Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры
Квадратное уравнение — это выражение, которое записывается как \[\boldsymbol{a \cdot x^{2}+b \cdot x+c=0}\]
Значение х — это переменное число.
a, b, c — это числовые данные, которые обязательно должны иметь значение отличное от нулевого.
Квадратные уравнения довольно часто именуют, как выражения второго типа или степени. Это связано, в первую очередь, с тем, что такое выражение есть алгебраическое уравнение второй степени.
В виде примера данное квадратное уравнение можно представить следующим образом:
Числовые значения, обозначаются буквами a, b, c и являются коэффициентами квадратного уравнения \[a \cdot x^{2}+b \cdot x+c=0\].
Коэффициент а — это главный показатель, b — это второй коэффициент или значение при x. Значение с — называется свободным числовым членом.
Например: в квадратном уравнении \[6 \cdot x^{2}-2 \cdot x-11=0\] старшим коэффициентом будет являться цифра 6, вторым соответственно −2, а свободным членом −11.
Стоит отметить, что когда значения коэффициентов являются отрицательными числами, то в процессе решения используется упрощенный вариант уравнения.
Уравнения приведенного и не приведенного типа.
Приведенное квадратное уравнение — это такой тип уравнения, где главный или старший коэффициент
равняется единичному значению. В случае, если значение будет отрицательным, то уравнение будет считаться не
приведенным.
Пример: заданные выражения \[x^{2}-4 \cdot x+3=0 \quad, \quad x^{2}-x-\frac{4}{5}=0\] будут являться приведенными, потому что в каждом из них старший коэффициент равен единице.
\[9 \cdot x^{2}-x-2=0\] — такое выражение будет не приведенным, так как первый коэффициент равен меньше единицы.
Каждое неприведенное квадратное уравнение всегда можно преобразовать в приведенное уравнение. Если выполнить деление обеих частей на первый коэффициент.
Преобразованное выражение будет иметь такие же значения корней, как и заданное уравнение. Либо не будет иметь корней вовсе.
Рассмотрим решение уравнений данного типа на конкретном примере. И подробно разберем выполнение преобразования из не приведенного к приведенному уравнению.
По условие задано уравнение \[6 \cdot x^{2}-18-7=0\]
Нужно провести преобразование исходного значения приведенное уравнение.
Решение задачи:
Обе части данного примера необходимо разделить на старший коэффициент 6. Следовательно, после проведенного вычисления получаем вид уравнения: \[\left(6 \cdot x^{2}+18 \cdot x-7\right) \div 3=0 \div 3\]
\[\left(6 \cdot x^{2}\right) \div 3+(18 \cdot x) \div 3-7 \div 3=0 \Rightarrow(6 \div 6) \cdot x^{2}+(18 \div 6) \cdot x-7 \div 6=0\\x^{2}+3 \cdot x-1 \frac{1}{6}=0\]
Полученный вид выражения будет соответствовать заданному.
Ответ: \[x^{2}+3 \cdot x-1 \frac{1}{6}=0\].
Полные и неполные квадратные уравнения
Неполное квадратное уравнение — это уравнение, где один из коэффициентов будет равняться нулевому значению.
Полное квадратное уравнение — это выражение, где все имеющиеся коэффициенты будут равны значениями больше нулевого.
Почему данные уравнения имеют именно такие наименования. Для этого нужно провести своего рода анализ.
При значении b=0 можно сделать запись: \[a \cdot x^{2}+0 \cdot x+1=0 \Leftrightarrow a \cdot x^{2}+c=0\].
При значении с=0 можно сделать запись: \[a \cdot x^{2}+b \cdot x+0=0 \Leftrightarrow a \cdot x^{2}+b \cdot x=0\].
При значении b=0, с=0 можно сделать запись: \[a \cdot x^{2}=0\]. Полученные уравнения отличаются от стандартного типа.
