Оглавление
Время чтения: 24 минуты
467
Тригонометрия — это техническая часть математики, в которой представлены особенности взаимосвязи между сторонами и углами треугольников.
Тригонометрические функции, является очень важной составляющей не только математики, но других технических наук.
Применяя основные формулы и законы тригонометрии при вычислении задач. Огромное значение имеют таблицы значений данных функций. Они существенно упрощают решение задач различной сложности.
Процесс работы и расчета функций данного вида, очень непростой. Решение задач и уравнение, очень часто вызывают сложности. Поэтому, со временем, были созданы и разработаны несколько видов решений, чтобы облегчить жизнь математика и всем представителям технических наук. Преобразовывая тригонометрические формулы, необходимо руководствоваться следующими правилами:
Зная основные определения тригонометрических функций, можно определить их угловые значения. Для углов от нуля до трехсот шестидесяти градусов, вычислим данные и запишем их в виде таблицы.
Значения вышеупомянутых математических функций, в частности в разделе геометрия, вычисляются как соотношения длин прямоугольного треугольника.
Углы геометрической фигуры имеют соответствующие значения в градусах. Используя основные определения математики, а именно тригонометрии можно определить нужные нам данные.
Определим основные значения
1.синуса (sin):
2. косинуса (cos):
3. тангенса(tg):
Данные выше угловые значения, не определяются, согласно основным законам геометрии и математики.
4. котангенса (ctg)
Для перечисленных выше угловых значений по законам математики и всех технических наук в целом, значения не определяются
Мы произвели основные расчеты. Определили результаты угловых значений.
Мы определились с основными угловыми значениями функций. Следующим шагом будет их сведение в таблицу.
Таблица1. Основные значения функций косинус, синус, тангенс и котангенс, для угловых значений и радиан
Вычисленные значения принято сводить в таблицу, показанную выше. Особенно рекомендуются, ее заучивать наизусть, для более лучшего восприятия. Рассмотрим, также значения для нестандартных угловых значений и сведем их в таблицу.
Таблица 2. Нестандартные углы функций косинус, синус, тангенс и котангенс в тригонометрии
В данной таблице приведены значения углов, которые считаются нестандартными, также таблица необходима, чтобы облегчить жизнь, в первую очередь, школьной программе.
Например:
Значение заданной функции берется из таблицы. Оно равняется данному, которое попадает на пересечение столбца и строки.
Пример №1. Необходимо определить чему равен \[\operatorname{tg} 300\]
Берем левый столбец с наименованием функции, находим в верхней строке нужный градус, и на пересечении определяем нужный ответ.
Следовательно:\[\operatorname{tg} 300^{\circ}=-\sqrt{3}\].
Пример №2. Необходимо определить чему равен \[\cos \frac{5 \pi}{3}\].
Берем левый столбец с наименованием функции, находим в нижней строке значение радиан, поднимается на верх таблицы и определяем градусы.
\[\text { Следовательно: } \operatorname{tg} 300^{\circ}=\frac{1}{2} .\]
Пример №3. Необходимо определить чему равен \[\cos \frac{11 \pi}{6}\].
Проводим аналогичные действия, как в предыдущих двух примерах и определяем угловое значение.
\[\text { Следовательно } \cos =\frac{\sqrt{3}}{2}=330^{\circ}.\]
Первое упоминание о таблице, датируется 20-ми годами прошлого века. Основоположником, является советский ученый математик, и талантливый педагог Владимир Брадис. Созданная Брадисом таблица, позволяет определить значения тригонометрических функций, с большой точностью, а именно до четырех знаков. На практике решений, обычно требуется точность в три-четыре знака, после запятой, но не более. Для расчета, с такой точностью, значение синуса, в формуле достаточно трех известных слагаемых, а иногда и двух. Произвести простых четыре перемножения. Дважды разделить, умножить и отнять.
Если производить действия инженерным калькулятором, становится понятно, что все вышеперечисленные действия, уже запрограммированы в его микросхеме. В таблице представлены следующие данные:
Можно определить точность углового значения до минуты. Существуют также таблицы, где есть семизначные значения.
Для того чтобы составить таблицы следует пользовался методом разложения функций (либо метод разложения на степень в ряд)
Примеры решения задач
Пример 1:
Необходимо определить синус угла 18 ° 44 ‘.
По таблице значений определяем данные синуса 18 ° 42 ‘. Далее используем поправку, равную две минуты. Плюсуем ее и заданные минуты: 18 ° 44 ‘ − 18 ° 42 ‘ = 2 ‘
Нужное значение равняется — 0,0006.
