Таблица производных: доказательство формул

2 740

1 ноября 2022 г.

Время чтения: 6 минут

Содержание:

Понятие производной
Таблица и формулы производных
Производная тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса
Примеры
Производная показательной функции
Производная логарифмической функции
Производные значения обратных тригонометрических функций
Производные гиперболических функций

Понятие производной

Производная — функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции. Физический смысл производной — скорость изменения величины или процесса.

Таблица и формулы производных

Константа постоянных значений y=C	\[(C)^{\prime}=0\]
Степенная функция \[y=x^{p}\]	\[\left(x^{p}\right)^{\prime}=p \cdot x^{p-1}\]
Показательная функция \[y=a^{x}\]	\[\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a\]
Логарифмический вид	\[\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \cdot \ln a}\]
Тригонометрические функции производных значений	\[(\sin x)^{\prime}=\cos x\\(\cos x)^{\prime}=-\sin x\\(\operatorname{tg} x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}\\(\arccos x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}\\(\operatorname{arctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}\\(\operatorname{arcctg} x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\\(\operatorname{ch} x)^{\prime}=\operatorname{sh} x\\(\operatorname{th} x)^{\prime}=\frac{1}{c h^{2} x}\\(\operatorname{cth} x)^{\prime}=-\frac{1}{\operatorname{sh}^{2} x}\]

Таблица 1. Сводная таблица производных.

Производная тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса

Используя тригонометрические формулы выведем основное доказательство для производной данного вида функции.

Для производного синуса составим и запишем следующее выражение:

\[(\sin x)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}\]

Применение формулы разности тригонометрической функции синус, позволит выполнить ряд последующих преобразований и действий.

\[\begin{aligned} &(\sin x)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2 \cdot \sin \frac{x+\Delta x-x}{2}-\cos \frac{x+\Delta x+x}{3}}{\Delta x}= \\ &\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}-\cos \left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}}=\cos \left(x+\frac{0}{2}\right) \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}} \end{aligned}\]

Используя первый предел получаем формулу:

\[(\sin x)^{\prime}=\cos \left(x+\frac{0}{2}\right) \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}=\cos x\]

Следовательно, производной для функции sin x будет являться cos x.

Аналогичным образом происходит доказательство и другой функции косинус.

\[\begin{aligned} &(\cos x)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos (x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{-2 \cdot \sin \frac{x+\Delta x-x}{2}-\sin \frac{x+\Delta x+x}{2}}{\Delta x}= \\ &-\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}-\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}}=-\sin \left(x+\frac{0}{2}\right) \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}=\sin x \end{aligned}\]

Для тригонометрической функции косинус, производной будет являться синус с отрицательным знаком.

Применяя общие правила дифференциации, можно вывести главные формулы для тангенса и котангенса.

\[\begin{aligned} &\operatorname{tg}^{\prime} x=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime} =\\ &\frac{\sin ^{\prime} x \cdot \cos x-\sin x \cdot \cos ^{\prime} x}{\cos ^{2} x}=\frac{\cos x \cdot \cos x-\sin x \cdot(-\sin x)}{\cos ^{2} x}=\frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\cos ^{2} x}=\frac{1}{\cos ^{2} x} . \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &\operatorname{ctg}^{\prime} x=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{\prime}=\frac{\cos ^{\prime} x \cdot \sin x-\cos x \cdot \sin ^{\prime} x}{\sin ^{2} x}=\frac{-\sin x \cdot \sin x-\cos x \cdot \cos x}{\sin ^{2} x}= \\ &-\frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x}=\frac{1}{\sin ^{2} x} \end{aligned}\]

Производная функции возведенной в степень.

Выполним доказательство основного уравнения производной функции.

Показатель степени возьмем равным p=1.2.3…

Используя основное определение производной выполним доказательство.

Составим выражение предела отношения приращения степенной степени.

\[\left(x^{p}\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}=\frac{\Delta\left(x^{p}\right)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^{p}-x^{p}}{\Delta x}\]

Применяя формулу бинома Ньютона выполним упрощение выражения в числителе.

\[\begin{aligned} &(x+\Delta x)^{p}-x^{p}=C_{p}^{0}+x^{p}+C_{p}^{1} \cdot x^{p-1} \cdot \Delta x+C_{p}^{2} \cdot x^{p-2} \cdot(\Delta x)^{2}+\ldots+ \\ &C_{p}^{p-1} \cdot x \cdot(\Delta x)^{p-1}+C_{p}^{p} \cdot(\Delta x)^{p}-x^{p}=C_{p}^{1} \cdot x^{p-1} \cdot \Delta x+C_{p}^{2} \cdot x^{p-2} \cdot(\Delta x)^{2}+\ldots+C_{p}^{p-1} \\ &\cdot x \cdot(\Delta x)^{p-1}+C_{p}^{p} \cdot(\Delta x)^{p} \end{aligned}\]