Например:
\[x^{2}+3 \cdot x+4=0 \text { n }-7 \cdot x^{2}-2 \cdot x+1.3=0\] — это будут полные квадратные уравнения.
\[x^{2}=0,-5 \cdot x^{2}=0,11 \cdot x^{2}+2=0, x^{2}-6 \cdot x=0\] — неполные квадратные уравнения.
Принцип решения неполных уравнений
Уравнение \[a \cdot x^{2}=0\].
Для данного уравнения соответствуют коэффициенты b и с. Их значения равны нулю. Данное выражение можно преобразовать и записать как равносильное \[x^{2}=0\]. Его можно получить выполнив деление обеих частей исходного уравнения. Корень значения будет равняться ноль. Так как \[0^{2}=0\]. Любых других корней уравнение не имеет, это объясняется основными свойствами степени.
Для любого значения p, которое не равно нулю, будет верно следующее неравенство \[p^{2}>0\] из этого следует, что \[p \neq 0\].
Для неполного уравнения существует один единственный корень x=0.
\[\boldsymbol{-3 \cdot x^{2}=0}\]
Данной записи равносильно \[x^{2}=0\]. Единственным корнем будет нулевое значение.
Решение:
\[-3 \cdot x^{2}=0;\\\begin{aligned}&x^{2}=0; \\ &x=0. \end{aligned}\]
Задано уравнение \[\boldsymbol{-x^{2}+36=0}\]
Нужно выполнить полное решение данного выражения, используя правила неполных уравнений.
Решение:
Значение равное 36 нужно перенести в правую часть примера: \[-x^{2}=-36\]
Обе части уравнения разделим на значение равное -1 и получим следующее уравнение \[x^{2}=36\]. В правой части будет положительное значение. Следовательно \[x=\sqrt{36}\] или \[x=-\sqrt{36}\].
Выполним извлечение корня и получим следующее выражение: \[-x^{2}+36=0\], которое имеет два корня \[x=6\] и \[x=-6\].
Ответ: \[x=6\] и \[x=-6\]
Нужно провести решение следующего уравнения: \[\boldsymbol{\frac{2}{3} \cdot x^{2}-2 \frac{2}{7} \cdot x=0}\]
Решение:
Значение x нужно вынести за скобки. После выполнения всех вычислений получим следующую запись: \[x \cdot\left(\frac{2}{3} \cdot x-2 \frac{2}{7}\right)=0\]
Данная запись будет эквивалента \[x=0\] и \[\frac{2}{3} \cdot x-2 \frac{2}{7}=0\]. Далее выполняем решение составленного уравнения: \[\frac{2}{3} \cdot x=2 \frac{2}{7}, x=\frac{2 \frac{2}{7}}{\frac{2}{3}}\].
Выполняем деление смешанного числа на обыкновенную дробь и определяем, что \[x=3 \frac{3}{7}\]
Корни исходного уравнения являются: \[x=0\] и \[x=3 \frac{3}{7}\]
Краткое решение будет выглядеть так:
\[\frac{2}{3} \cdot x^{2}-2 \frac{2}{7} \cdot x=0;\\x \cdot\left(\frac{2}{3} \cdot x-2 \frac{2}{7}\right)=0;\\x=0 \text { или } \frac{2}{3} \cdot x-2 \frac{2}{7}=0;\\x=0 \text { или } x=3 \frac{3}{7}.\]
Ответ: \[x=0 \text { или } x=3 \frac{3}{7}\].
Дискриминант, формула корней уравнения
Чтобы решить квадратное уравнение, нужно применять следующие формулы:
\[\boldsymbol{D=b^{2}-4 \cdot a \cdot c}\] — это дискриминант квадратного уравнения.
Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам квадратных уравнений
Решать квадратные уравнения возможно, используя формулу корней, но в основном такие формулы применяют при необходимости найти комплексные корни. Однако, более распространенный метод решения: поиск не комплексных, действительных корней квадратного уравнения. Перед началом вычислений нужно определить дискриминант и убедиться, что полученное значение является положительным. После всех вычислений можно приступать к решению уравнения.
