СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Напишем

СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

В статье мы расскажем о нескольких способах того, как найти расстояние от точки до плоскости, а для лучшего понимания рассмотрим пример на эту тему.

Определение расстояние от точки до плоскости

Пусть дана плоскость χ, а в пространстве задана точка M1. Через неё проходит прямая, перпендикулярная нашей χ. H1 обозначим общую точку их пересечения. Отрезок M1H1 является перпендикуляром из M1 к \[χ\]. В обсуждаемом случае H1 есть основание перпендикуляра. 

Определение 1

Под расстоянием от точки до плоскости понимают расстояние между этой точкой и основанием перпендикуляра, проходящего через неё к указанной плоскости.

Расстояние от точки до плоскости
Определение 2

Под расстоянием от точки \[M_{1}\] до плоскости χ понимают длину перпендикуляра, проведённого из \[M_{1}\] к χ. Оно является наименьшим от M1 до любой из точек плоскости.

Докажем это:

Расстояние от точки до плоскости 1

Если H2 на χ не совпадает с H1, то мы имеем прямоугольный треугольник M2H1H2. При этом M2H1 есть его катет, а M2H2 гипотенуза. Длина гипотенузы треугольника всегда больше, чем длина катета. Доказательство завершено.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Способы найти расстояние от точки до плоскости

Мы имеем точку M1 в трёхмерном пространстве с декартовыми координатами x1, y1, z1 и плоскость \[χ\]. Покажем, как в этом случае найти расстояние от M1 до \[χ\].

  • Первый способ.

    Он основан на использовании координат точки H1, которая является основанием перпендикуляра, проведённого из M1 к \[χ\]. После этого вычисление искомой величины происходит достаточно просто.
  • Второй способ.

    Сначала составляем уравнение прямой, которая перпендикулярна χ и проходит через M1. Затем выясняем координаты (x2, y2, z2) пересечения прямой \[a\] и \[χ\]. Вычисляем расстояние от точки M1 до плоскости χ, формула, по которой это делается, следующая:
\[\mathrm{M}_{1} \mathrm{H}_{1}=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{z}_{2}-\mathrm{z}_{1}\right)^{2}}\]
  • Третий способ.

    В прямоугольной декартовой системе координат у нас имеется плоскость χ. Её нормальное уравнение можно записать в виде:

    cosα * x + cosβ * y + cosγ * z – p = 0

    M1H1 вычисляется с помощью формулы:

    M1H1 = cosα * x + cosβ * y + cosγ * z – p

Это следует из теоремы, гласящей, что если в трёхмерном пространстве имеется точка M1(x1,y1,z1) и имеется нормальное уравнение плоскости, которое можно записать в виде cosα * x + cosβ * y + cosγ * z – p = 0, то расстояние от точки до плоскости будет равно

M1H1 = cosα * x + cosβ * y + cosγ * z – p

потому что x=x1, y=y1, z=z1.

Задача

Требуется найти расстояние точки \[M_{1}\](-3, √2, -7) до лежащих около неё плоскостей:

  1. 0xy
  2. 2y-5=0

Решение:

  1. Т. к. данная координатная плоскость соответствует уравнению вида x=0, для 0yz оно нормальное. Поэтому в левую часть выражения следует подставить значения -3. Затем берём модуль значения расстояния от точки с указанными координатами. Получаем число 3.
  2. Делим 2y-5=0 на 2. Это позволяет нам привести его к виду y-(5/2) = 0. После соответствующих подстановок и вычисления получаем искомую величину. Она равна (5/2) — √2.

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Хочу заработать