Оглавление
Время чтения: 26 минут
645
На первый взгляд может показаться, что математика сложна и коварна, но это далеко не так. Если приложить усилия к её изучению, то можно удивиться тому, насколько быстро вы измените своё мнение о ней. Давайте же разберём одну из тем, которая поможет находить расстояние от точки до точки при различных условиях. После того как вы изучите данную статью, вы можете решить предоставленные задания, чтобы лучше закрепить пройденный материал.
Для начала введём некоторые определения.
Расстояние между точками – это измерение отрезка, находящегося между этими точками, составляющего длину расстояния.
Эти отрезки располагаются в определенном масштабе, потому как необходимо знать единицу длины для их измерения, без этого нельзя.
Функция – это связь величин, выражаемая в зависимости одной переменной Y, от второй переменной X.
Произвольная функция (точка) – это такая точка, которую можно расположить в любом месте.
Координатная прямая – это прямая, на которой изображают точку отсчёта 0 и единичные отрезки. Прямой также задают направление.
Действительные числа – это совокупность рациональных и иррациональных чисел.
Рациональное число – это такое число, которое может находиться в виде обыкновенной дроби, в отличие от иррационального числа.
Иррациональное число – это бесконечная непериодическая десятичная дробь. Такое число нельзя представить в виде обыкновенной дроби.
Модуль или же абсолютная величина – это обязательно неотрицательное число, которое является расстоянием определённых точек.
Чтобы найти расстояние от одной точки до другой, т.е. длину этого отрезка, нужно сравнить его с другим таким отрезком в заданном масштабе.
Рассмотрим этот способ на примере:
Здесь мы имеем координатную прямую OX, на которой отмечена точка A. Она произвольная, поэтому мы можем задать ей любое действительное число, пусть это будет 3.
Отрезок – это единица длины, поэтому все отрезки, что мы отложили от точки O нужно сложить, вследствие чего полученное количество единичных отрезков будет равняться длине отрезка OA. В данном случае здесь три отрезка, поэтому и ответ таков.
Ещё один пример, где точку отсчёта O и произвольную точку A соединяют 2 отрезка. Это значит, что расстояние длин всех единичных отрезков OA равно 2. Если же точка A будет иметь другое число, например: 6, то мы откладываем от точки O именно 6 единичных отрезков и получаем искомое расстояние.
С действительным числами всё понятно, а что делать с рациональными? Представим, что координаты точки A равны 5,5. Из этого следует, что нам нужно отложить из точки O сначала 5 единичных отрезков, то есть, целое число, а после прибавить 0,5. Иногда это кажется невозможным, ведь некоторые числа трудно представить в виде отрезка, из-за чего приходится искать самое приближенное значение числа.
Иррациональным числам данный метод не подходит, потому как такие числа нельзя поставить на координатной прямой OX. Для примера приведём числа √5, √8, √17. Здесь можно перейти к отвлечённому представлению и посмотреть на эти числа таким образом:
Также можно сказать, что это подходит и к действительным числами. Если точка A будет находиться на начальной точке O, то и расстояние между ними будет равно 0. Здесь нужно уметь хорошо работать с рисунком, тогда всё будет понятно.
Важно помнить, что расстояние между точками не может быть отрицательным.
В данном случае у нас есть модуль числа A, что является расстоянием OA и это число 3.
Если на координатной прямой будут точки A и B, то их расстояние нужно определить по модулю разности этих координат. Получается, чтобы найти длину отрезка AB, необходимо из числа точки B отнять число точки A:
4-2=2.
Представим прямоугольную систему координат и плоскость на ней, с находящимися там точками A и B. Далее проведём прямые от этих точек к осям Ox и Oy, как на изображении. В следствие этого образовались точки Ax и Ay, а также Bx и By.
Из этого можно вывести несколько вариантов:
В случае расположения точек A и B на прямой, которая в свою очередь перпендикулярна оси Ox – точки A и B совпадают, а модуль AB равен модулю AyBy. Как говорилось ранее, для нахождения длины промежутка (расстояния) между двумя точками, нужно найти разность модуля заданных координат, поэтому можно сказать, что:
|AB| = |AyBy| = |yB – yA|.