Узнав все необходимые значения, находим окончательное решение:
sin 18 ° 44 ‘ = 0. 3208 + 0. 0006 = 0. 3214
Пример 2:
Условие задачи, заключается в необходимости вычислить угол функции синус 76 ° 12. В таблице находим столбец с название угол и ищем 76 градусов и строку со значением 12. Далее, исходя из найденных ячеек, находим значение угла — 0,2284.
Ответ: синус 76 ° 12 =0,2284.
Пример 3:
Нужно найти значение синус 16 градусов 32 минут. Для того чтобы посчитать значение 16 ° 32 минуты. В таблице находим значение нужного угла, которое ближе всего по значению подходит к заданному. Это sin16 30 =0.2840. Так как 16 32=16 30+2, то в столбце, выбираем нужную поправку, которая находится на пересечении со строкой, со значением 16 градусов стоит 0,0006, то есть
sin 16 ° 32 ‘ = 0. 3208 + 0. 0006 = 0. 3214
Пример 4:
Нужно найти значение синус 22 градусов 10 минут. Чтобы посчитать значение 22 ° 12, в таблице найдем значение необходимого угла, наиболее подходящее заданному. Это sin16 30 =0.3778. Так как 22 ° 10= 22 ° 12+2, то тогда выбираем поправку равную двум и видим, что нужный нам градус равный 22 ° имеет значение 0,0005. Далее записываем:
sin 22 ° 10 ‘ = (22 12-2) =0. 3778 + 0. 0005 = 0. 3773
Пример 5:
Нужно найти значение косинус 50 градусов 33 минут. Для того, чтобы посчитать значение 53 31 в таблице найдем значение нужного угла, наиболее близкого к искомому со знаком минус. Это косинус 50 33 =0.6361 Так как 50 33=50 30+3, то в нужном столбце выбираем значение 3. Далее находим значение 0,0007, и записываем следующее уравнение:
косинус 50 ° 33 ‘ = (50 30-3) =0. 6361 +(- 0. 0007) = 0. 6454
Пример 6:
Нужно найти tg 35 градусов 6 минут. В таблице значений функции, в столбце найдем значение 35 градусов, а в строке 6 минут. Определяем нужное значение по таблице равное 0,7028. 
Пример 7:
Нужно найти значение котангенс 13 градусов 42 минут. Снова применим таблицу значения функций и найдем значение 13 градусов, а в строке 40 минут и поправку равную 2. Находим искомое значение 4,102. 
Пример 8:
Нужно найти значение косинус для 49° 33 минут.
Для того чтобы вычислить значение 49° 31. В таблице найдем значение угла, наиболее близкого по значению к заданному, но только с отрицательным знаком минус. Это косинус 49° 31/ =0.6361 Так как 49° 31/=50 30+3, из этого следует, что поправка равняется трем. Значение 49 градусов равно 0,0007, поэтому: косинус 49° 33 ‘ = ( 49° 31-3) =0 . 6361 +(- 0 . 0007) = 0,6454
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
1 Действие: Необходимо изобразить простую таблицу, где будет несколько столбцов и строк, необходимых для заполнения данных. Следующая задача, состоит в том, что нужно пустые графы заполнить. Записываем в первом столбике значение математических функций, ранее нами изученных.
В начальной строке, должны отображаться самые часто используемые значения углов: от нуля до девяноста градусов и так далее.
Оставшиеся ячейки нужно оставить незаполненными, для следующих действий. Чтобы понять тригонометрию, нужно изучать не только основные функции. Стоит уделить внимание и таким функциях как: косеканс (cosec) и секанс (sec).
2. Действие: Заполняем пустые ячейки со значение синус. Берем выражение \[\frac{\sqrt{x}}{2}\] и подставляем числовые значения, то есть величины углов. они записаны в первом столбике. Далее применяя \[\frac{\sqrt{x}}{2}\] можно вычислить данные для углов, которые нам необходимы. Вычисленные значения, записываются в таблицу.
Для наглядности все прописанные действия, можно разобрать на конкретном примере.
Например, мы заполняем ячейку sin 0 градусов. На месте неизвестного значения в выражении \[\frac{\sqrt{x}}{2}\] записываем значение угла.
Получаем следующую запись: \[\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{0}{2}=0\]. Затем, проводим те же операции для заполнения оставшихся пустых строк.
