Для быстрого интегрального исчисления нужно знать, как искать производные простой и сложной функции. Ведь нахождение интеграла и производных являются взаимно обратные операции. Для интегрирования потребуются: таблица интегралов полная и также формулы интегралов таблица основных свойств, таблица производных и интегралов.

У многих возникает сложность в изучении и понимании неопределенных интегралов. Если производные обладают всего лишь 5 правилами дифференцирования, четким алгоритм, таблицей производных, то при интегрировании совсем иначе. Используются десятки приемов и способов интегрирования. При неверном выборе способа интегрирования и различного метода интеграл вычислять можно долго, так как он представляет собой некий ребус.

Определение первообразной

Определение

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство  для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство (F(x)+C)׳=f(x)Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла

Определение

Совокупность функций первообразной для данной функции y=f(x), которая имеет место на некотором отрезке [a;b], называют неопределенным интегралом y=f(x).

Неопределенный интеграл имеет обозначение: \[\int f(x) d x=F(x)+C, c=\text { const }\].

Определение интегрирования

Определение

Операция нахождения интеграла называется интегрированием.

Дифференциал с интегральным выражением являются взаимно обратными действиями. У любой непрерывной на интервале функции есть какой-либо неопределенный интеграл.

Кратко о терминах и обозначениях:

термины и обозначения интегралов

Таблица интегралов:

Таблица интегралов 1

Таблица производных не включает формулы, которые соответствуют формулам из 10,13,14 таблицы. Чтобы проверить справедливость формул, необходимо произвести дифференцирование над ними.

Формулы интегралов, полная таблица основных свойств:

таблица формул интегралов

Расшифровка свойств интегралов:

  1. Неопределенный интеграл при интегрировании функции является равным предоставляемой функции.
  2. Производная от интегрального выражения будет равна подынтегральной функции, а дифференциал будет равен подынтегральному выражению.
  3. Множитель в виде числа можно выносить за интеграл.
  4. Интегральное выражение от суммы функций имеет такое же значение, как сумма интегральных выражений.
  5. Подынтегральное выражение с множителями внутри равен подынтегральному выражению с выносимой константой.

C помощью них можно упростить выражение интеграла и вычислить элементарными действиями.

Стоит рассмотреть примеры для лучшего восприятия темы:

Вычислить интеграл и сделать проверку:

\[\int\left(x+\sqrt{x}-3 x^{5}+\frac{2}{x^{3}}-\frac{1}{\sin ^{2} x}+t g 5\right) d x\]

Вычислим интеграл, раскрывая скобки. При этом знак интеграла относится к каждому члену выражения.

Берем в использование свойство интеграла в этом же действии:

вычисление интеграла пример 1

Вынесем все существуемые константы за знак интеграла — в данном случае они представляют собой числа. Стоит обратить внимание, что последнее выражение tg5 — это и является константа, её также выносим.

На этом этапе стоит преобразовать степени, корни для интегрирования. Как при дифференцировании, корни представляем в формате \[x^{\frac{a}{b}}\]. Степени и корни, которые стоят в знаменателе переносим наверх с противоположным знаком.

вычисление интеграла пример 2

Используя таблицу основных интегралов, интегрируем:

вычисление интеграла пример 2

И окончательный ответ:

вычисление интеграла пример 3

Примечание: В этом примере содержатся и используются только табличные интегралы. Все превращения осуществляются с помощью данных формул:

\[ \int \frac{d x}{\sin ^{2} x}=-\operatorname{ctg} x+C, \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, n \neq-1, \int d x=x+C \]

Стоит обратить внимание на формулу степенной функции: \[\int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, n \neq-1\], которая встречается почти в каждом примере.

Интеграл \[\int d x=x+C\] является частным случаем табличного интеграла: \[\int d x=\int x^{0} d x=\frac{1}{1} \cdot x^{1}+C=x+C\].

Константу C ставится только один раз в конечном выражении. Ставить после каждого интеграла не стоит. 

Выполним проверку. Для выполнения проверки необходимо продифференцировать найденное выражение, то есть найти производную:

Нахождение производной

Если получилось исходное выражение, то интеграл был вычислен верно.

Раскрытие дифференциала происходит так:

  1. знак d необходимо убрать; 
  2. ставится штрих справа над скобкой, чтобы обозначить производную;
  3. в конечное выражение добавляется множитель dx

Например: \[d(2 x-1)=(2 x-1)^{\prime} d x=(2-0) d x=2 d x\]

Проверить правильность табличного интеграла:

Решение:

\[\int \operatorname{ctg} x d x=\ln |\sin x|+C, C=\mathrm{cons} t\]

Найдем производную от правой части выражения:

\[ \ln |\sin x|+C(\ln |\sin x|)^{\prime}=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x=\operatorname{ctg} x \]

Производная получилось такая же, как и подынтегральная функция. Поэтому формула является верной.

Вычислить интеграл:

\[ \int(\cos (3 x+2)+5 x) d x \]

Решение:

Используем одно из основных свойств:

\[ \int(\cos (3 x+2)+5 x) d x=\int(\cos (3 x+2)) d x+\int 5 x d x \]

Используем свойство о вынесении множителя за интеграл:

\[ \int(\cos (3 x+2)) d x+\int 5 x d x=\int(\cos (3 x+2)) d x+5 \int x d x \]

С помощью таблицы:

вычисление интеграла пример 4

При вычислении воспользуемся 5 свойством:

\[ \int(\cos (3 x+2)) d x=\frac{1}{3} \sin (3 x+2)+C_{1} \]

Найдем ответ:

вычисление интеграла пример 5

При этом C1+C2 являются частями C. Если отдельно решается 2 и более интегралов, то к каждому члену ставится C с определенным индексом.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |