Тригонометрические формулы половинного угла
Определение и формулы половинного угла
Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла, так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла \[\frac{\alpha}{2}\] при помощи тригонометрических функций угла \[a\].
Дальше в статье, мы рассмотрим доказательства этих формул, а также примеры их решений.
У этих формул есть ещё одно название, их также называют «формулами понижения степени». Причины такого название кроется в том, что в части слева находится вторая степень синуса и косинуса, а в части справа первая, что означает степень понизилась, но не забывайте, что степени снижается, а аргумент удваивается.
Формулы половинного угла: примеры
Давайте рассмотрим основные тригонометрические формулы половинного угла в тригонометрии.
Формулы, применяемые как для синуса, так и косинуса половинного угла не зависит от заданного значения угла α. Для тангенса в независимости от угла α определяется следующим видом \[\tan \frac{\alpha}{2}\], где значение угла a≠π+2π•z, а значение z равняется любому целому числу. Значение выражения 1+cosα не должно быть равно нулю. Формула котангенса угла будет считаться верной, если любой угол α, где имеет место быть половинный угол α в тригонометрии, принимает следующий вид α ≠2π•z.
Самыми важными тригонометрическими формулами половинного угла являются тригонометрических функций с квадратами, которые могут быть выведены и через положительные, и отрицательное значение арифметического квадратного корня. Получаются следующие формулы половинного угла:
Знак «-» свидетельствуют о том, что тригонометрическая функция определяется четвертью угла \[\frac{\alpha}{2}\]
Доказательство тригонометрических функций половинного угла
Доказательство тригонометрических формул половинного угла строится на основании формулы косинуса двойного угла \[\cos \alpha=1-2 \times \frac{\alpha}{2}\] и \[\cos \alpha=2 \times \frac{\alpha}{2}-1\]. Упростим первое выражение по \[\frac{\alpha}{2}\], придем к формуле половинного угла в тригонометрии \[\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2}\], упростим по тому принципу второе выражение \[\frac{\alpha}{2}\], получаем выражение \[\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}\].
Для доказательства формул половинного угла для тангенса и котангенса угла \[\frac{\alpha}{2}\] применим основное тригонометрическое тождество:
В основное тригонометрическое тождество нужно подставить тригонометрические формулы половинного угла косинуса и синуса, доказанные выше. При подстановке получаем выражение следующего вида:
Посмотрим применение форму тригонометрического половинного угла на решение примеров.
Рассмотрим первое задание.
Найдите cos15°, если известно, что \[\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\].
Решение данного задания.
Воспользуемся формулой половинного угла для функции косинус в тригонометрии имеет следующий вид \[\frac{\cos ^{2} \alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}\].
Подставим значения, которая известная, в указанную тригонометрическую формулу:
Так как у нас имеется значение 15°, найдем cos15°.
Так как угол 15° находится в первой координатной четверти, а косинус там имеет положительное значение, то \[\cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\]
Ответ: \[\cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\]
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Рассмотрим ещё одно задание.
Необходимо вычислить значение указанного выражения \[\frac{4 \cos \alpha}{2}+2 \cos \alpha+5\], где \[\cos \alpha=\frac{1}{8}\].
Решение:
Нужно использовать ту же самую формулу, которую применяли в первом примере \[\frac{\cos \alpha}{2}=\pm \frac{\sqrt{1+\cos \alpha}}{\sqrt{2}}\]. Подставим значение косинуса, упростим данное выражение:
Ответ: \[\frac{4 \cos \alpha}{2}+2 \cos \alpha+5=8 \frac{1}{4}\].
Применяя формулы тригонометрического половинного угла, нужно учитывать, что угол может быть и нестандартного вида a2 и a, а его нужно будет привести к такому стандартному виду. Главным пунктом является то, что аргумент в правой части должен быть в два раза больше, чем в левой. В противном случае применить формулу не получится.
Если тождество записано в таком виде \[7 \alpha=\frac{1-\cos 14 \alpha}{2}\] или \[\frac{5 a}{17}=\frac{1-\frac{\cos \cos 10 \alpha}{17}}{2}\], то формулу применять можно.
Для того чтобы научиться правильно преобразовать и применять описанные выше формулы, нужна пристально изучить тему функции тригонометрических выражений. Не каждое выражение поддается преобразованию. И особое внимание нужно обратить на то, что значение углов тригонометрических функций зависит от их нахождения в разных четвертях для определения положительного и отрицательного знака выражения.
