Квадратное уравнение — это выражение, которое записывается как \[\boldsymbol{a \cdot x^{2}+b \cdot x+c=0}\]

Значение х — это переменное число.

a, b, c — это числовые данные, которые обязательно должны иметь значение отличное от нулевого.

Квадратные уравнения довольно часто именуют, как выражения второго типа или степени. Это связано, в первую очередь, с тем, что такое выражение есть алгебраическое уравнение второй степени.

В виде примера данное квадратное уравнение можно представить следующим образом:

\[\begin{gathered} 9 \cdot x^{2}+16 \cdot x+2=0 \\ 7.5 \cdot x^{2}+3.1 \cdot x+0.11=0 \end{gathered}\]

Числовые значения, обозначаются буквами a, b, c и являются коэффициентами квадратного уравнения \[a \cdot x^{2}+b \cdot x+c=0\].

Коэффициент а — это главный показатель, b — это второй коэффициент или значение при x. Значение с — называется свободным числовым членом.

Например: в квадратном уравнении \[6 \cdot x^{2}-2 \cdot x-11=0\] старшим коэффициентом будет являться цифра 6, вторым соответственно −2, а свободным членом −11.

Стоит отметить, что когда значения коэффициентов являются отрицательными числами, то в процессе решения используется упрощенный вариант уравнения.

Определение

Уравнения приведенного и не приведенного типа.

Приведенное квадратное уравнение — это такой тип уравнения, где главный или старший коэффициент равняется единичному значению. В случае, если значение будет отрицательным, то уравнение будет считаться не приведенным.

Пример: заданные выражения \[x^{2}-4 \cdot x+3=0 \quad, \quad x^{2}-x-\frac{4}{5}=0\] будут являться приведенными, потому что в каждом из них старший коэффициент равен единице.  

\[9 \cdot x^{2}-x-2=0\] — такое выражение будет не приведенным, так как первый коэффициент равен меньше единицы.

Каждое неприведенное квадратное уравнение всегда можно преобразовать в приведенное уравнение. Если выполнить деление обеих частей на первый коэффициент.

Преобразованное выражение будет иметь такие же значения корней, как и заданное уравнение. Либо не будет иметь корней вовсе.

Рассмотрим решение уравнений данного типа на конкретном примере. И подробно разберем выполнение преобразования из не приведенного к приведенному уравнению.

Пример 1

По условие задано уравнение \[6 \cdot x^{2}-18-7=0\]

Нужно провести преобразование исходного значения приведенное уравнение.

Решение задачи:

Обе части данного примера необходимо разделить на старший коэффициент 6. Следовательно, после проведенного вычисления получаем вид уравнения: \[\left(6 \cdot x^{2}+18 \cdot x-7\right) \div 3=0 \div 3\]

\[\left(6 \cdot x^{2}\right) \div 3+(18 \cdot x) \div 3-7 \div 3=0 \Rightarrow(6 \div 6) \cdot x^{2}+(18 \div 6) \cdot x-7 \div 6=0\\x^{2}+3 \cdot x-1 \frac{1}{6}=0\]

Полученный вид выражения будет соответствовать заданному.

Ответ: \[x^{2}+3 \cdot x-1 \frac{1}{6}=0\].

Полные и неполные квадратные уравнения

Определения

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, где один из коэффициентов будет равняться нулевому значению.

Полное квадратное уравнение — это выражение, где все имеющиеся коэффициенты будут равны значениями больше нулевого.

Почему данные уравнения имеют именно такие наименования. Для этого нужно провести своего рода анализ.

При значении b=0 можно сделать запись: \[a \cdot x^{2}+0 \cdot x+1=0 \Leftrightarrow a \cdot x^{2}+c=0\].

При значении с=0 можно сделать запись: \[a \cdot x^{2}+b \cdot x+0=0 \Leftrightarrow a \cdot x^{2}+b \cdot x=0\].

При значении b=0, с=0 можно сделать запись: \[a \cdot x^{2}=0\]. Полученные уравнения отличаются от стандартного типа.

Например:

\[x^{2}+3 \cdot x+4=0 \text { n }-7 \cdot x^{2}-2 \cdot x+1.3=0\] — это будут полные квадратные уравнения.

\[x^{2}=0,-5 \cdot x^{2}=0,11 \cdot x^{2}+2=0, x^{2}-6 \cdot x=0\] — неполные квадратные уравнения.