Следовательно:

\[\begin{gathered} \left(x^{p}\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta\left(x^{p}\right)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^{p}-x^{p}}{\Delta x}= \\ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\left(C_{p}^{1} \cdot x^{p-1} \cdot \Delta x+C_{p}^{2} \cdot x^{p-2} \cdot(\Delta x)^{2}+\ldots+C_{p}^{p-1} \cdot x \cdot(\Delta x)^{p-1}+C_{p}^{p} \cdot(\Delta x)^{p}\right)}{\Delta x}= \\ \lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(C_{p}^{1} \cdot x^{p-1}+C_{p}^{2} \cdot x^{p-2} \cdot \Delta x+\ldots+C_{p}^{p-1} \cdot x\right. \\ \left.\cdot(\Delta x)^{p-2}+C_{p}^{p} \cdot(\Delta x)^{p-1}\right)=C_{p}^{1} \cdot x^{p-1} \\ +0+0+\ldots+0=\frac{p^{1}}{1 ! \cdot(p-1) !} \cdot x^{p-1}=p \cdot x^{p-1} \end{gathered}\]

Таким образом формула производной возведенной в степень является доказанной.

Когда показатель p — это любое действительное число, и не равно нулевому значению. Нужно использовать логарифмическую производную. Обязательно нужно различать понятие логарифмической функции и производной.

Примеры

Первый пример, когда значение числа x является положительным значением. Второй пример будет для значения x, которое задано как отрицательное число.

Если x>0, то \[x^{p}>0\]. Равенство вида \[y=x^{p}\] необходимо логарифмирование по основанию и при решении применить логарифмическое свойство.

\[y=x^{p}\\\ln y=\ln \cdot x^{p}\\\ln y=p \cdot \ln \cdot x\]

Вычислим производную полученной функции.

\[(\ln y)^{\prime}=(p \cdot \ln \cdot x)\]

\[\frac{1}{y}=y^{\prime}=p \cdot \frac{1}{x} \Rightarrow y^{\prime}=p \cdot \frac{y}{x}=p \cdot \frac{x^{p}}{x}=p \cdot \frac{x^{p}}{x}=p \cdot x^{p-1}\]

Если x<0

Если показатель является простым четным числом, то степенная функция будет определяться и при условии, что значение x отрицательное число.

\[\begin{array}{r} y(x)=-y\left((-x)^{p}\right)^{\prime}=-p \cdot(-x)^{p-1} \cdot(-x)^{\prime}=p \cdot(-x)^{p-1} =\\ p \cdot x^{p-1} \end{array}\]

Тогда \[x^{p}<0\] и можно составить доказательство, производную логарифма.

Если значение p является нечетным числом, то степенная функция определенная и при условии, что x<0.

В таком случае производную дифференцировать нельзя. Поэтому за основу доказательства берется правило дифференцирования и определения производной сложной функции.

\[\begin{gathered} y^{\prime}(x)=(-(-x)^{x})^{\prime}=-((-x)^{p})^{\prime}=-p \cdot(-x)^{p-1} \cdot(-x)^{\prime}= \\ p \cdot(-x)^{p-1}=p \cdot x^{p-1} \end{gathered}\]

Пример

Заданы следующие функции: \[f_{1}(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}{ }^{2}};\\f_{2}(x)=x
\frac{\sqrt{2}-1}{4}\\f_{3}(x)=\frac{1}{x^{\log _{7} 12}}\]

Необходимо определить производные заданных функций.

Решение:

Необходимо преобразовать функции, опираясь при этом нп степенные свойства.

\[f_{1}(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}{ }^{2}}=x^{-\frac{2}{3}} \Rightarrow f_{1}^{\prime}(x)=-\frac{2}{3} \cdot
x^{-\frac{2}{3}-1}=-\frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{5}{3}}\\f_{2}^{\prime}(x)=\left(x
\frac{\sqrt{2}-1}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}-1}{4} \cdot x x \frac{\sqrt{2}-1}{4}-1=\frac{\sqrt{2}-1}{4} \cdot
x \frac{\sqrt{2}-5}{4}\\f_{3}(x)=\frac{1}{x^{\log 7^{12}}}=x^{-\log _{7} 12}
\Rightarrow\\f_{3}^{\prime}(x)=-\log _{7} 12 \cdot x^{-\log _{7} 12-1 x^{\log 7^{12-1}}}=-\log _{7} 12 \cdot
x^{-\log 7_{7}^{84}}\]

Производная показательной функции

Выводим формулу, при этом берем за основу определение производной.

\[\left(a^{x}\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^{2+\Delta x-x^{2}}}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^{2}\left(a^{\Delta x}-1\right)}{\Delta x}=a^{x} \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}= \frac{0}{0}\]

При выполнении всех действий получаем неопределенность. Записываем переменную, для решения неопределенной функции.

\[\mathrm{z}=a^{\Delta x}-1\] при условии, что z и \[\Delta x\] стремится к нулевому значению.

