Понятие тождества

Тождеством принято считать любое равенство, которое будет верным, независимо от значений переменных. Исходя из определения, тождественным можно назвать любое выражение, имеющее вид числового равенства.

Существует несколько вариантов определения тождества. Еще один вариант можно дать, есть рассматривать его с точки зрения допустимых значений переменных. В этом случае оно будет звучать так:

Тождество это верное равенство, или равенство, которое будет правильным при любом возможном значении переменных в его составе.

Школьная программа предусматривает подробное изучение этой темы по алгебре в седьмом классе. Школьная программа для детей этого возраста предполагает работу только с целыми числами. Подобные выражения не теряют смысла только в том случае, если в качестве переменных целые числа.

Если для сравнения взять программу восьмого класса, то мы увидим, что она более объемная за счет разбора выражений, которые становятся верными только если переменные приобретают значение из ОДЗ. Это и становится причиной пере формулировки определения, согласно которой тождество становится одним из примеров равенства. Это определение дает понять, что не каждое равенство можно считать тождеством.

Знак тождества

В математике равенство записывается через знак «=». Он уместен в том случае, если по обе стороны от него расположены равные выражения. Тождество в математике обозначается знаком, похожим на знак равенства, только состоящим из трех поперечных полосок «≡». В математике он называется знаком тождества, или тождественного равенства.

Математические выражения тождества и равенства практически ничем не отличаются, и по сути своей одинаковы. Знак тождественного равенства ставится с той целью, чтобы подчеркнуть, что в данном случае перед нами тождество.

Примеры тождественных выражений

Пример

Равные по значению числа принято считать тождественными равенствами.

Например: 5=5; \[\sqrt{64} \equiv \sqrt{64}\]

Если обратиться к определению тождественного равенства, которое приведено выше, то можно сказать, что любое численное верные равенства можно назвать тождественными. Записываются они через знак тождества таким образом, как в примере.

Примеры равенств можно записывать так:

8-4=4

3×3=16-7

Эти же примеры можно записать, как тождество:

8-4≡4

3×3≡16-7

В качестве составляющих могут быть не только цифры, но и переменные. Примером такого равенства может быть подобное выражение:

5×(x+4)=5×x+20

Такое выражение будет равным, независимо от того, какое значение будет иметь переменная x.

Доказывается это применением распределительного свойства умножения относительно суммирования. Это объясняет то, что приведенный пример можно назвать тождеством.

Еще один пример тождественного равенства с переменными выглядит так:

y+2=y-2

Есть множество значений, при которых написанное равенство может быть неверным.

Из вышеперечисленного, можно сделать следующие выводы:

  • Тождество – это то же самое, что равенство. Это связано с тем, что два составляющих имеют равное значение.
  • Если в выражении присутствуют только числа, оно в любом случае будет тождеством, так как они не прекратят быть равными и не изменят своего значения.
  • Если в выражении есть переменные, оно не обязательно окажется тождеством. Это объясняется тем, что переменные могут принимать разные значения. В зависимости от того, какие значения примут переменные, равенство либо сохранится, либо нет. Если даже теоретически предположить, что принцип равенства нарушится, тождеством приведенный пример назвать уже нельзя.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Как доказать тождество

Примеры

Чтобы доказать тождество, потребуется просто решить левую и правую его части.

Пример 1:

\[3+5≡18-8\]

В результате решения получим, 8≡8


Пример 2:

Возьмем равенство 3 · (x + 1) = 3 · x + 3 . Это равенство является верным при любом значении переменной x . Подтверждает сей факт распределительное свойство умножения относительно сложения. Это значит, что приведенное равенство является тождеством.

Тождественные преобразования выражений: правила

Если мы имеем дело с более сложными примерами, то уместно преобразование, которое производится в следующем порядке:

  • Преобразовывать можно обе части выражения сразу.
  • Преобразовывается либо одна, либо вторая часть.
  • Перемножить обе составляющие на одну и ту же цифру.
  • Перенести составляющие через знак равенства, изменив знак на противоположный.