Главная
Справочник
Математика
Векторы
Расстояние от точки до плоскости: определение и примеры нахождения

Расстояние от точки до плоскости: определение и примеры нахождения

1 741

1 ноября 2022 г.

Время чтения: 2 минуты

Содержание:

Определение расстояние от точки до плоскости
Способы найти расстояние от точки до плоскости

В статье мы расскажем о нескольких способах того, как найти расстояние от точки до плоскости, а для лучшего понимания рассмотрим пример на эту тему.

Определение расстояние от точки до плоскости

Пусть дана плоскость χ, а в пространстве задана точка M₁. Через неё проходит прямая, перпендикулярная нашей χ. H₁обозначим общую точку их пересечения. Отрезок M₁H₁ является перпендикуляром из M₁ к \[χ\]. В обсуждаемом случае H₁ есть основание перпендикуляра.

Определение 1

Под расстоянием от точки до плоскости понимают расстояние между этой точкой и основанием перпендикуляра, проходящего через неё к указанной плоскости.

Определение 2

Под расстоянием от точки \[M_{1}\] до плоскости χ понимают длину перпендикуляра, проведённого из \[M_{1}\] к χ. Оно является наименьшим от M1 до любой из точек плоскости.

Докажем это:

Если H₂ на χ не совпадает с H₁, то мы имеем прямоугольный треугольник M₂H₁H₂. При этом M₂H₁ есть его катет, а M₂H₂гипотенуза. Длина гипотенузы треугольника всегда больше, чем длина катета. Доказательство завершено.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Способы найти расстояние от точки до плоскости

Мы имеем точку M₁ в трёхмерном пространстве с декартовыми координатами x₁, y₁, z₁ и плоскость \[χ\]. Покажем, как в этом случае найти расстояние от M₁ до \[χ\].

Первый способ.

Он основан на использовании координат точки H₁, которая является основанием перпендикуляра, проведённого из M₁ к \[χ\]. После этого вычисление искомой величины происходит достаточно просто.
Второй способ.

Сначала составляем уравнение прямой, которая перпендикулярна χ и проходит через M₁. Затем выясняем координаты (x₂, y₂, z₂) пересечения прямой \[a\] и \[χ\]. Вычисляем расстояние от точки M₁ до плоскости χ, формула, по которой это делается, следующая:

\[\mathrm{M}_{1} \mathrm{H}_{1}=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{z}_{2}-\mathrm{z}_{1}\right)^{2}}\]

Третий способ.

В прямоугольной декартовой системе координат у нас имеется плоскость χ. Её нормальное уравнение можно записать в виде:

cosα * x + cosβ * y + cosγ * z – p = 0

M₁H₁ вычисляется с помощью формулы:

M₁H₁= cosα * x + cosβ * y + cosγ * z – p

Это следует из теоремы, гласящей, что если в трёхмерном пространстве имеется точка M₁(x₁,y_1,z₁) и имеется нормальное уравнение плоскости, которое можно записать в виде cosα * x + cosβ * y + cosγ * z – p = 0, то расстояние от точки до плоскости будет равно

M₁H₁ = cosα * x + cosβ * y + cosγ * z – p

потому что x=x₁, y=y₁, z=z₁.

Задача

Требуется найти расстояние точки \[M_{1}\](-3, √2, -7) до лежащих около неё плоскостей:

0xy
2y-5=0

Решение:

Т. к. данная координатная плоскость соответствует уравнению вида x=0, для 0yz оно нормальное. Поэтому в левую часть выражения следует подставить значения -3. Затем берём модуль значения расстояния от точки с указанными координатами. Получаем число 3.
Делим 2y-5=0 на 2. Это позволяет нам привести его к виду y-(5/2) = 0. После соответствующих подстановок и вычисления получаем искомую величину. Она равна (5/2) — √2.