Производные различных порядков
Под понятием производные различных порядков обычно понимаются производные первого или высших порядков.
Дифференцирование производной первого порядка \[F^{\prime}(x)\] позволит вычислить производную от производной — именуемую производной второго порядка. Далее назовем определение производной.
Производная производной второго порядка именуется производной третьего порядка, в этой связи производная n-го
порядка определяется как производная от производной n-1го порядка.
Производная функции второго порядка обозначается записью \[y^{\prime \prime}\] или \[F^{\prime \prime}(x)\]. Дифференцировка функции \[n\] раз приводит к получению производной вида \[f n(x)\].
Дифференцирование второго порядка
Производные в математике всегда находятся по определенной формуле. Итак, формула дифференцирования второго порядка записывается следующим образом:
В случае, если степень меньше, чем порядок производной, производная n-го порядка будет равна нулю.
Таблица с формулами производных высших порядков
Формулы для нахождения производных высших порядков наиболее удобно представить в виде таблицы формул производных:
| Функция | Формула нахождения |
| \[\left(x^{p}\right)^{(n)}\] | \[\left(x^{p}\right)^{(n)}=p(p-1)(p-1) \ldots(p-n+1) x^{p-n}\] |
| \[\left(a^{k x+b}\right)^{(n)}\] | \[\left(a^{k x+b}\right)^{(n)}=k^{n} a^{k x+b} 1 n^{n} a\] |
| \[\left(e^{k x+b}\right)^{(n)}\] | \[\left(e^{k x+b}\right)^{(n)}=k^{n} e^{k x+b}\] |
| \[(\sin a x)^{(n)}\] | \[(\sin a x)^{(n)}=a^{n} \sin \left(a x+\frac{п n}{2}\right)\] |
| \[(\cos a x)^{(n)}\] | \[(\sin a x)^{(n)}=a^{n} \cos \left(a x+\frac{п n}{2}\right)\] |
| \[\left((a x+b)^{p}\right)^{n}\] | \[\left((a x+b)^{p}\right)^{n}=a^{n} p(p-1)(p-2) \ldots(p-n+1)(a x+b)^{n-1}\] |
| \[\left(\log _{a}|x|\right)^{(n)}\] | \[\left(\log _{a}|x|\right)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1) !}{x^{n} \ln a}\] |
| \[(\ln |x|)^{n}\] | \[\left(\log _{a}|x|\right)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1) !}{x^{n}}\] |
| \[(a u(x)+\beta \gamma(x))^{n}\] | \[(a u(x)+\beta \gamma(x))^{n}=a u^{n}(x)+\beta^{n} \gamma(x)\] |
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Примеры нахождения производных
Пример 1
Как найти производную первого порядка функции по формуле произведения:
\[|f(x) \cdot g(x)|^{\prime}=f(x)^{\prime} \cdot g(x)+f(x) \cdot g(x)^{\prime}\\y^{\prime}=[x \cdot \ln (2
x+1)]^{\prime}=x^{\prime} \cdot \ln (2 x+1)+x \cdot(\ln (2 x+1))^{\prime}\\=1 \cdot \ln (2 x+1)+x \cdot(\ln
(2 x+1))^{\prime}=y^{\prime}\\=\ln (2 x+1)+x \cdot(\ln (2 x+1))^{\prime}\\=\ln (2 x+1)+x \frac{1}{2 x+1}
\cdot(2 x+1)^{\prime}=\ln (2 x+1)+2 x \cdot \frac{1}{2 x+1}\\=\ln (2 x+1)+\frac{2 x}{2 x+1}\]
Как найти производную второго порядка в данном выражении:
