Справочник

Степень числа: определения, обозначение, примеры

Оглавление
Время чтения:  11 минут
1 798

В статье мы введём понятие степени числа, на простых и понятных примерах объясним, что такое степень с целым показателем, натуральным, рациональным, действительным и иррациональным. Заодно покажем несколько поучительных примеров и задач, которые помогут читателю лучше понять и полнее уяснить тему.

Степень с натуральным показателем

Определение 1 + формула

Степенью числа a с натуральным показателем n называют число, полученное в результате умножения числа a самого на себя n количество раз. В виде формулы выше сказанное можно записать так:

\[a^{n}=a*a* \ldots * a\]

Читается запись, как «a» в степени «n». Для a2 и для a3 можно сказать «a в степени два» и «a в степени три» или «a во второй степени» и «a в третьей степени». Однако гораздо чаще говорят: «a в квадрате» и «a в кубе». Это устоявшиеся, общеупотребительные названия. Например, «3 в квадрате» или «7 в кубе». Формулировки типа «3 в степени два» и «7 в степени три» ошибочными не считаются, но употребляются гораздо реже, a называется основанием степени.

Запомните, n обозначает количество множителей, то, сколько раз a нужно само на себя перемножить.

Примеры 1 — 6

47 читается, как «четыре в седьмой степени». В виде произведения 47 может быть записано, как 4*4*4*4*4*4*4. При этом 4 является основанием, а 7 её показателем.

193. Может быть прочтено, как «19 в кубе». Оба прочтения будут одинаково верными.

(8,234)5. Читается, как «8,234 в пятой степени». Обратите внимание, в данном случае основанием является десятичная дробь.

(2/5)9 . Здесь основанием будет обычная дробь, она правильная.

(43/7)3 тоже отвечает определению. Из указанного примера видно, что основанием может быть и не правильная дробь.

Записи (8(3/7))8, (-5/9)5. (√3)7, (-√8)2 есть степени с целым n. Однако надо понимать разницу между (-5)3  и –53. Первое является степенью отрицательного числа, а второе можно записать как –(53). Оно соответствует числу, которое противоположно 53.

Отдельно рассмотрим пример, когда n равен 1. Любое число с ним можно записать в виде a1. Некоторые почему-то считают, что этом случае следует выполнить умножение столько раз, сколько указано в показателе. На самом деле ничего умножать не нужно. Степень любого числа с n равным 1 будет самим этим числом.

Т. е. 561 = 56, (1/456)1 равно 1/456, (-86)1 равно -86.

Запись 0n тоже имеет право на существование. По сути она означает, что нуль нужно помножить на себя самого n раз. Умножение на нуль всегда даёт нуль. Получается, любая степень с основанием нуль, независимо от её показателя всегда будет равна нулю.

Значительно реже всех выше перечисленных случаев встречается запись типа a^n. Она соответствует записи an.

Примеры 7 — 9

9^8 читается, как «9 в восьмой степени», n может быть и многозначным числом.

5^(237). Читается, как «5 в двести тридцать седьмой степени».

Выражения 78,4, (3/56)1/2, 8 √3 не являются степенями с натуральным показателем.

Запомните, основанием степени с натуральным n может быть практически любое число (хоть дробь, хоть корень и т. д.), а вот в показателе должно обязательно находиться натуральное число, т. е. не дробное и не отрицательное.

Основные свойства степени с натуральным показателем

Они следующие:

  • Когда происходит умножение степеней с равным основанием, то оно остаётся прежним. Показатели при этом складываются.
    am*an = am+n
  • Когда степени с одинаковыми основаниями делятся, то основание сохраняется прежним, а показатели вычитаются.
    am/an = am-n При этом m > n и a не равно нулю.
  • Когда степень возводят в степень, то основание не меняют, а сами степени перемножаются.
    (am)n = am*n
  • Если в степень возводится дробь, то в неё возводится как числитель дроби, так и её знаменатель.
    (a/b)n = an/bn При этом b не должно быть равно нулю.
Примеры 10 — 12

21*22*23. Складываем 1, 2 и 3. В итоге 21+2+3=26

(-3/7)5: (-3/7)3. Из 5 вычитаем 3. В результате имеем (-3/7)5-3 = (-3/7)2.

Нужно возвести в степень выражение (a2*b3)4. Сначала на 4 умножаем 2, затем 3. Итогом будет выражение a8b12.

О сравнении степеней

Если сравниваемые степени имеют равные основания, большие числа 1, то большим считается та из них, у которой показатель степени выше.

Примеры 13 — 16

Какое из чисел больше: 217 или 227. Основания одинаковые, но  27 больше, чем 17. 27>17. Значит 227 больше, чем 217.

Если n одинаковые, но основание находится в промежутке от 0 до 1, то большим будет степень, у которой показатель меньше.

Сравнить числа (0,3)11 и (0,3)7. Основание больше ноля, но не доходит до единицы. Значит, в отличие от предыдущего примера, здесь всё наоборот. Большим будет считаться число, с меньшим показателем. Т. к. 11>7, то (0,3)11<(0,3)7.

Если n одинаковые, а основания разные, то большим будет то, у которого больше основание.

Сравнить между собой числа 73 и 153. 15 >7, значит 153 больше, чем 73.

Если различаются и показатели, и основания, то числа, посредством тех или иных преобразований, сначала приводят к вида, когда у них либо то, либо другое одинаково, а уже потом сравнивают по приведённым выше правилам.

Выясните, какое из чисел больше 3200 или 2300.

2300 = 23*100 = (23)100 =8100

3200 = 32*100 = (32)100 = 9100

9 больше, чем 8. Значит 9100 больше 8100.

Соответственно 3200 будет больше, чем 2300.

Степень с целым показателем

Определение 2

Степенью с целым показателем называется степень, показателем которой является любое целое число. Это своего рода расширение множества чисел с натуральным показателем.  К последним прибавляются числа с отрицательным значением и ноль.

Рассмотрим степень с целым отрицательным n. Любое число вида a-n можно представить в виде 1/an. При этом a не должно быть равно нулю. n может быть любым натуральным числом.

Примеры 17 — 18

7-5 не является степенью с натуральным показателем, но в то же самое время является степенью с целым показателем. Примечательно, что равное ему число (1/7)5 будет степенью с целым n. Мы рассматриваем 7-5 и (1/7)5, как равные, но, всё-таки, разные числа.

(4/5)-1 можно представить как 1/(4/5)1.

Сложнее дело обстоит с понятием нулевой степени. Чтобы её объяснить, ещё раз приведём правило по делению степеней с равными основаниями.

Правило 1

Равенство am/an = am-n остаётся верным лишь в том случае, когда m и n будут натуральными числами, m < n и a не равно нулю. Последнее условие позволяет нам избежать деления на нуль. Если m и n окажутся равными, то мы придём к результату (an/an) = an-n = a0

Т. е. при делении степеней, которые имеют одно и тоже основание из показателя делимого следует вычесть n делителя. В случае, когда и они одинаковы, например, если a3 разделить на a3, мы получим a0.

Как известно из курса элементарной математики, частное от деления любого числа на самого себя всегда равно единице. Из этого напрямую следует, что нулевая степень любого числа всегда равна 1.

Пример 19

70= 1, -50= 1, (3/5)0 = 1, (√8)0  = 1, (7567776)0 = 1.

Несколько неожиданным для многих является тот факт, что ноль в степени ноль тоже равен единице 00 = 1. Положение осложняет тот факт, что на ноль делить нельзя. Так откуда же тогда взяли, что нулевая степень нуля есть 1.

На самом деле, хотя на ноль никакое число не делится, оно может делится на сколь угодно малое, т. е. близкое к нулю число. В высшей математике доказывается, что предел (a/a), когда a является бесконечно малой величиной, действительно стремится к 1.

Свойства степени с целым показателем практически ничем не отличаются от её свойств с натуральным. Нужно только помнить, что в показателе появляются отрицательные числа и их следует складывать и вычитать по строго определённым для этого правилам.

Примеры 20 — 21

57* 5-3= 57-3 = 54.

84/8-2 = 84-(-2)= 86.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Степень с рациональным показателем

Определение 3

Степенью с рациональным показателем называется степень, показатель которой, есть рациональное число, т. е. помимо целых и отрицательных значений, может иметь ещё и дробные. Записывается это в виде am/n. Из определения дробной степени известно, что am/n можно записать в виде n√am. n не должно быть равно нулю, ведь на ноль делить нельзя.