Для решения уравнения \[a \cdot x^{2}+b \cdot x+c=0\] нужно выполнить следующее действие по формуле: \[D=b^{2}-4 \cdot a \cdot c\] и определить значение дискриминанта.
При D<0 можно сделать вывод об отсутствии у выражения действительных корней.
При D=0 нужно определить единственный корень уравнения \[x=\frac{-b}{2 \cdot a}\].
При D>0 определяется два действительных коревых значения, используя формулу: \[x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}\].
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Примеры решения квадратных уравнений
Нужно найти значения корней следующего уравнения: \[x^{2}+2 \cdot x-6=0\]
Решение:
Для заданного квадратного уравнения запишем числовые коэффициенты.
\[a=1, b=2, c=-6\]
Далее согласно алгоритма решения, можно выполнять вычисление дискриминанта. Для этого известные коэффициенты подставим в формулу.
\[D=b^{2}-4 \cdot a \cdot c=2^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-6)=4+24=28\]
В ходе вычислений получаем D>0, значит исходному уравнению будет соответствовать два корня.
Чтобы определить значения корней воспользуемся следующей формулой: \[X=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}\].
Подставив значения получим следующий вид выражения: \[x=\frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}\].
Выражение можно упростить, для этого множитель выносится за знак корня и далее выполняется сокращение дробной части.
\[x=\frac{-2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}\\x=\frac{-2+2 \sqrt{7}}{2} \text { или } x=\frac{-2-2 \sqrt{7}}{2}\\x=-1+\sqrt{7} \text { или } x=-1-\sqrt{7}\]
Ответ: \[x=-1+\sqrt{7}\] или \[x=-1-\sqrt{7}\].
Задано квадратное уравнение \[\boldsymbol{-4 \cdot x^{2}+28 \cdot x-49=0}\]
Нужно выполнить решение заданного выражения. Для этого воспользуемся алгоритмом решения данных задач.
Решение:
Для начала нужно определить дискриминант, используя формулу: \[D=28^{2}-4 \cdot(-4) \cdot(-49)=784-784=0\]
При значении дискриминанта равным ноль, уравнение будет иметь лишь один квадратный корень, который вычисляется по следующей формуле:
\[x=\frac{-b}{2 \cdot a}\\x=\frac{-28}{2 \cdot(-4)}=3.5\]
Ответ: 3.5.
Дано уравнение: \[\boldsymbol{5 \cdot y^{2}+6 \cdot y+2=0}\]
Решение:
Запишем числовые коэффициенты данного уравнения \[a=5, b=6, c=2\].
Применяя данные значения можно вычислить значение дискриминанта. Для этого запишем следующую формулу:
\[D=b^{2}-4 \cdot a \cdot c=6^{2}-4 \cdot 5 \cdot 2=36+40=-4\]
Полученное значение дискриминанта является отрицательным, исходя из этого можно сказать, что уравнение не будет иметь действительных корней.
В ситуации, когда стоит задача выделить комплексные корни, нужно применить формулу корней, при этом выполняя действия с комплексными числами:
\[x=\frac{-6 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 5}\\x=\frac{-6+2 i}{10} \text { или } x=\frac{-6-2 i}{10}\\x=\frac{3}{5}+\frac{1}{5} \cdot i \text { или } x=-\frac{3}{5}-\frac{1}{5} \cdot i\]
Ответ: Действительные корневые значения для заданного уравнения будут отсутствовать. Комплексные значения корней будут следующими: \[x=\frac{3}{5}+\frac{1}{5} \cdot i\] или \[x=-\frac{3}{5}-\frac{1}{5} \cdot i\].
Основные формулы для четных вторых коэффициентов.
\[x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}\left(D=b^{2}-4 \cdot a \cdot c\right)\] дает возможность вывести еще одну формулу, которая будет более компактней.
Выведем формулу. Для этого решим следующее уравнение \[a \cdot x^{2}+2 \cdot n \cdot x+c=0\]
\[\mathrm{D}=(2 \cdot n)^{2}-4 \cdot a \cdot c=4 \cdot n^{2}-4 \cdot a \cdot c=4 \cdot\left(n^{2}-a \cdot c\right)\]
Далее будем использовать уже известные формулы корней:
Значение n2 — a * c обозначим как D1. Тогда необходимая формула корней для заданного уравнения будет выглядеть следующим образом:
Можно сделать вывод, что при необходимости вычисления квадратного уравнения, у которого присутствует второй коэффициент нужно:
Определить \[D_{1}=n^{2}-a \cdot c\]
При условии, что: \[D_{1}<0\] в данном случае действительные корни будут отсутствовать.
\[D_{1}=0\], можно определить один единственный корень по формуле: \[x=\frac{-n}{a}\]
D1 > 0, можно определить два действительных корня используя следующую формулу: \[\chi=\frac{-n \pm \sqrt{D_{1}}}{a}\]
Дано квадратное уравнение: \[\boldsymbol{5 \cdot x^{2}-6 \cdot x-32=0}\]
Значение второго коэффициента в заданном выражении равен \[2 \cdot(-3)\].
Перепишем выражение следующим образом:
\[5 \cdot x^{2}-2 \cdot(-3) \cdot x-32=0\]. Где a=5, n=-3, n=-32.
Следующим действием произведем четвертой части дискриминанта:
\[D_{1}=n^{2}-a \cdot c=(-3)^{2}-5 \cdot(-32)=9+160=169\]
Уравнение будет иметь два действительных корня, так как полученное значение положительное:
\[x=\frac{-2 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}\\x=\frac{-(-3) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot a}\\x=\frac{3 \pm 13}{5}\\x=\frac{3+13}{5} \text { или } x=\frac{3-13}{5}\\x=3 \frac{1}{5} \text { или } x=-2\]
Вычисление можно выполнять и по обычной формуле квадратного уравнения. Однако такой формат решения будет слишком громоздким.
Ответ: \[x=3 \frac{1}{5}\] или \[x=-2\]
Принцип упрощения уравнения
Иногда предоставляется возможность значительно упростить квадратное уравнение. Это необходимо, чтобы облегчить весь процесс выполнения решения.
Например: задано обычное квадратное уравнение \[12 \cdot x^{2}-4 \cdot x-7=0\], такое выражение решать гораздо легче и быстрее, чем \[1200 \cdot x^{2}-400 \cdot x-700=0\].
Лучше всего преобразование делать путем умножения или деления обеих частей уравнения на некое число.
Например: упрощенный вариант записи \[1200 \cdot x^{2}-400 \cdot x-700=0\], получается путем деления обеих частей на числовое значение равное 100.
Данное преобразование имеет смысл, когда коэффициенты квадратного уравнения не являются взаимными простыми числами. В таком случае осуществляют деление частей выражения на максимальный общий делитель всех абсолютных величин его коэффициентов.
Связь между корнями и коэффициентами
Запишем уже известную нам формулу \[x=\frac{-n \pm \sqrt{D_{1}}}{a}\]. Данная формула выражает корни уравнения, используя его числовые коэффициенты. Основываясь на данную формулу, можно определить несколько зависимостей между корнем и коэффициентом уравнений.
Для этого лучше всего использовать теорему Виета. Именно она и является наиболее популярным способом в математике.
Для приведенного уравнения сумма корней и будет второе значение коэффициента. Знак у числа будет противоположный, а произведение корневых значений будет являться свободным членом.
Например: квадратное уравнение: \[3 \cdot x^{2}-7 \cdot x+22=0\]. Сразу можно вычислить, что сумма коней будет равняться \[\frac{7}{3}\], следовательно, произведение \[\frac{22}{3}\].
Таким образом можно найти несколько прочих связей между корневыми значениями и коэффициентами квадратного уравнения.
Например: сумма корней может быть выражена через коэффициенты:
