Угол между прямой и плоскостью

Главная
Справочник
Математика
Прямая, плоскость
Угол между прямой и плоскостью: определение, примеры нахождения

Оглавление

Время чтения: 13 минут

1 367

Виды углов между плоскостью
Как найти угол между прямой и плоскостью
Дополнительные теоремы

Основное определение: «Угол, возникающий между перпендикулярными отрезками, опущенными в пределах этих плоскостей к линии пересечения и является углом между плоскостями».

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно опустить из любых двух ее точек перпендикуляры на плоскость (спроектировать эти точки), после чего провести через них прямую – это и будет проекция.

Виды углов между плоскостью

Плоскость и прямая имеют одну точку пересечения (общую).

В данном примере угол между прямой и плоскостью нам не известен. Прямая также может проходить через плоскость перпендикулярно (90 градусов)

Прямая перпендикулярна плоскости, а также всем остальным прямым, расположенным на данной плоскости.

Точка перпендикулярного пересечения прямой М1 и плоскости γ под является одновременно и проекцией точки М, при условии, что она не принадлежит плоскости γ.

Проекция прямой на плоскость обозначает множество проекция данной прямой на плоскость.

Это означает, что прямая, перпендикулярная к плоскости имеет с ней общую точку пересечения, из чего следует то, что a – принадлежит плоскости и проходящей через точку пересечения прямой плоскости.

Углом между прямой и плоскостью является угол между данной прямой и ее проекцией на заданную плоскость.

Прямая необязательно перпендикулярна плоскости. Из этого обозначения следует, что угол между прямой и плоскостью всегда является острым (90>x).

Угол между прямой и плоскостью всегда равен 90 градусам, в то время как угол между параллельно расположенными прямыми определять не требуется. В некоторых заданиях, его значение просто приравнивается нулю, это указывают внутри задания.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Как найти угол между прямой и плоскостью

Способов решения задач на нахождения угла между плоскостью и заданной прямой, бесчисленное множество. Путь, которым необходимо решить задачу, выбирается исходя из указанных в условиях задачи данных. Зачастую, рельсами решения задач такого типа являются тангенсы, косинусы, синусы углов, а также признаки подобия/равенства фигур. Далее будет рассмотрен метод решения с применением сетки координат.

Геометрический метод. При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла (φ) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Решение задачи геометрическим методом. Поскольку в правильной пирамиде высота опускается в центр основания O, то OE – это проекция SE, а точка M проецируется в точку K – середину отрезка OE.

И теперь FK – это проекция FM, а искомый угол между прямой FM и плоскостью основания – это ∠MFK.

Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то a, тогда боковые рёбра – 3a. Заметь, что ΔMFK – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол.

Алгебраический метод. При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

\[ \sin \varphi=\left|\frac{A\left(x_{2}-x_{1}\right)+B\left(y_{2}-y_{1}\right)+C\left(z_{2}-z_{1}\right)}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}}\right| \]

Здесь \[\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\] — координаты двух точек на прямой, A, B, C- координаты в уравнении плоскости: \[ A x+B y+C z+D=0 \].

В 3D используется система координат, состоящая из трех направлений – Охуz.
В ней задается прямая, которая пересекается с заданной плоскостью в точке М. В данном примере требуется найти угол а, который находится между прямой и плоскостью.

Для нахождения угла а, возьмем уравнение прямой и вектор прямой пространства, а плоскости соответствует равенство плоскости и вектор плоскости. Из этого следует: → a = ( a x , a y , a z ).

\[\vec{a}=\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right)\] — есть направляющий вектор данной прямой, в то время как → n ( n x , n y , n z ) является нормальным вектором для заданной плоскости. \[\vec{n}\left(n_{x}, n_{y}, n_{z}\right)\].

При помощи уравнения, в случае если в задании уже есть координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости можно найти векторы а и n.

Имеющуюся у нас формулу моно преобразовать, что позволит получить требуемый угол, применяя координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора.

Всего есть 4 возможных варианта расположения векторов а и n относительно данных прямых и плоскости. На рисунке ниже даны все 4 разновидности их расположения.

Угол между указанными векторами обозначается как ( ˆ→ a , → n ) \[\vec{a}=\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right)\], являясь острым. Необходимый нам угол а дополняется. Теперь мы имеем выражение \[(\overbrace{{\vec{a}}, \vec{n}})=90^{\circ}-\alpha\].

Если по условию задачи \[(\overbrace{\vec{a}, \vec{n}})>90^{\circ}\] ( ˆ → a , → n ) > 90 °,то получается выражение ( ˆ → a , → n ) = 90 ° + α.

\[( \overbrace{{\vec{a}}, \vec{n}})=90^{\circ}+\alpha\]

Также необходимо добавить. Что косинусы равных углов равны. Исходя из этого можно составить равенства:

\[ \cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}})=\cos \left(90^{\circ}-\alpha\right),(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})<90^{\circ} \]

\[ \cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}})=\cos \left(90^{\circ}+\alpha\right),(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})>90^{\circ} \]

При помощи формулы приведения можно упростить выражение. Получится:

\[ \cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}})=\sin \alpha,(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})<90^{\circ} \]

\[ \cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}})=-\sin \alpha,(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})>90^{\circ} \]

После некоторых преобразований вырисовывается система:

\[ \sin \alpha=\cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}}),(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})<90^{\circ} \]

\[ \sin \alpha=-\cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}}),(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})>90^{\circ} \]

\[ \sin \alpha=\cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}}),(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})>0 \]

\[ \sin \alpha=-\cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}}),(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})<0 \]

\[ \Leftrightarrow \sin \alpha= \cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}}) \]

Подведем итог: синус угла между плоскостью и прямой равняется модулю косинуса угла, расположенного между вектором прямой и нормальным вектором заданной плоскости.

Угол образованный двумя векторами имеет значение скалярного произведения векторов и этих длин. При помощи формулы, приведенной ниже, можно вычислить синус угла, полученного пересечением плоскости и прямой.

\[ \sin \alpha=\operatorname{cos}(\widehat{\vec{a}, \vec{n}}) \mid=\frac{(\widehat{\vec{a}, \vec{n}}) \mid}{ \vec{a}|\cdot \vec{n}|}=\frac{a_{x} \cdot n_{x}+a_{y} \cdot n_{y}+a_{z} \cdot n_{z} \mid}{\sqrt{a_{z}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} \cdot \sqrt{n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}} \]

Все это можно привести к следующему виду:

\[ \alpha=\arcsin \frac{(\widehat{\vec{a}, \vec{n}}) \mid}{\vec{a}|\cdot \vec{n}|}=\arcsin \frac{ a_{x} \cdot n_{x}+a_{y} \cdot n_{y}+a_{z} \cdot n_{z} \mid}{\sqrt{a_{z}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} \cdot \sqrt{n_{z}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}} \]

Применив основное тригонометрическое свойство, возможно вычислить косинус, но только при условии. Что синус уже известен/дан в условии задания. Как было сказано выше, угол, образованный пересечением прямой и плоскости, является острым. Это означает, что значение этого угла всегда положительно. Его можно найти формулой \[\alpha=\sqrt{1-\sin \alpha}\].

Для более хорошего понимания материала, рассмотрим несколько примеров и попробуем их решить.

Пример 1:

Ha векторах \[\overrightarrow{A B}=(1,0,2), \quad \overrightarrow{A C}=(-1,3,0), \overrightarrow{A D}=(4,1,1)\] построена пирамида.

Найдите угол между прямой AD и плоскостью ABC .

Решение:

Чтобы вычислить угол между прямой и плоскостью по полученной формуле, нам нужно знать координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости. Направляющим вектором прямой AD является вектор \[\overrightarrow{A D}=(4,1,1)\].

Нормальный вектор \[ \vec{n}\] плоскости ABC перпендикулярен и вектору \[\overrightarrow{A B}\] и вектору \[\overrightarrow{A C}\] , то есть, в качестве нормального вектора плоскости ABC можно взять векторное произведение векторов \[\overrightarrow{A B}\] и \[ \overrightarrow{A C}\]:

\[ \vec{n}=[\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}]=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \end{array}\right|=-6 \cdot \vec{i}-2 \cdot \vec{j}+3 \cdot \vec{k} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{n}=(-6,-2,3) \]

Осталось подставить координаты векторов в формулу и вычислить требуемый угол между прямой и плоскостью:

\[ \alpha=\arcsin \frac{\mid (\overrightarrow{A D}, \vec{n}) \mid}{|\overrightarrow{A D}| \cdot|\vec{n}|}=\arcsin \frac{|4 \cdot(-6)+1 \cdot(-2)+1 \cdot 3|}{\sqrt{4^{2}+1^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{(-6)^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}=\arcsin \frac{23}{21 \sqrt{2}} \]

Ответ: \[\arcsin \frac{23}{21 \sqrt{2}}\]

Пример 2. Найти угол между прямой и плоскостью x-2 y+3 z+4=0.

Решение.

Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой \[\bar{s}={2 ; 6 ;-3}\].

Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости \[\bar{q}={1 ;-2 ; 3}\].

Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью:

\[ \sin \varphi=\frac{|2 \cdot 1+6 \cdot(-2)+(-3) \cdot 3|}{\sqrt{2^{2}+6^{2}+(-3)^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}=\frac{|2-12-9|}{\sqrt{4+36+9} \cdot \sqrt{1+4+9}}=\frac{|-19|}{\sqrt{49} \cdot \sqrt{14}}=\frac{19}{7 \sqrt{14}} \]

Ответ: \[\sin \varphi=\frac{19}{7 \sqrt{14}} \].

Дополнительные теоремы

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Если прямая параллельна плоскости, то угол между ней и плоскостью М считается равным нулю. Если прямая перпендикулярна прямой, т.е. равен 90 градусам.
Чтобы найти синус угла между прямой и плоскостью можно сначала вычислив косинус угла между прямой и перпендикуляром к плоскости.
Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L s = {l; m; n} и уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то угол между этой прямой и плоскостью можно найти, используя следующую формулу:

\[ \sin \varphi=\frac{|A \cdot 1+B \cdot m+C \cdot n|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+m^{2}+n^{2}}} \]

Оценить статью (57 оценок):