Принцип решения неполных уравнений

Уравнение \[a \cdot x^{2}=0\].

Для данного уравнения соответствуют коэффициенты b и с. Их значения равны нулю. Данное выражение можно преобразовать и записать как равносильное \[x^{2}=0\]. Его можно получить выполнив деление обеих частей исходного уравнения. Корень значения будет равняться ноль. Так как \[0^{2}=0\]. Любых других корней уравнение не имеет, это объясняется основными свойствами степени.

Для любого значения p, которое не равно нулю, будет верно следующее неравенство \[p^{2}>0\] из этого следует, что \[p \neq 0\].

Для неполного уравнения существует один единственный корень x=0.

Примеры 2 — 4

\[\boldsymbol{-3 \cdot x^{2}=0}\]

Данной записи равносильно \[x^{2}=0\]. Единственным корнем будет нулевое значение.

Решение:

\[-3 \cdot x^{2}=0;\\\begin{aligned}&x^{2}=0; \\ &x=0. \end{aligned}\]


Задано уравнение \[\boldsymbol{-x^{2}+36=0}\]

Нужно выполнить полное решение данного выражения, используя правила неполных уравнений.

Решение:

Значение равное 36 нужно перенести в правую часть примера: \[-x^{2}=-36\]

Обе части уравнения разделим на значение равное -1 и получим следующее уравнение \[x^{2}=36\]. В правой части будет положительное значение. Следовательно \[x=\sqrt{36}\] или \[x=-\sqrt{36}\].

Выполним извлечение корня и получим следующее выражение: \[-x^{2}+36=0\], которое имеет два корня \[x=6\] и \[x=-6\].

Ответ: \[x=6\] и \[x=-6\]


Нужно провести решение следующего уравнения: \[\boldsymbol{\frac{2}{3} \cdot x^{2}-2 \frac{2}{7} \cdot x=0}\]

Решение:

Значение x нужно вынести за скобки. После выполнения всех вычислений получим следующую запись: \[x \cdot\left(\frac{2}{3} \cdot x-2 \frac{2}{7}\right)=0\]

Данная запись будет эквивалента \[x=0\] и \[\frac{2}{3} \cdot x-2 \frac{2}{7}=0\]. Далее выполняем решение составленного уравнения: \[\frac{2}{3} \cdot x=2 \frac{2}{7}, x=\frac{2 \frac{2}{7}}{\frac{2}{3}}\].

Выполняем деление смешанного числа на обыкновенную дробь и определяем, что \[x=3 \frac{3}{7}\]

Корни исходного уравнения являются: \[x=0\] и \[x=3 \frac{3}{7}\]

Краткое решение будет выглядеть так:

\[\frac{2}{3} \cdot x^{2}-2 \frac{2}{7} \cdot x=0;\\x \cdot\left(\frac{2}{3} \cdot x-2 \frac{2}{7}\right)=0;\\x=0 \text { или } \frac{2}{3} \cdot x-2 \frac{2}{7}=0;\\x=0 \text { или } x=3 \frac{3}{7}.\]

Ответ: \[x=0 \text { или } x=3 \frac{3}{7}\].

Дискриминант, формула корней уравнения

Чтобы решить квадратное уравнение, нужно применять следующие формулы:

\[\boldsymbol{x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}}\]

\[\boldsymbol{D=b^{2}-4 \cdot a \cdot c}\] — это дискриминант квадратного уравнения.

\[x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a} \Leftrightarrow x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2 \cdot a} \chi_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2 \cdot a}\]

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам квадратных уравнений

Решать квадратные уравнения возможно, используя формулу корней, но в основном такие формулы применяют при необходимости найти комплексные корни. Однако, более распространенный метод решения: поиск не комплексных, действительных корней квадратного уравнения. Перед началом вычислений нужно определить дискриминант и убедиться, что полученное значение является положительным. После всех вычислений можно приступать к решению уравнения.

Для решения уравнения \[a \cdot x^{2}+b \cdot x+c=0\] нужно выполнить следующее действие по формуле: \[D=b^{2}-4 \cdot a \cdot c\] и определить значение дискриминанта.