\[y^{\prime \prime}=\left(\ln (2 x+1)+\frac{2 x}{2 x+1}\right)^{\prime}=\ln (2 x+1)^{\prime}+\left(\frac{2
x}{2 x+1}\right)^{\prime}\\=\left(\frac{1}{2 x+1}\right) \cdot(2 x+1)^{\prime}+\frac{2 x^{\prime} \cdot(2
x+1)-2 x \cdot(2 x+1)^{\prime}}{(2 x+1)^{2}}\\=y^{\prime \prime}=\frac{2}{2 x+1}+\frac{2(2 x+1)-2 x \cdot
2}{(2 x+1)^{2}}=\frac{2}{2 x+1}+\frac{2((2 x+1)-2 x)}{(2 x+1)^{2}}\\=\frac{2}{2 x+1}+\frac{2}{(2
x+1)^{2}}\]
Упростим полученное решение:
\[y^{\prime \prime}=\frac{2(2 x+1)}{(2 x+1)^{2}}+\frac{2}{(2 x+1)^{2}}=\frac{2(2 x+1)+2}{(2 x+1)^{2}}=\frac{4
x+4}{(2 x+1)^{2}}\]
Пример 2
Задача на нахождение производной различных порядков на примере производной четвертого порядка:
\[y=x^{5}-x^{4}+3 x^{3}\]
Решение:
\[y^{\prime}=\left(x^{5}-x^{4}+3 x^{3}\right)^{\prime}=5 x^{4}-4 x^{3}+3 \cdot 3 x^{2}=5 x^{4}-4 x^{3}+9
x^{2}\\y^{\prime \prime}=\left(5 x^{4}-4 x^{3}+9 x^{2}\right)^{\prime}=20 x^{3}-12 x^{2}+18 x\\y^{\prime
\prime \prime}=\left(20 x^{3}-12 x^{2}+18 x\right)^{\prime}=60 x^{2}-24 x+18\\y^{4}=\left(60 x^{2}-24
x+18\right)^{\prime}=120 x-24\]
Пример 3
Нахождение производной различных порядков от функций на следующем частном примере:
\[y=\frac{x^{2}+5 x^{3}}{18}\]
Ответ: решение не является сложным и не потребует онлайн-калькулятора. Наибольшая степень одной из переменных
равна 3, что меньше степени производной. Следовательно, производная четвертого порядка равна 0.
Пример 4
Необходимо найти производную 13 порядка для \[y=\sin x\]
Решение: найдем производную первого порядка (и затем 2-4 порядков)
\[y^{\prime}=\sin ^{\prime} x=\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\\y^{\prime \prime}=\cos ^{\prime}
x=-\sin x=\sin \left(x+2 \frac{\pi}{2}\right)\\y^{\prime \prime \prime}=-\sin ^{\prime} x=-\cos x=\sin
\left(x+3 \frac{\pi}{2}\right)\\y^{(4)}=-\cos ^{\prime} x=\sin x=\sin \left(x+4 \frac{\pi}{2}\right)\]
Следовательно:
\[y^{(n)} \sin \left(x+\frac{n \cdot \pi}{2}\right), n \in N\]
Итоговый результат:
\[y^{(13)}=\sin \left(x+\frac{13 \cdot \pi}{2}\right)=\cos x\]
Пример 5
Подсчитайте производную четвертой степени функции \[x^{8}\]
Решение:
Используем формулу нахождения производной высшего порядка
\[\left(x^{p}\right)^{(n)}=p(p-1)(p-1) \ldots(p-n+1) x^{p-n}\]
Учтем, что p=8, n=4
\[\left(x^{8}\right)^{(4)}=8(8-1)(8-2)(8-4+1) x^{8-4}=8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot x^{4}=1680 x^{4}\\\left(x^{8}\right)^{(4)}=1680 x^{4}\]
Пример 6
Подсчитайте производную функции \[y=2^{x}-\operatorname{arctg} x\].
Решение:
\[y^{\prime}=\left(2^{x}-\operatorname{arctg} x\right)^{\prime}=\left(2^{x}\right)^{\prime}-(\operatorname{arctg} x)^{\prime}\]
Используем формулы для обратной и тригонометрической функции \[y^{\prime}=2^{x} \ln 2-\frac{1}{1+x^{2}}\]
Ответ: \[y^{\prime}=2^{x} \ln 2-\frac{1}{1+x^{2}}\]