При этом совпадении их расстояние равняется 0.
Формула для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости:
\[|A B|=\sqrt{(} x B-x A)^{2}+(y B-y A)^{2}=\sqrt{0}^{2}+(y B-y A)^{2}\]
Теперь рассмотрим тот случай, когда прямая перпендикулярна оси Oy. Находится расстояние таким же образом, но уже с участием xB и xA: |AB| = |AxBx| = |xB – xA|.
Формула для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости:
\[\left.|A B|=\sqrt{(} x B-x A)^{2}+(y B-y A)^{2}=\sqrt{(} x B-x A\right)^{2}+0^{2}\]
Теперь поговорим о прямоугольном треугольнике ABC. Чтобы найти расстояние на плоскости между точкой A и точкой B, необходимо воспользоваться формулой:
|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)².
Эта формула доказывает правильность ранее написанных утверждений к тем заданиям, на графиках которых точки лежат на прямой, перпендикулярной Ox и Oy.
Если точки совпадают, к ним справедливо равенство:
|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)² = √0² + 0² = 0.
По рисунку видно, что:
|AC| = |AxBx|, а также |BC|=|AyBy|. Далее вспомним теорему Пифагора и с её помощью запишем равенство:
|AB|² = |AC|² + |BC|²
|AB|² = |AxBx|² + |AyBy|²
√|AxBx|² + |AyBy|²
√|xB – xA|² + |yB – yA|²
√(xB – xA)² + (yB – yA)²
Пример
Найдите расстояние между двумя точками на плоскости, если известно, что они находятся на прямоугольной системе координат со значениями: A (3, –1), а также B (X + 3, 7). Также надо найти значение действительного числа X, зная, что при них расстояние между точками будет равно 10.
Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать формулу:
|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)².
После этого действия подставляем вышеприведённые числа:
√(X + 3 – 3)² + (7 – ( – 1))² = √X² + 64.
Далее обратим внимание на то, что |AB| = 10 и составим равенство:
√X² + 64 = 10
X² + 64 = 100
X = ± 6
Ответ: |AB| = 10, при X = ±6.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Более сложным заданием на нахождение расстояния является то, где точки расположены в пространстве, а не на плоскости.
Возьмём точки, имеющие свои координаты: A (xA, yA, zA), B (xB, yB, zB). Они размещены на прямоугольной системе координат Oxyz. Имея эти данные, мы можем приступить к поиску расстояния между этими точками.
Итак, проведём плоскости через наши точки A и B, которые должны быть перпендикулярными осям с заданными координатами. Таким образом мы получаем точки точки проекции: Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz. Так и получился параллелепипед, диагональ которого равна расстоянию точек.
Для нахождения диагонали нужно вспомнить, что она находится путем сложения квадратных измерений точек проекции:
\[|A B|^{2}=|A x B x|^{2}+|A y B y|^{2}+\left.|A| z B z\right|^{2}\]
После чего выполним такие действия:
|AxBx| = |xB – xA|
|AyBy| = |yB – yA|
|AzBz| = |zB – zA|
Теперь выполним преобразование получившегося выражения:
|AB|² = |AxBx|² + |AyBy|² + |AzBz|² = |xB – xA|² + |yB – yA|² + |zB – zA|² = (xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².
После всех этих действий мы можем выделить основную формулу, которая применяется для нахождения расстояния точек в пространстве:
=√(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².
Её можно применять в тех случаях, когда точки располагаются на прямой, которая параллельна координатной оси или же они находятся на этой координатной оси. При совпадении точек эта формула также действительна.
Пример
Найдите расстояние между точками, которые лежат на прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве, координаты которых: A (2, 3, 4), а также B (-6, -1, 5).
Перейдём к решению, воспользовавшись формулой:
√(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².
Подставляем имеющиеся значения:
√(–6 – 2)² + (–1 – 3)² + (5 – 4)² = √64 + 16 + 1 = √81 = 9.
Ответ: расстояние |AB| равно 9.
Ответы с решением:
