СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Напишем

СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Кубическим называют уравнение, в котором только одна переменная представлена в третьей степени. Такие выражения в любом случае имеют от одного до трех корней. Значения, которые получаются при решении таких уравнений, могут быть равными друг другу или комплексными, если их не более двух.

Решение кубических уравнений – это решение уравнений, имеющих вид: \[\boldsymbol{a y^{3}+b y^{2}+c y+d=0}\].

В уравнении такого типа a не равно 0, вместо b,c,d могут быть любые однозначные числа.

Данный вид уравнения имеет как минимум один корень – y1.

Решение таких равнений может осуществляться разными способами. Оно может преобразовываться в стандартное квадратное уравнение. В таком случае предстоит выбрать один из трех вариантов решения квадратного уравнения:

  • разложение на множители;
  • применение формул для квадратных уравнений;
  • метод дополнения.

Решение кубических уравнений может осуществляться посредством формулы Кардано, а также теоремы Виета. Теорема Виета применяется для решения последней, четвертой степени.

Решение кубических уравнений с двумя членами

Уравнение будет иметь вид: \[\boldsymbol{a y^{3}+b=0}\]

Для решения необходимо преобразовать его: \[y^{3}=b / a=0\]

Деление на a предполагает вместо нее любую цифру, кроме 0. После преобразования можно применить формулы для решения кубических уравнений, например, сокращенного умножения суммы кубов:

y3=b/a=0

(y+3√b/a)(y23√b/a*y+3√(b/a)2)=0

В результате из первой скобки выводим:

y=-3√b/a

во второй скобке получаем выражение – трехчлен:

y2-3√b/a*y+3√(b/a)2

Методы решения кубических уравнений возвратного вида

Алгоритм решения кубического уравнения возвратного вида отличается от предыдущего, так как оно выглядит следующим образом:

\[\boldsymbol{a y^{3}+b y^{2}+b y+a=0}\]

В этом уравнении переменные a и b – это коэффициенты.

Первым делом при решении таких уравнений в математике выполняется группировка:

ay3+by2+by+a=a(y3+1)+b(y2+y)=a(y+1)(y2-y+1)+by(y+1)=(y+1)(ay2+y(b-a)+a)

В полученном выражении корень равен y=-1. Исходя из этого, чтобы получить корень квадратного трехчлена ay2+y(b-a)+a, потребуется найти дискриминант.

Определение

Дискриминант – произведение квадратов разностей корней в различных вариаций.

Решение кубических уравнений в составе которых рациональные корни

Предположим, что y=0. В этом случае он будет корнем уравнения, которое выглядит следующим образом:

ay3+by2+cy+d=0

При условии, что в уравнении свободные члены, d=0. Преобразуем уравнение и получим:

ay3+by2+cy=0

Решение кубических уравнений такого вида предполагает вынесение y за скобку. В итоге получается уравнение вида:

y(ay2+by+c)=0

Рассмотрим на конкретном примере, как решить кубическое уравнение с подробным решением:

5y3+2y2+4y=0

Решение:

Первым делом стоит упростить уравнение.

5y3+2y2+4y=0

Получим уравнение вида:

y(5y2+2y+4)=0

y=0, так как является корнем выражения.

Следующий шаг – поиск корней квадратного трехчлена 5y2+2y+4, который мы получили после упрощения. Для поиска приравняем к нулю и будем использовать дискриминант.

В ходе решения кубического уравнения с дискриминантом получим:

D=22-2*5*4=-38

Так как в ответе мы получили отрицательное значение, корней у данного трехчлена нет, значит x=0.

Если в уравнениях вида ay3+by2+cy+d=0 коэффициентами являются целые числовые значения, то при решении таких уравнений и нахождении его значения мы может получить иррациональные корни.

В случае, когда a не равно 0, при умножении на a2 каждой составляющей уравнения происходит замещение переменных, и получается: x=ay

ay3+by2+cy+d=0

Каждую составляющую выражения умножаем на a2:

a3*y3+b*a2*y2+c*a*a*y+d*a2=0

Учитывая, что решение кубических уравнений с подробным решением предполагает замещение переменных x=ay, то:

x2+b*x2+c*a*x+d*a2

Полученное уравнение является кубическим. В таких уравнениях корни могут быть разными – и целыми, и рациональными. Чтобы привести такое уравнение к тождественному равенству, потребуется подставить делители в полученное равенство. В этом случае полученный x1 будет корнем, и в то же время корнем начального уравнения:

x1=y1/a

Чтобы найти значение корней квадратного трехчлена, потребуется многочлен ay3+by2+cy+d разделить на y-y1.

Рассмотрим решение кубических уравнений такого вида на примере.

Пример:

Решить уравнение \[x 3-3 x 2-13 x+15=0\].

Решение:

Ищем первый корень перебором чисел: \[0, \pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm15\] и подстановкой в уравнение. В результате находим, что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого уравнения на двухчлен x-1 и получаем:

Теперь, решая квадратное уравнение: \[x 2-2 x-15=0\], находим оставшиеся два корня: x1=-3 и x2=5.

Ответ: 1; -3; 5.

Такой способ решения кубических уравнений используется для преобразования и решения возвратных уравнений. Из приведенного примера видно, что корнем является -1, значит, левую часть можно разделить на x+1. После того, как эти действия выполнены, можно находить корни квадратного трехчлена. Если рациональные корни отсутствуют, необходимо находить иные методы решения и разложения многочлена на множители.

Решение кубического уравнения с помощью формулы Кардано

Есть еще один способ — формула Кардано для решения кубических уравнений.

Если взять уравнение вида B0y3+B1y2+B2y+B3=0, то A1=B1/B0, A2=B2/B0, A3=B3/B0.

Z=-A21/3+A2

P=2A31/27-A1A2/3+A3.

Выведенные значение Z и P подставим в формулу Кардано.

X=3√-P/2+√P2/4+Z3/27+3√-P/2-+√P2/4+Z3/27

В итоге подбор кубических корней должен соответствовать значению –Z/3. В этом случае корни исходного уравнения будут выглядеть следующим образом:

y=x-A1/3

Применить формулу Кордано можно на примере для наглядности.

Пример

Решить уравнение \[x^{3}+6 x^{2}+3 x-10=0\]

Решение

Данное уравнение легко решается и без применения формулы Кардано. Легко подобрать корень \[x=1\]. Делением \[x=1\] левой части уравнения по схеме Горнера получаем:

\[\begin{array}{r}+\begin{array}{r}1&6&3&-10\\0&1*1=1&7*1=7&10*1=10\\\end{array} \\\hline\begin{array}{r}1\quad\quad\quad&7\quad\quad\quad&10\quad\quad\quad\quad&0\end{array}\end{array}\]

Следовательно, \[x^{2}+7 x+10=0\]. Решая это квадратное уравнение, получаем

\[x=\frac{-7 \pm \sqrt{7^{2}-4 * 1 * 10}}{2} \Leftrightarrow x_{1}=-2, \quad x_{2}=-5\]

А теперь найдем корни исходного уравнения по формуле Кардано. Для данного уравнения \[a=1, b=6, c=3, d=-10\]. Замена переменной \[x=y-\frac{b}{3 a}=y-\frac{6}{3}=y-2\] приводит исходное уравнение к виду \[y^{3}+p y+q=0\], где:

\[p=\frac{3 a c-b^{2}}{3 a^{2}}=\frac{3 * 1 * 3-6^{2}}{3 * 1^{2}}=-9, \quad q=\\\frac{2 b^{3}-9 a b c+27 a^{2} d}{27 a^{3}}=\frac{2 * 6^{3}-9 * 1 * 6 * 3+27 * 1^{2} *(-10)}{27 * 1^{3}}=0\]

Вычислим дискриминант этого уравнения:

\[\Delta=\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}=\left(\frac{0}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{9}{3}\right)^{3}=-27\]

Так \[\Delta<0 \quad=>\] каноническое уравнение имеет 3 действительных корня. Поскольку \[q=0 \Rightarrow \varphi=\frac{\pi}{2}=>\]

\[y_{1}=2 \sqrt{-\frac{p}{3}} * \cos \left(\frac{\varphi}{3}\right)=2 \sqrt{-\frac{-9}{3}} * \cos \left(\frac{\frac{\pi}{2}}{3}\right)=2 \sqrt{3} * \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=2 \sqrt{3} * \frac{\sqrt{3}}{2}=3,\\y_{2}=2 \sqrt{-\frac{p}{3}} * \cos \left(\frac{\varphi}{3}+\frac{2 \pi}{3}\right)=2 \sqrt{3} * \cos \left(\frac{\frac{\pi}{2}}{3}+\frac{2 \pi}{3}\right)=2 \sqrt{3} * \cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)=-2 \sqrt{3} * \frac{\sqrt{3}}{2}=-3,\\y_{3}=2 \sqrt{-\frac{p}{3}} * \cos \left(\frac{\varphi}{3}+\frac{4 \pi}{3}\right)=2 \sqrt{3} * \cos \left(\frac{\frac{\pi}{2}}{3}+\frac{4 \pi}{3}\right)=2 \sqrt{3} * \cos \left(\frac{3 \pi}{2}\right)=0.\]

В данном случае для корней начального уравнения мы получим:

x1=y1-2=3-2=1;

x2=y2-2=-3-2=-5;

x3=y3-2=0-2=-2.

Получаем ответы: 1, -5, -2.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Общее решение кубического уравнения, если известен один из корней

За исходное уравнение возьмем следующее:

y3+ay2+by+c=0

Предположим, что a,b,c являются действительными цифровыми значениями. Известный корень пометим, как y1. В таком случае, если произвести деление начального уравнения y3+ay2+by+c=0 на y-y1 получим квадратное уравнение. При решении такого уравнения удастся найти еще два корня – y2 и y3.

Чтобы доказать это, преобразуем кубический многочлен следующим образом:

y3+ay2+by+c=(y-y1)(y-y2)(y-y3)

При решении таких уравнений часто допускаются ошибки. Их решение – это сложное, многократное преобразование, которое требует точного знания формул и математических законов. Чтобы избежать ошибок и погрешностей, потребуется применить не только практические навыки, но и теоретические знания. Для решения кубических уравнений можно использовать специальный онлайн калькулятор. Принцип его действия основан на формуле Кардано. В том случае, если один или несколько коэффициентов такого уравнения равны нулю, или между ними присутствует определенная зависимость, решение будет более простым.

Чтобы научиться решать подобные уравнения, необходимо рассматривать примеры и тренироваться на их решении разными способами.

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Хочу заработать