Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg
В данном материале, мы изучим основное определение тригонометрии, какие свойства ей характерны, применение в математике, приведем примеры решения уравнений.
Тригонометрия — это раздел алгебры, в котором изучаются тригонометрические функции и их применение.
В математике применяются основные определения, связанные с тригонометрией, а именно:
- синус — соотношение стороны противолежащего катета к стороне гипотенузы, (sin);
- косинус — это прилежащая сторона катет к гипотенузе, обозначается как (cos);
- тангенс — отношение стороны противолежащего катета к стороне прилежащего, (tg);
- котангенс — отношение прилежащей стороны катета к противолежащей (это значение, обратное значению тангенса), обозначается как (ctg).
В науке чаще всего применяются два основных вида функций: прямые и косвенные, реже обратные функции.
Стоит выделить главные тригонометрические тождества, существующие в математике:
Применим основные формулы тригонометрии, решая задачи.
Пример:
Известно: cosα=0.8;
Необходимо определить: косинус, тангенс, котангенс, соответствующего угла a.
Решение:
Для определения значения косинуса в квадрате, возводим число 0,8 в квадрат и вычисляем синус. Полученное значение подставляем в формулу и можем определить тангенс угла 0,8. Таким же методом, вычисляем котангенс.
Решение довольно простое и особых сложней не вызывает.
Основные тригонометрические тождества формул приведения
Формулы помогают, преобразовать основные тождества и перейти к вычислению углов в пределах 90 градусов. Это очень удобно, не только в алгебре, но и во всей математике.
Существует два основных способа, использования формул приведения:
- Если угол можно записать как (π/2 ±α) или (3*π/2 ±α), то название функции меняется с косинуса на определение синус, тангенс, в свою очередь на котангенс, либо наоборот. Если же угол можно представить в виде (π±α) или (2*π±α), то название функции не меняется.
- Обозначение приведенного уравнения не изменяется. Если изначально функция была со знаком «+», тогда и приведенная функция будет со знаком «+», с отрицательным знаком тоже самое.
Формулы приведения, примеры:
При расчетах очень часто возникают трудности при вычислении больших значений степеней. Для этого в тригонометрии, существует такое понятие как понижение значения степени.
Тождества понижения степени, помогают справиться с этой непростой задачей. Они выражают степень sin и cos через sin и cos первой степени, но определенного кратного угла. Поэтому, тригонометрические уравнения снижают степень первоначальных функций с определенной до первой степени, но при этом повышают кратность угла от до n.
Тригонометрические формулы для косинуса и синуса понижения степени, записываются в следующем виде:
После преобразования основных формул понижения получаем их общий вид. Рассмотрим на примерах ниже.
Для четных значений уравнения:
Для нечетных значений уравнения:
Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений
Тригонометрические тождества можно выражать различным способом, для облегчения решения уравнения.
Рассмотрим характеристики тригонометрических функций для косинуса, синуса, тангенса и котангенса.
а) Сложение и вычитание тригонометрических функций.
Сложение и вычитание тригонометрических функций можно представить как — произведение. Преобразовать на множители косинус или синус, и тем самым упростить процесс вычисления.
б) Произведение тригонометрических функций.
Произведение функций можно вычислить путем сложения и вычитания тождеств.
В свою очередь произведение тригонометрических функций, позволяет вычислить сумму. Эти два действия являются противоположными по отношению к друг другу.
в) Тригонометрические формулы сложения.
При их применении можно сложение и вычитание углов выразить через тригонометрические функции заданных значений угла.
Преобразовав формулы сложения, мы получим тригонометрические уравнения угла.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Формулы кратности значения угла
Формулы угла, определяющие половину значения (половинного угла):
Универсальное использование тригонометрических функций
Все изученные математические уравнения в тригонометрии — синус, косинус, тангенс и котангенс — имеют свойство выражаться через тангенс (tg) половинного угла.
Тригонометрические функции имеют характерные особенности. Они способны преобразовывать основные уравнения и тем самым выражать различные функции. Понижать степень, для удобства расчета и другие полезные действия
