Основы теоремы Пифагора, формула и доказательство

Данная теорема издавна, является основой математики и в частности ее раздела — геометрии.

Определение

Основное определение теоремы Пифагора звучит следующим образом — сумма квадратов катета равна сумме квадрата гипотенузе для прямоугольного треугольника.

Теорема получила свое название в честь ученого, потому что именно он смог первый ее доказать.

Некоторые ученые, среди них, немецкий Контор, утверждали, что первое упоминание о теореме знали еще в древности. Поговаривали, что первыми о ней узнали Египтяне в 2200 году до нашей эры. Считали, что ранее прямые углы строили, благодаря треугольникам со сторонами 3,4,5.

Ранее теорема Пифагора звучала “теоремой невесты или нимфа”. данное название она получила с арабского языка. При переводе теоремы, ошибочно решили, что нимфа означает с перевода невеста.

Формула теоремы Пифагора имеет следующую запись:

a2+b2=c2

где стороны :

  • a и b — стороны квадрата катетов;
  • с — сторона гипотенузы.

Из данной формулы можно вывести следующие выражения:

\[ a=\sqrt{c^{2}-b^{2}} \]
\[ b=\sqrt{c^{2}-a^{2}} \]
\[ c=\sqrt{a^{2}-b^{2}} \]

Для геометрической фигуры, где с — самая длинная сторона, характерны следующие свойства:

  • если c2 < a2 + b2  — в этом случае угол напротив стороны с является острым углом;
  • если c2 = a2 + b2 — в этом случае, угол напротив стороны с является прямым;
  • если c2 > a2 + b2 , следовательно угол, который относится  к стороне с, имеет название тупого угла.

Доказательств теоремы существует множество с разными методами математического подхода.  Самые известные из них:

  • При помощи подобных треугольников;
  • Метод площадей треугольников;
  • Стандартное доказательство Евклида;
  • Способ доказательства теоремы Леонардо да Винчи;
  • При помощи площадей подобных треугольников;
  • Методом бесконечности.

Однако, самая популярная методика доказательства, связанная с площадями подобных треугольников.

Соответственно все сложенные площади квадратов, которые построены при помощи катетов равны площади квадрата, который построен при помощи гипотенузы

Из этого следует, что площади данных  квадратов равны – a2,b2,c2 . Именно так и звучит геометрическое доказательство теоремы Пифагора.

Подробное описание действий при доказательстве теоремы

Постараемся доказать, следующее уравнение: a2+b2=c2.

Изобразим прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c.

  1. Необходимо прямоугольный треугольник изобразить в виде квадрата.
  2. От катета “а” продолжаем линию вверх на расстояние катета “b”.
  3. Затем проведем линию другого катета “а” вправо.

Получается такой же треугольник, только в перевернутом виде.

Доказательство теоремы Пифагора 1

Таким же образом изображаем и с другой стороны. Проводим от катета (а) линию катета (b) и опускаем вниз отрезки (а) и (b).

 Внизу от катета (b) проводим линию катета (а). В центре фигуры от каждого катета проводим гипотенузы (с).

Таким образом, при помощи построенных гипотенуз получился квадрат в центре фигуры.

Доказательство теоремы Пифагора 2

Полученный квадрат состоит из четырех прямоугольных треугольников. Площадь каждого треугольника равняется произведению его катетов.

A именно, \[\frac{1}{2} a b\].

Следовательно площадь квадрата в центре  равняется квадрату гипотенузе  c2, так как все четыре гипотенузы имеют сторону с длиной (с).  

Из рисунка видно, что стороны квадрата (четырехугольника) имеют равные значения, следовательно, и прямые углы. Но, нужно доказать, что углы прямые.

Для этого построим квадрат:

Доказательство теоремы Пифагора 3

Видно, что два обозначенных угла имеет измерение по 90 градусов. Следовательно, если треугольники равны между собой, то и следующие углы так же буду прямыми. То есть равны предыдущим углам.

Доказательство теоремы Пифагора 4

Суммарное значение углов равняется 90 градусов. Следовательно, предыдущий также равен 90 градусов. Таким правилом мы руководствуемся и с другой стороны.

Доказательство теоремы Пифагора 5

Сумма острых углов в треугольнике, который является прямоугольным равняется 90 градусам. Отсюда следует, что угол квадрата будет равен 90 градусов.  Потому что три угла в сумме равняется 180 градусов.

Так как площадь квадрата состоит из: суммы равных площадей, прямоугольных треугольников и площади квадрата. Таким образом, получили фигуру со сторонами a и b.Нам известно, что площадь квадрата со стороной a и b – это будет квадрат его стороны. То есть (a+b)2.

  1. Записываем формулу: (a+b)2;
  2. Далее видим, что площадь прямоугольного треугольника равняется половине произведения его сторон катетов. Составляем выражение: \[(a+b)^{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}\].
  3. Затем к полученной формуле плюсуем площадь квадрата, который построен в центре фигуры треугольник со стороной. Выполнив перечисленные действия получаем следующее выражение: \[(a+b)^{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}+c^{2}\]
  4. Необходимо опустить скобки: a2+b2+2ab=2ab+c2
  5. Сокращаем уравнение и получаем выражение:  c2=a2+b2

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Использование теоремы в решении

Пример №1

Вычертим прямоугольный треугольник со сторонами, длины которых равны 4 и 5 соответственно.

Необходимо найти значение гипотенузы. Обозначим ее буквой “с”

Использование теоремы Пифагора в решении

Решение примера:

Сумма квадратов катетов 52 + 42  равняется квадрату гипотенузы. В приведенной задаче это  – c2 .

Применим на практике теорему Пифагора и подставим числовые данные: 52 + 42 = c2;

Подставив числовые значения и произведя расчет получаем следующие значения, 52=25 , а 42 = 16 . Суммарное значение катетов равняется 41.

Следовательно 41= c2. А именно: квадрат неизвестной стороны треугольника равен 41.

Выведем квадрат из числа 41 и получим значение 6,4.

Значение гипотенузы определено и равняется 6,4.

Ответ задачи: значение гипотенузы равно — 6,4.

Пример №2

Решение примера:

Для примера решения возьмем треугольник, где длина гипотенузы равняется 12, длина одного катета равна =10

Необходимо вычислить значение неизвестного нам катета.

Неизвестное значение стороны треугольника обозначим буквой – b.

Использование теоремы Пифагора в решении 1

Воспользуемся теоремой Пифагора и определяем неизвестное значение, подставляя числовые данные в формулу.

102+b2=122

102=100, а 122=144;

Вычисляем уравнение и записываем следующее выражение:

100+b2 = 144;

Далее находим значение неизвестного катета в квадрате b2

b2 = 144 — 100;

b2=44;

Получаем  b2=44, следовательно выводим квадрат числа и получаем значение b=6.6.

Ответ задачи: значение второго катета составляет 6,6