Представим некоторую прямую N и точку C, которая не принадлежит этой прямой. Опустим прямую из некоторой точки С к прямой N с пресечением под прямым углом в точке F. Получится отрезок CF, который будет называться наименьшим расстоянием от заданной точки C до рассматриваемой прямой N.

Расстояние от точки до прямой

Данное расстояние эквивалентно длине перпендикуляра, проложенного из рассматриваемой точки к заданной прямой.

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

На конкретных примерах нахождение расстояния между точкой и прямой заключается в вычислении высоты той или иной соответствующей фигуры – треугольника, а также параллелограмма или трапеции.

Формула нахождения расстояния от точки до прямой

Например: из точки A опущены две наклонные линии к прямой a, отношение длин которых 2:3. Найти расстояние от точки до прямой, когда длина одной проекции равна 2 см, а второй 7 см.

Дано: A∉a

AB⊥a

Наклонные AC и AD, AC:AD=2:3

Проекции этих наклонных BC = 2см и BD = 7 см

Требуется найти: AB

Решение: Считаем k – коэффициент пропорциональности. При этом BC = 2k см и BD = 3k см.

Исследуем прямоугольный треугольник ABC.

В соответствии с теоремой Пифагора получается AC2, = AC2 -BC2 откуда вычисляем:

Пример решения задачи 1

Аналогично для треугольника ACB:

Пример решения задачи 2

Найдём k, приравняв правые части полученных равенств решим уравнение:

Пример решения задачи 3

k=3, найдём AB, зная k:

\[A B=\sqrt{32}=\sqrt{16 * 2}=4 \sqrt{2}(\mathrm{~см})\]

Ответ: ближайшее расстояние от точки до прямой:

\[ 4 \sqrt{2} \mathrm{~см} \]

Расстояние между двумя точками на прямой

Равняется длине отрезка, который в заданном масштабе соединяет эти точки. Задачу измерения расстояния между соседними точками на прямой в основном рассматривают на координатной прямой, на плоскости в прямоугольной координатной системе, в трёхмерном пространстве,

На координатной прямой расстояние между двумя точками соответствует модулю разности координат конкретных точек.

Если даны точка A(x) и точка B(y), то расстояние между ними d можно вычислить по формуле d=ꟾy-xꟾ. При этом, выражение ꟾy-xꟾ можно заменить выражением ꟾx-yꟾ, полученные значения будут противоположными и их модули равны.

Пример. Даны точки A(2) и B(-6), определить расстояние между точками по прямой.

Решение. Подставим в формулы наши значения, вместо x=2 и y=-6. Следовательно

AB=ꟾy-xꟾ=ꟾ-6-2ꟾ=ꟾ-8ꟾ=8

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 8.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Расстояние между точкой и прямой на плоскости

Это наименьшее расстояние от конкретной точки до прямой. Равняется длине перпендикулярного прямой отрезка, соединяющего заданную точку и прямую.

Проложим перпендикуляры на координатной оси из точек A и B. Сделаем анализ прямоугольного треугольника ABC. Имеющего катеты равные:

\[ \mathrm{AC}=x_{b}-x_{a} \]
\[ \mathrm{BC}=y_{b}-y_{a} \]

Для вычислений применим теорему Пифагора, определим длину отрезка AB

\[ \mathrm{AB}=\sqrt{A C^{2}+B C^{2}} \]

Формула для расчёта расстояния от точки до прямой на плоскости: подставим в формулу длины имеющихся отрезков AC и BC с координатами тачек A и B. Аналогично находим расстояние между двумя точками в пространстве.

Пример. Необходимо определить расстояние между точкой A(-1,3) и точкой B(6,2).

Решение:

\[ \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{b}-x_{a}\right)^{2}+\left(y_{b}-y_{a}\right)^{2}}=\sqrt{(6-(-1))^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{7^{2}+1^{2}}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2} \]

Ответ: \[\mathrm{AB}=5 \sqrt{2}\]