Производная — функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции. Физический смысл производной — скорость изменения величины или процесса.
Таким образом формула производной возведенной в степень является доказанной.
Когда показатель p — это любое действительное число, и не равно нулевому значению. Нужно использовать логарифмическую производную. Обязательно нужно различать понятие логарифмической функции и производной.
Примеры
Первый пример, когда значение числа x является положительным значением. Второй пример будет для значения x, которое задано как отрицательное число.
Если x>0, то \[x^{p}>0\]. Равенство вида \[y=x^{p}\] необходимо логарифмирование по основанию и при решении применить логарифмическое свойство.
Если показатель является простым четным числом, то степенная функция будет определяться и при условии, что значение x отрицательное число.
\[\begin{array}{r}
y(x)=-y\left((-x)^{p}\right)^{\prime}=-p \cdot(-x)^{p-1} \cdot(-x)^{\prime}=p \cdot(-x)^{p-1} =\\
p \cdot x^{p-1}
\end{array}\]
Тогда \[x^{p}<0\] и можно составить доказательство, производную логарифма.
Если значение p является нечетным числом, то степенная функция определенная и при условии, что x<0.
В таком случае производную дифференцировать нельзя. Поэтому за основу доказательства берется правило дифференцирования и определения производной сложной функции.
\[\begin{gathered}
y^{\prime}(x)=(-(-x)^{x})^{\prime}=-((-x)^{p})^{\prime}=-p \cdot(-x)^{p-1} \cdot(-x)^{\prime}= \\
p \cdot(-x)^{p-1}=p \cdot x^{p-1}
\end{gathered}\]
Пример
Заданы следующие функции: \[f_{1}(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}{ }^{2}};\\f_{2}(x)=x
\frac{\sqrt{2}-1}{4}\\f_{3}(x)=\frac{1}{x^{\log _{7} 12}}\]
Необходимо определить производные заданных функций.
Решение:
Необходимо преобразовать функции, опираясь при этом нп степенные свойства.
Выводим формулу, при этом берем за основу определение производной.
\[\left(a^{x}\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^{2+\Delta x-x^{2}}}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^{2}\left(a^{\Delta x}-1\right)}{\Delta x}=a^{x} \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}= \frac{0}{0}\]
При выполнении всех действий получаем неопределенность. Записываем переменную, для решения неопределенной функции.
\[\mathrm{z}=a^{\Delta x}-1\] при условии, что z и \[\Delta x\] стремится к нулевому значению.
Следовательно, в ходе вычислений получаем следующее функциональное выражение: \[a^{\Delta x}=z+1 \Rightarrow \Delta x=\log _{x}(z+1)=\frac{\ln (z+1)}{\ln a}\]
В первоначальный предел выполним подстановку данных, и получим функцию следующего вида:
\[\begin{aligned}
&\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^{x} \cdot \ln a \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{1}{2} \ln (z+1)}=a^{x} \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\ln (z+1)^{\frac{1}{2}}}= \\
&=a^{x} \cdot \ln a \cdot \frac{1}{\ln \left(\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(z+1)^{\frac{1}{2}}\right)} .
\end{aligned}\]
Используя второй предел, получаем формулу для производной показательной функции.
\[\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a \cdot \frac{1}{\ln \left(\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(x+1)^{\frac{1}{z}}\right)}=a^{x} \cdot \ln a \cdot \frac{1}{\ln e}=a^{x} \cdot \ln a\]
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Производная логарифмической функции
Для любых значений числа x приведем доказательство основной логарифмической функции. Для этого, как и в других примерах будем пользоваться определением производной.
Из всей цепочки решения видно, что преобразование основано на главных свойствах логарифма.
Равенство \[\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}}\] будет являться правдивым, согласно второго логарифмического предела.
Пример
Заданы следующие логарифмические функции: \[f_{1}(x)=\log _{\ln 3} x\\f_{2}(x)=\ln x\]
Необходимо выполнить выселение всех производных значений функций.
Производные значения обратных тригонометрических функций
Особенность вычисления производных для функций данного типа является идентичных, как и для основных тригонометрических функций.
Производные гиперболических функций
Выведение основных формул производных функций гиперболического косинуса, синуса, тангенса и котангенса происходит за счет установленного правила дифференцирования, и формул показательных функций.
\[\operatorname{sh}^{\prime} x=\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\left(e^{x}\right)^{\prime}-\left(e^{-x}\right)^{\prime}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{x}-\left(-e^{-x}\right)\right)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\operatorname{ch} x\\c h^{\prime} x=\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\left(e^{x}\right)^{\prime}+\left(e^{-x}\right)^{\prime}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{x}+\left(-e^{-x}\right)\right)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\operatorname{sh} x\\\operatorname{th}^{\prime} x=\left(\frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x}\right)^{\prime}=\frac{\operatorname{sh}^{\prime} x \cdot \operatorname{ch} x-\operatorname{sh} x \cdot \operatorname{ch}^{\prime} x}{\operatorname{ch}^{2} x}=\frac{\operatorname{ch}^{2} x-\operatorname{sh}^{2} x}{\operatorname{ch}^{2} x}=\frac{1}{\operatorname{ch}^{2} x}\\\operatorname{cth}^{\prime} x=\left(\frac{\operatorname{ch} x}{\operatorname{sh} x}\right)^{\prime}=\frac{\operatorname{ch}^{\prime} x \cdot \operatorname{sh} x-\operatorname{ch} x \cdot \operatorname{sh}^{\prime} x}{\operatorname{sh}^{2} x}=\frac{\operatorname{sh}^{2} x-\operatorname{ch}^{2} x}{\operatorname{sh}^{2} x}=-\frac{1}{\operatorname{sh}^{2} x}\]
Используя данный вид формулы, можно решать задачи данной категории производных значений.
