Тангенс угла, примеры решения задач
Тригонометрия — это раздел алгебры, в котором изучаются тригонометрические функции и их применение.
В математике применяются основные определения, связанные с тригонометрией. А именно:
- синус — соотношение стороны противолежащего катета к стороне гипотенузы, (sin);
- косинус — это прилежащая сторона катет к гипотенузе, обозначается как (cos);
- тангенс — отношение стороны противолежащего катета к стороне прилежащего, (tg или tan);
- котангенс — отношение прилежащей стороны катета к противолежащей (это значение, обратное значению тангенса), обозначается как (ctg или cot).
Рассмотрим подробнее значение функции тангенс.
Определение значения тангенса угла 30…360 градусов
Угловые значения tan 90°, 270° — не имеет значения и не определяются, согласно основным законам геометрии и математики.
Таблица 1. Определение угловых значений тангенса.
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° |
| tanα | 0 | \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] | 1 | \[\sqrt{3}\] | не определяется | \[-\sqrt{3}\] |
| радиан | 0 | \[\frac{\pi}{6}\] | \[\frac{\pi}{4}\] | \[\frac{\pi}{3}\] | \[\frac{\pi}{2}\] | \[\frac{2 \pi}{3}\] |
Продолжение таблицы 1.
| α | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° |
| tanα | -1 | \[-\frac{\sqrt{3}}{3}\] | 0 | \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] | 1 | \[\sqrt{3}\] |
| радиан | \[\frac{3 \pi}{4}\] | \[\frac{5 \pi}{6}\] | π | \[\frac{7 \pi}{6}\] | \[\frac{5 \pi}{4}\] | \[\frac{4 \pi}{3}\] |
Продолжение таблицы 1.
| α | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
| tanα | — | \[-\sqrt{3}\] | -1 | \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] | 0 |
| радиан | \[\frac{3 \pi}{2}\] | \[\frac{5 \pi}{3}\] | \[\frac{7 \pi}{4}\] | \[\frac{11 \pi}{6}\] | 2π |
Вычисленные значения принято сводить в таблицу, показанную выше. Особенно рекомендуются, ее заучивать наизусть, для лучшего восприятия.
Рассмотрим, также значения для нестандартных угловых значений и сведем их в таблицу 2.
Таблица 2. Нестандартные углы функции тангенс.
| угол | π/12=15 | π/10=18 | π/8=22,5 | π/5=36 | 3π/10=54 | 3π/8=67,5 | 2π/5=72 |
| tan | \[2-\sqrt{3}\] | \[\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}\] | \[\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\] | \[\sqrt{5-2 \sqrt{5}}\] | \[\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}\] | \[\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}\] | \[\sqrt{5+2 \sqrt{5}}\] |
Принцип использования таблицы основных значений при решении задач
Значение заданной функции берется из таблицы. Оно равняется данному, которое попадает на пересечение столбца и строки.
Пример №1.
Необходимо определить чему равен tan 300°.
Берем левый столбец с наименованием функции, находим в верхней строке нужный градус, и на пересечении определяем нужный ответ.
Следовательно: \[\tan 300^{\circ}=-\sqrt{3}\].
Пример №2.
Нужно найти tan 35° 6′.
В таблице значений функции, в столбце найдем значение 35 градусов, а в строке 6 минут. Определяем нужное значение по таблице равное 0,7028.
Тангенс \[35^{\circ} 6^{\prime}=0.7028\].
Пример №3.
Необходимо определить чему равен tan 180°.
Берем левый столбец с наименованием функции, находим в верхней строке нужный градус, и на пересечении определяем нужный ответ.
Следовательно: \[\tan 300^{\circ}=-\sqrt{3}\].
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Определение тангенса угла прямоугольного треугольника
Для этого строится нужный треугольник заданным углом, который необходимо определить.
Строится угол, точка и луч, которые выходят из данной точки под определенным углом. Соединяем лучи, прямой линией перпендикулярной, одному из лучей. В конечном итоге получаем фигуру, угол которой равняется заданному в задаче углу. В процессе вычисления, также задаются длины сторон. Поэтому трудней с построением не должно возникнуть.
Вычисление при помощи длин сторон треугольника происходит следующим образом:
- обозначается катет;
- сторона возле угла;
- сторона напротив угла с прямым значением.
Функции могут выражаться по-разному в отношении сторон.
Основные тригонометрические тождества, формулы приведения
Формулы помогают, преобразовать основные тождества и перейти к вычислению углов в пределах 90 градусов. Это очень удобно, не только в алгебре, но и во всей математике.
Существует два основных способа, использования формул приведения:
- Если угол можно записать как (π/2±α) или (3*π/2 ±α), то название функции меняется с косинуса на определение синус, тангенс, в свою очередь на котангенс, либо наоборот. Если же угол можно представить в виде (π±α) или (2*π±α), то название функции не меняется.
- Обозначение приведенного уравнения не изменяется. Если изначально функция была со знаком «+», тогда и приведенная функция будет со знаком «+», с отрицательным знаком тоже самое.
Сложение функции тангенс:
Формулы кратности значения угла:
Формулы угла, определяющие половину значения (половинного угла):
Универсальное использование тригонометрических функций.
Все изученные математические уравнения в тригонометрии — синус, косинус, тангенс и котангенс — имеют свойство выражаться через тангенс (tg) половинного угла.