При D<0 можно сделать вывод об отсутствии у выражения действительных корней.

При D=0 нужно определить единственный корень уравнения \[x=\frac{-b}{2 \cdot a}\].

При D>0 определяется два действительных коревых значения, используя формулу: \[x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}\].

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Примеры решения квадратных уравнений

Примеры 5 — 7

Нужно найти значения корней следующего уравнения: \[x^{2}+2 \cdot x-6=0\]

Решение:

Для заданного квадратного уравнения запишем числовые коэффициенты.

\[a=1, b=2, c=-6\]

Далее согласно алгоритма решения, можно выполнять вычисление дискриминанта. Для этого известные коэффициенты подставим в формулу.

\[D=b^{2}-4 \cdot a \cdot c=2^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-6)=4+24=28\]

В ходе вычислений получаем D>0, значит исходному уравнению будет соответствовать два корня.

Чтобы определить значения корней воспользуемся следующей формулой: \[X=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}\].

Подставив значения получим следующий вид выражения: \[x=\frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}\].

Выражение можно упростить, для этого множитель выносится за знак корня и далее выполняется сокращение дробной части.

\[x=\frac{-2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}\\x=\frac{-2+2 \sqrt{7}}{2} \text { или } x=\frac{-2-2 \sqrt{7}}{2}\\x=-1+\sqrt{7} \text { или } x=-1-\sqrt{7}\]

Ответ: \[x=-1+\sqrt{7}\] или \[x=-1-\sqrt{7}\].


Задано квадратное уравнение \[\boldsymbol{-4 \cdot x^{2}+28 \cdot x-49=0}\]

Нужно выполнить решение заданного выражения. Для этого воспользуемся алгоритмом решения данных задач.

Решение:

Для начала нужно определить дискриминант, используя формулу: \[D=28^{2}-4 \cdot(-4) \cdot(-49)=784-784=0\]

При значении дискриминанта равным ноль, уравнение будет иметь лишь один квадратный корень, который вычисляется по следующей формуле:

\[x=\frac{-b}{2 \cdot a}\\x=\frac{-28}{2 \cdot(-4)}=3.5\]

Ответ: 3.5.


Дано уравнение: \[\boldsymbol{5 \cdot y^{2}+6 \cdot y+2=0}\]

Решение:

Запишем числовые коэффициенты данного уравнения \[a=5, b=6, c=2\].

Применяя данные значения можно вычислить значение дискриминанта. Для этого запишем следующую формулу:

\[D=b^{2}-4 \cdot a \cdot c=6^{2}-4 \cdot 5 \cdot 2=36+40=-4\]

Полученное значение дискриминанта является отрицательным, исходя из этого можно сказать, что уравнение не будет иметь действительных корней.

В ситуации, когда стоит задача выделить комплексные корни, нужно применить формулу корней, при этом выполняя действия с комплексными числами:

\[x=\frac{-6 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 5}\\x=\frac{-6+2 i}{10} \text { или } x=\frac{-6-2 i}{10}\\x=\frac{3}{5}+\frac{1}{5} \cdot i \text { или } x=-\frac{3}{5}-\frac{1}{5} \cdot i\]

Ответ: Действительные корневые значения для заданного уравнения будут отсутствовать. Комплексные значения корней будут следующими: \[x=\frac{3}{5}+\frac{1}{5} \cdot i\] или \[x=-\frac{3}{5}-\frac{1}{5} \cdot i\].

Основные формулы для четных вторых коэффициентов.

\[x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}\left(D=b^{2}-4 \cdot a \cdot c\right)\] дает возможность вывести еще одну формулу, которая будет более компактней.

Выведем формулу. Для этого решим следующее уравнение \[a \cdot x^{2}+2 \cdot n \cdot x+c=0\]

\[\mathrm{D}=(2 \cdot n)^{2}-4 \cdot a \cdot c=4 \cdot n^{2}-4 \cdot a \cdot c=4 \cdot\left(n^{2}-a \cdot c\right)\]

Далее будем использовать уже известные формулы корней:

\[x=\frac{-2 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}\\x=\frac{-2 \pm \sqrt{4 \cdot\left(n^{2}-a \cdot c\right)}}{2 \cdot a}\\x=\frac{-2 \pm \sqrt{n^{2}-a \cdot c}}{2 \cdot a}\\x=\frac{-n \pm \sqrt{n^{2}-a \cdot c}}{2 \cdot a}\]

