СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Напишем

СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Определение и формулы половинного угла

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла, так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла \[\frac{\alpha}{2}\] при помощи тригонометрических функций угла \[a\].

Дальше в статье, мы рассмотрим доказательства этих формул, а также примеры их решений.

У этих формул есть ещё одно название, их также называют «формулами понижения степени». Причины такого название кроется в том, что в части слева находится вторая степень синуса и косинуса, а в части справа первая, что означает степень понизилась, но не забывайте, что степени снижается, а аргумент удваивается.

Формулы половинного угла: примеры

Давайте рассмотрим основные тригонометрические формулы половинного угла в тригонометрии.

\[ \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2} \]
\[ \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2} \]
\[ \tan ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} \]
\[ \cot ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha} \]

Формулы, применяемые как для синуса, так и косинуса половинного угла не зависит от заданного значения угла α.  Для тангенса в независимости от угла α определяется следующим видом \[\tan \frac{\alpha}{2}\], где значение  угла a≠π+2π•z, а значение z равняется любому целому числу. Значение выражения 1+cosα не должно быть равно нулю. Формула котангенса угла будет считаться верной, если любой угол α, где имеет место быть половинный угол α в тригонометрии, принимает следующий вид α ≠2π•z.

Самыми важными тригонометрическими формулами половинного угла являются тригонометрических функций с квадратами, которые могут быть выведены и через положительные, и отрицательное значение арифметического квадратного корня. Получаются следующие формулы половинного угла:

\[ \frac{\sin \sin \alpha}{2}=\pm \frac{\sqrt{1-\cos \alpha}}{\sqrt{2}}, \frac{\cos \cos \alpha}{2}=\pm \frac{\sqrt{1+\cos \alpha}}{\sqrt{2}}, \quad \tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{1-\cos \alpha}}{\sqrt{1+\cos \alpha}}, \cot \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{1+\cos \alpha}}{\sqrt{1-\cos \alpha}} \]

Знак «-» свидетельствуют о том, что тригонометрическая функция определяется четвертью угла \[\frac{\alpha}{2}\]

Доказательство тригонометрических функций половинного угла

Доказательство тригонометрических формул половинного угла строится на основании формулы косинуса двойного угла \[\cos \alpha=1-2 \times \frac{\alpha}{2}\] и \[\cos \alpha=2 \times \frac{\alpha}{2}-1\]. Упростим первое выражение по \[\frac{\alpha}{2}\], придем к формуле половинного угла в тригонометрии \[\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2}\], упростим по тому принципу второе выражение \[\frac{\alpha}{2}\], получаем выражение \[\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}\].

Для доказательства формул половинного угла для тангенса и котангенса угла \[\frac{\alpha}{2}\] применим основное тригонометрическое тождество:

\[ \frac{\cot ^{2} \alpha}{2}=\frac{\frac{\alpha}{2}}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1-\cos \alpha}{2}}{\frac{1+\cos \alpha}{2}}=\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha} \text { и }\frac{\tan ^{2} \alpha}{2}=\frac{\frac{\alpha}{2}}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1-\cos \alpha}{2}}{\frac{1+\cos \alpha}{2}}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} \]

В основное тригонометрическое тождество нужно подставить тригонометрические формулы половинного угла косинуса и синуса, доказанные выше. При подстановке получаем выражение следующего вида:

\[ \frac{\tan ^{2} \alpha}{2}=\frac{\frac{\alpha}{2}}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1-\cos \alpha}{2}}{\frac{1+\cos \alpha}{2}}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} \]
\[ \frac{\cot ^{2} \alpha}{2}=\frac{\frac{\alpha}{2}}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1-\cos \alpha}{2}}{\frac{1+\cos \alpha}{2}}=\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha} \]

Посмотрим применение форму тригонометрического половинного угла на решение примеров.

Рассмотрим первое задание.

Найдите cos15°, если известно, что \[\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\].

Решение данного задания.

Воспользуемся формулой половинного угла для функции косинус в тригонометрии имеет следующий вид \[\frac{\cos ^{2} \alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}\].

Подставим значения, которая известная, в указанную тригонометрическую формулу:

\[15^{\circ}=\frac{1+\cos 30^{\circ}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\]

Так как у нас имеется значение 15°, найдем cos15°. 

Так как угол 15° находится в первой координатной четверти, а косинус там имеет положительное значение, то \[\cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\]

Ответ: \[\cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Рассмотрим ещё одно задание.

Необходимо вычислить значение указанного выражения \[\frac{4 \cos \alpha}{2}+2 \cos \alpha+5\], где \[\cos \alpha=\frac{1}{8}\].

Решение:

Нужно использовать  ту же самую формулу, которую применяли в первом примере \[\frac{\cos \alpha}{2}=\pm \frac{\sqrt{1+\cos \alpha}}{\sqrt{2}}\]. Подставим значение косинуса, упростим данное выражение:

\[ \frac{4 \sqrt{1+\cos \alpha}}{\sqrt{2}}+2 \cos \alpha+5=\frac{4 \sqrt{1+\frac{1}{8}}}{\sqrt{2}}+2 \times \frac{1}{8}+5=\frac{4 \sqrt{9}}{\sqrt{16}}+\frac{1}{4}+5=8 \frac{1}{4} \]

Ответ: \[\frac{4 \cos \alpha}{2}+2 \cos \alpha+5=8 \frac{1}{4}\].

Применяя формулы тригонометрического половинного угла, нужно учитывать, что угол может быть и нестандартного вида a2 и a, а его нужно будет привести к такому стандартному виду. Главным пунктом является то, что аргумент в правой части должен быть в два раза больше, чем в левой. В противном случае применить формулу не получится.

Если тождество записано в таком виде \[7 \alpha=\frac{1-\cos 14 \alpha}{2}\] или \[\frac{5 a}{17}=\frac{1-\frac{\cos \cos 10 \alpha}{17}}{2}\], то формулу применять можно.

Для того чтобы научиться правильно преобразовать и применять описанные выше формулы, нужна пристально изучить тему функции тригонометрических выражений. Не каждое выражение поддается преобразованию. И особое внимание нужно обратить на то, что значение углов тригонометрических функций зависит от их нахождения в разных четвертях для определения положительного и отрицательного знака выражения.

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Хочу заработать