}=\frac{2}{2 x+1}+\frac{2((2 x+1)-2 x)}{(2 x+1)^{2}}\\=\frac{2}{2 x+1}+\frac{2}{(2 x+1)^{2}}\]

Упростим полученное решение:

\[y^{\prime \prime}=\frac{2(2 x+1)}{(2 x+1)^{2}}+\frac{2}{(2 x+1)^{2}}=\frac{2(2 x+1)+2}{(2 x+1)^{2}}=\frac{4 x+4}{(2 x+1)^{2}}\]


Пример 2

Задача на нахождение производной различных порядков на примере производной четвертого порядка: \[y=x^{5}-x^{4}+3 x^{3}\]

Решение:

\[y^{\prime}=\left(x^{5}-x^{4}+3 x^{3}\right)^{\prime}=5 x^{4}-4 x^{3}+3 \cdot 3 x^{2}=5 x^{4}-4 x^{3}+9 x^{2}\\y^{\prime \prime}=\left(5 x^{4}-4 x^{3}+9 x^{2}\right)^{\prime}=20 x^{3}-12 x^{2}+18 x\\y^{\prime \prime \prime}=\left(20 x^{3}-12 x^{2}+18 x\right)^{\prime}=60 x^{2}-24 x+18\\y^{4}=\left(60 x^{2}-24 x+18\right)^{\prime}=120 x-24\]


Пример 3

Нахождение производной различных порядков от функций на следующем частном примере:

\[y=\frac{x^{2}+5 x^{3}}{18}\]

Ответ: решение не является сложным и не потребует онлайн-калькулятора. Наибольшая степень одной из переменных равна 3, что меньше степени производной. Следовательно, производная четвертого порядка равна 0.


Пример 4

Необходимо найти производную 13 порядка для \[y=\sin x\]

Решение: найдем производную первого порядка (и затем 2-4 порядков)

\[y^{\prime}=\sin ^{\prime} x=\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\\y^{\prime \prime}=\cos ^{\prime} x=-\sin x=\sin \left(x+2 \frac{\pi}{2}\right)\\y^{\prime \prime \prime}=-\sin ^{\prime} x=-\cos x=\sin \left(x+3 \frac{\pi}{2}\right)\\y^{(4)}=-\cos ^{\prime} x=\sin x=\sin \left(x+4 \frac{\pi}{2}\right)\]

Следовательно:

\[y^{(n)} \sin \left(x+\frac{n \cdot \pi}{2}\right), n \in N\]

Итоговый результат:

\[y^{(13)}=\sin \left(x+\frac{13 \cdot \pi}{2}\right)=\cos x\]


Пример 5

Подсчитайте производную четвертой степени функции \[x^{8}\]

Решение:

Используем формулу нахождения производной высшего порядка

\[\left(x^{p}\right)^{(n)}=p(p-1)(p-1) \ldots(p-n+1) x^{p-n}\]

Учтем, что p=8, n=4

\[\left(x^{8}\right)^{(4)}=8(8-1)(8-2)(8-4+1) x^{8-4}=8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot x^{4}=1680 x^{4}\\\left(x^{8}\right)^{(4)}=1680 x^{4}\]


Пример 6

Подсчитайте производную функции \[y=2^{x}-\operatorname{arctg} x\].

Решение:

\[y^{\prime}=\left(2^{x}-\operatorname{arctg} x\right)^{\prime}=\left(2^{x}\right)^{\prime}-(\operatorname{arctg} x)^{\prime}\]

Используем формулы для обратной и тригонометрической функции \[y^{\prime}=2^{x} \ln 2-\frac{1}{1+x^{2}}\]

Ответ: \[y^{\prime}=2^{x} \ln 2-\frac{1}{1+x^{2}}\]

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Хочу заработать