Значение n2 — a * c обозначим как D1. Тогда необходимая формула корней для заданного уравнения будет выглядеть следующим образом:

\[x=\frac{-2 \pm \sqrt{D_{1}}}{2 \cdot a}\\D_{1}=n^{2}-a \cdot c\]

Можно сделать вывод, что при необходимости вычисления квадратного уравнения, у которого присутствует второй коэффициент нужно:

Определить \[D_{1}=n^{2}-a \cdot c\]

При условии, что: \[D_{1}<0\] в данном случае действительные корни будут отсутствовать.

\[D_{1}=0\], можно определить один единственный корень по формуле: \[x=\frac{-n}{a}\]

D1 > 0, можно определить два действительных корня используя следующую формулу: \[\chi=\frac{-n \pm \sqrt{D_{1}}}{a}\]

Пример 8

Дано квадратное уравнение: \[\boldsymbol{5 \cdot x^{2}-6 \cdot x-32=0}\]

Значение второго коэффициента в заданном выражении равен \[2 \cdot(-3)\].

Перепишем выражение следующим образом:

\[5 \cdot x^{2}-2 \cdot(-3) \cdot x-32=0\]. Где a=5, n=-3, n=-32.

Следующим действием произведем четвертой части дискриминанта:

\[D_{1}=n^{2}-a \cdot c=(-3)^{2}-5 \cdot(-32)=9+160=169\]

Уравнение будет иметь два действительных корня, так как полученное значение положительное:

\[x=\frac{-2 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}\\x=\frac{-(-3) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot a}\\x=\frac{3 \pm 13}{5}\\x=\frac{3+13}{5} \text { или } x=\frac{3-13}{5}\\x=3 \frac{1}{5} \text { или } x=-2\]

Вычисление можно выполнять и по обычной формуле квадратного уравнения. Однако такой формат решения будет слишком громоздким.

Ответ: \[x=3 \frac{1}{5}\] или \[x=-2\]

Принцип упрощения уравнения

Иногда  предоставляется возможность значительно упростить квадратное уравнение. Это необходимо, чтобы облегчить весь процесс выполнения решения. 

Например: задано обычное квадратное уравнение \[12 \cdot x^{2}-4 \cdot x-7=0\], такое выражение решать гораздо легче и быстрее, чем \[1200 \cdot x^{2}-400 \cdot x-700=0\].

Лучше всего преобразование делать путем умножения или деления обеих частей уравнения на некое число.

Например: упрощенный вариант записи \[1200 \cdot x^{2}-400 \cdot x-700=0\], получается путем деления обеих частей на числовое значение равное 100.

Данное преобразование имеет смысл, когда коэффициенты квадратного уравнения не являются взаимными простыми числами. В таком случае осуществляют деление частей выражения на максимальный общий делитель всех абсолютных величин его коэффициентов.

Связь между корнями и коэффициентами

Запишем уже известную нам формулу \[x=\frac{-n \pm \sqrt{D_{1}}}{a}\]. Данная формула выражает корни уравнения, используя его числовые коэффициенты. Основываясь на данную формулу, можно определить несколько зависимостей между корнем и коэффициентом уравнений.   

Для этого лучше всего использовать теорему Виета. Именно она и является наиболее популярным способом в математике.

\[x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} x_{2}=\frac{1}{a}\]

Для приведенного уравнения сумма корней и будет второе значение коэффициента. Знак у числа будет противоположный, а произведение корневых значений будет являться свободным членом.

Например: квадратное уравнение: \[3 \cdot x^{2}-7 \cdot x+22=0\]. Сразу можно вычислить, что сумма коней будет равняться \[\frac{7}{3}\], следовательно, произведение \[\frac{22}{3}\].

Таким образом можно найти несколько прочих связей между корневыми значениями и коэффициентами квадратного уравнения.

Например: сумма корней может быть выражена через коэффициенты:

\[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 \cdot x_{1} \cdot x_{2}=\\\left(-\frac{b}{a}\right)^{2}-2 \cdot \frac{c}{a}=\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{2 c}{a}=\frac{b^{2-2 \cdot a \cdot c}}{a^{2}}\]