Необходимо первым делом заполнять неизвестные ячейки, для функции синус. Это значительно в будущем облегчит заполнение всей таблицы. Так как именно за данной функции и ее данных и завязана вся работы таблицы.
3. Действие: Продолжаем считать таблицу. для этого значения синуса, которые подсчитаны были ранее, переписываем для функции косинус. Только делаем это в порядке обратном значению синусу. Данная теория действительна, потому что sin x° = cos (90-x). Если в самой крайней ячейке синус, имеется 1(sin90°=1). То в первую строку значения косинус, перепишется это числовое значение, cos 0° = 1. Таким образом заканчиваем заполнение до конца.
4. Действие: Для определения тангенса. Необходимо произвести деление данных синуса на косинус. Так как тангенс равен данной функции. \[\operatorname{tg}=\frac{\sin }{\cos }\]. Выходим что искомое значение равно данному выражению. Если \[\operatorname{tg} 45^{\circ}=\frac{\sin }{\cos }=\frac{\sqrt{1}}{2} / \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}} .\]
Аналогично поступаем и далее.
5. Действие: Для заполнения граф косеканс и секанс нужно 1/sin и 1/cos.
Действие 6: Оставшиеся функции тангенс и котангенс. также записываются обратно значениям. Если tg90 равняется ctg0, значение tg60 будет соответственно равен значению ctg 30 градусов.
\[\text { Таким же методом заполняются оставшиеся строки таблицы. Так } \text { как } \operatorname{ctg}=\frac{1}{t g}, \text { в свою очередь } \operatorname{ctg}=\frac{\cos }{\sin }\]
Для этого строится нужный треугольник заданным углом, который необходимо определить. Строится угол, точка и луч, которые выходят из данной точки под определенным углом. Соединяем лучи, прямой линией перпендикулярной, одному из лучей. В конечном итоге получаем фигуру, угол которой равняется заданному в задаче углу. В процессе вычисления, также задаются длины сторон. Поэтому трудней с построением не должно возникнуть.
Вычисление при помощи длин сторон треугольника происходит следующим образом:
Функции могут выражаться по-разному в отношении сторон. Например, нам нужно определим значение sin 45°. Поделим имеющуюся длину значения противолежащего катета на значение длины гипотенузы. Если заданные значения длины равны 4 и 6 соответственно. Тогда, составим следующее выражение и получим sin\[45^{\circ}=\frac{4}{6}=0,67\]
Для определения значений основных функций в математике, необходимо заучить наизусть определение основных понятий, связанный с данной темой.
В процессе решения задачи, это придется применять постоянно.
Значения косеканса и секанса определяются в обратном порядке. Для этого необходимо знать какие стороны нужно делить для определения вышеперечисленных функций.
Косеканс находится \[\operatorname{cosec}=\frac{1}{\sin }\] следовательно, нужно разделить гипотенузу на противолежащий катет. Секанс, наоборот к прилежащему катету \[\mathrm{sec}=\frac{1}{\cos }\].
Например, для определения cosec 40°, если катет равен 5, а гипотенуза соответственно равна 8. Нужно разделить 5/8 и получим ответ cosec 40° = 0,63.
При вычислениях всегда рекомендуется исключать значение под корнем в знаменателе, это наиболее облегчает процесс расчета.
Рассмотренная тема преобразования и расчета функций, является довольно громоздкой, на первый взгляд. Применяя для решения огромные формулы и функции можно растеряться и не сразу сообразить, как производить их расчет. Однако досконально рассмотрев и изучив каждый раздел, становится понятно, что все достаточно просто и громоздкие таблицы освоить можно быстро и легко.
Самый простой и понятный способ для вычисления углов и радиан.
Для этого вычерчиваем окружность с радиусом R. Он в свою очередь, равен единичному значению. Центр окружности равен центру системы координат. От положительной оси считаем углы, по часовой стрелке, выполняющей движении против хода. Точка, имеющая координаты 1;0 равняется угловому значению ноль. если координаты -1;0, тогда угол равен 90 градусов. Точка, находящаяся на окружности, соответствует углу от нуля до 360 градусов. Так как окружность является единичной, значения углов для синуса и косинуса находятся в пределах от -1 до 1:
Определяются знаки функций, также по окружности. если угловое значение более 360 градусов, делается два оборота по часовой стрелке и плюсуется еще дополнительно 12 минут.
Значения тангенсов и котангенсов, можно вычислить аналогично, по окружности. Однако легче посчитать по формулам, уже известных данных.