Если m и n делятся нацело, то получаем степень с целым показателем. Если при этом ещё и частное от деления больше нуля, то получим степень с натуральным.

Правило 2

Любое число am * k/n *k можно заменить на am/n.

Теперь о том, почему в дроби требуется замена сократимого показателя на несократимый. Если этого не делать, то может возникнуть, например, следующая ситуация:

(-1)6/10 = (-1)2/5, однако, если посчитать получится

(-1)6/10 = 10√(-1)6 = 10√1 = 1.

(-1)3/5 = 5√(-1)3 = 5√(-1) = -1

Примеры степеней с рациональным n: (31/2), 75/4, 74/2. Основание может быть и многозначным числом, в частности, 128-2/7 тоже степень с рациональным.

Примеры 22 — 24

-161/4 является степенью с рациональным показателем.

(-16)1/4 смысла не имеет. Оно равносильно выражению 4√(-16). Какое число нужно возвести в четвёртую степень, чтобы получить -16 ? Ответ – никакое. Такого числа не существует.

Казалось бы, √(-8) имеет право на существование. Оно равно -2 И действительно, можно записать (-8)1/3= -2. Однако, если мы запишем 1/3.

по-другому, то результат окажется совершенно иным. Смотрите:

(-8)1/3 = (-8)2/6 = 6√(-8)2 = 6√(64) = 2.

Получается парадокс, поэтому запись √(-8) лишено смысла.

Из примеров выше становится ясно, что извлечение чётных корней из отрицательных чисел категорически запрещено.

Не будет ошибкой замена любого из дробных показателей смешанным (например, 52,1 на 52(1/10), однако, чтобы не запутаться, при проведении вычислений, всегда, когда это возможно, лучше заменяйте подобные числа и корень числа дробной степенью. Это делает запись более наглядной и позволяет избежать многих ошибок.

Свойства степени с рациональным показателем аналогичны с натуральным или целым n, только дело приходится иметь с дробями. В первую очередь это касается деления и перемножения степеней с одинаковыми основаниями, а также их сравнения. Вспомните, как оно проводится для обыкновенных дробей.

пример 25

72/3 * 78/4 = 732/12 = 716/6

Степень числа с иррациональным показателем

Чтобы разобраться в этом вопросе, нужно разобраться в том, что является иррациональным числом. Любое рациональное число допускает его представление в виде бесконечной периодической десятичной дроби либо как обыкновенную дробь типа (m/n). Об иррациональных числах этого не скажешь. Десятичные дроби, с помощью которых выражаются иррациональные числа, бесконечны и апериодичны. Примерами иррациональных чисел являются √7, число \[\pi\], √2 + √3.

Строится степень с рациональным n с помощью так называемого предельного перехода по последовательностям степеней с рациональными показателями. Они с недостатком либо с избытком приближаются к степени иррациональным n.

Покажем как это происходит. Пусть нам дано иррациональное число a.

a0 = 1,6 , a1 = 1,67, a2 = 1,671…

a0 = 1,67, a1 = 1,6717, a2 = 1,671753…

И т. д. Заметьте – сами приближения, это рациональные числа.

Последовательности приближений нам нужно поставить в соответствие последовательность степеней αa0, αa1, αa2. Значения этих степеней можно подсчитать.

a = 1,67175331. Пусть для примера у нас будет α = 3

Тогда получается αa0 = 3,167; αa1 = 3,16717; αa2= 3,1671753 и т. д.

Указанная последовательность сводится к числу, которое окажется значением степени с основанием α и иррациональным показателем a. После некоторой работы в итоге получаем 31,67175331 = 6,27.

Свойства у степени с иррациональным n в целом такие же, как рациональным. В частности, сложение показателей при перемножении, сравнение иррациональных степеней происходят аналогичным образом. Нужно только иметь в виду, что при бесконечности и апериодичности иррациональной дроби вы имеете дело с приближёнными с той или иной точностью значениями. Впрочем, в зависимости от поставленной задачи, нужной точности достичь можно в любом случае. Очень осторожны будьте с приближениями. У новичков здесь очень часто случаются ошибки. После некоторого опыта и практики действия совершаются автоматически. Старайтесь на первых порах порешать как можно больше примеров. Пусть они кажутся вам однотипным, но навык отточить и закрепить позволяют.