Следовательно, в ходе вычислений получаем следующее функциональное выражение: \[a^{\Delta x}=z+1 \Rightarrow \Delta x=\log _{x}(z+1)=\frac{\ln (z+1)}{\ln a}\]

В первоначальный предел выполним подстановку данных, и получим функцию следующего вида:

\[\begin{aligned} &\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^{x} \cdot \ln a \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{1}{2} \ln (z+1)}=a^{x} \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\ln (z+1)^{\frac{1}{2}}}= \\ &=a^{x} \cdot \ln a \cdot \frac{1}{\ln \left(\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(z+1)^{\frac{1}{2}}\right)} . \end{aligned}\]

Используя второй предел, получаем формулу для производной показательной функции.

\[\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a \cdot \frac{1}{\ln \left(\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(x+1)^{\frac{1}{z}}\right)}=a^{x} \cdot \ln a \cdot \frac{1}{\ln e}=a^{x} \cdot \ln a\]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Производная логарифмической функции

Для любых значений числа x приведем доказательство основной логарифмической функции. Для этого, как и в других примерах будем пользоваться определением производной.

\[\begin{aligned} &\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a} x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\log _{a} \frac{x+\Delta x}{x}}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \log _{a}\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)\\ &=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \log _{a}\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{1}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \log _{a}\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)\\ &\frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{x}{x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \log _{a}\left(\frac{1}{x} \cdot \log _{a}\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{1}{\Delta x}}\right)=\frac{1}{x} \cdot \log _{a} \lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}}=\\ &1 \log _{a} e=\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln e}{\ln a}=\frac{1}{x \cdot \ln \cdot a} \text {. } \end{aligned}\]

Из всей цепочки решения видно, что преобразование основано на главных свойствах логарифма.

Равенство \[\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}}\] будет являться правдивым, согласно второго логарифмического предела.

Пример

Заданы следующие логарифмические функции: \[f_{1}(x)=\log _{\ln 3} x\\f_{2}(x)=\ln x\]

Необходимо выполнить выселение всех производных значений функций.

Применим выведенную формулу на практике:

\[\begin{aligned}
&\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a}
x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\log _{a} \frac{x+\Delta x}{x}}{\Delta x}=\lim _{\Delta x
\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \log _{a}\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)\\
&=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \log _{a}\left(1+\frac{\Delta
x}{x}\right)^{\frac{1}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \log
_{a}\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)\\
&\frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{x}{x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \log
_{a}\left(\frac{1}{x} \cdot \log _{a}\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{1}{\Delta
x}}\right)=\frac{1}{x} \cdot \log _{a} \lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(1+\frac{\Delta
x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}}\\
&=1 \log _{a} e=\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln e}{\ln a}=\frac{1}{x \cdot \ln \cdot a} \text {. }
\end{aligned}\]

Ответ:

\[\begin{aligned}
&f_{1}^{\prime}(x)=\left(\log _{\ln 3} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \cdot \ln (\ln 3)} \\
&f_{2}^{\prime}(x)=(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x \cdot \ln \ln e}=\frac{1}{x}
\end{aligned}\]

Производные значения обратных тригонометрических функций

Особенность вычисления производных для функций данного типа является идентичных, как и для основных тригонометрических функций.

Производные гиперболических функций

Выведение основных формул производных функций гиперболического косинуса, синуса, тангенса и котангенса происходит за счет установленного правила дифференцирования, и формул показательных функций.

\[\operatorname{sh}^{\prime} x=\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\left(e^{x}\right)^{\prime}-\left(e^{-x}\right)^{\prime}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{x}-\left(-e^{-x}\right)\right)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\operatorname{ch} x\\c h^{\prime} x=\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\left(e^{x}\right)^{\prime}+\left(e^{-x}\right)^{\prime}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{x}+\left(-e^{-x}\right)\right)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\operatorname{sh} x\\\operatorname{th}^{\prime} x=\left(\frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x}\right)^{\prime}=\frac{\operatorname{sh}^{\prime} x \cdot \operatorname{ch} x-\operatorname{sh} x \cdot \operatorname{ch}^{\prime} x}{\operatorname{ch}^{2} x}=\frac{\operatorname{ch}^{2} x-\operatorname{sh}^{2} x}{\operatorname{ch}^{2} x}=\frac{1}{\operatorname{ch}^{2} x}\\\operatorname{cth}^{\prime} x=\left(\frac{\operatorname{ch} x}{\operatorname{sh} x}\right)^{\prime}=\frac{\operatorname{ch}^{\prime} x \cdot \operatorname{sh} x-\operatorname{ch} x \cdot \operatorname{sh}^{\prime} x}{\operatorname{sh}^{2} x}=\frac{\operatorname{sh}^{2} x-\operatorname{ch}^{2} x}{\operatorname{sh}^{2} x}=-\frac{1}{\operatorname{sh}^{2} x}\]

Используя данный вид формулы, можно решать задачи данной категории производных значений.